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2014高中数学 2-3-4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2

2014高中数学 2-3-4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2


2.3.4

平面与平面垂直的性质

1.两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线 的

直线垂直于另一个平面.用数学符号表示为
α⊥β,α∩β=b,a?β,a⊥b?a⊥α . 2 .重要结论: (1) 如果两个平面互相垂直,那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,必在 第一个平面内 .用数学符号表示为 A∈β,α⊥β,A∈a,a⊥α?a?β 个平面内的射影一定落在

.

(2)如果两个平面互相垂直,第一个平面内一点在第二 两个平面的交线上 .

3 . (1)△ABC 所在平面外一点 P 在平面 ABC 内射影为 O , ①若PA=PB=PC,则O为△ABC的 或 心 旁 ③若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的 ①若∠PCA=∠PCB,则O在 ∠BCA的平分线上 ②若P到∠BCA两边距离相等, 则O在 ∠BCA的平分线上 . 心

*②若P到△ABC三边距离相等,则O外 为△ABC的
内 心 .



垂 O, (2)∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为

4.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个互 不重合的平面,给出下列四个命题,其中真命题是

(
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β ③若m?α,n?β,m∥n,则α∥β m?α,m∥β,n?β,n∥α,则α∥β A.①② B.①③

)

②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β ④若m、n是异面直线,

C.③④

D.①④

[答案] D [ 解析 ] 命题①为真命题,垂直于同一条直线的两个

不重合平面必平行.
命题②为假命题,例如正方体交于同一点的相邻三个 面. 命题③为假命题,例如(如图).

正四棱锥中,AB?面SAB,CD?面SCD,AB∥CD. 但面SAB与面SCD不平行,而是相交.

命题④为真命题,因为过直线n作平面γ和平面α相交,
设交线为a,则a∥n. ∵m、n为异面直线,m?α,n?β,∴m、a为相交直线, ∵m∥β,a∥β,∴α∥β.故选D.

本节学习重点和难点:面面垂直性质定理的应用.

两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂
直另一平面,只有在一个平面内,垂直于它们交线的直线 才垂直于另一个平面.因此,当两平面垂直时,常添加的 辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线,或过一个平面 内的一点作另一个平面的垂线.此定理可简化为“面面垂

直,则线面垂直”.

[ 例 1]

如图平面 α⊥平面 β ,在 α 与 β 的交线 l 上取线段

AB = 4cm , AC 、 BD 分 别 在 平 面 α 和 平 面 β 内 , AC⊥l , BD⊥l,AC=3cm,BD=12cm,求线段CD的长.

[ 分析 ]

为求 CD 的长,由 BD⊥l , α⊥β ,易知△ BCD

为 Rt△, BD 长已知,只要知道 BC 长即可.由 AC⊥l ,知

△ABC为Rt△可解.
[解析] ∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5. ∵BD⊥l , l = α∩β , α⊥β , BD?β , ∴ BD⊥α , 又 BC?α ∴BD⊥BC,在Rt△BDC中,DC= = 13 ,

∴CD长为13cm.

[点评 ]

求线段CD的长可以通过 Rt△BDC,也可以通

过 Rt△ACD. 一般求线段的长度问题,要归到三角形中求

解.

如 图 , 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , PA⊥ 底 面 ABCD ,

AB⊥AD , AC⊥CD ,∠ ABC = 60°, PA = AB = BC , E 是
PC的中点. (1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面ABE.

[解析] (1)证明:在四棱锥P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,故PA⊥CD.

∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.

(2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC= PA.

∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD,∴AE⊥PD. PA⊥底面ABCD,∴AB⊥PA,

又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

[例2] 已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l 求证:l⊥γ

[解析]

证法1:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线

于A,作PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=

α∩β , ∴ l⊥PA , l⊥PB , ∵ PA 与 PB 相交,又 PA?γ , PB?γ ,
∴l⊥γ.

证法2:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直 线 n 垂直于 β 与 γ 的交线, ∵ α⊥γ , β⊥γ , ∴ m⊥γ , n⊥γ ,

∴ m∥n ,又 n?β , ∴ m∥β ,又 m?α , α∩β = l , ∴ m∥l ,
∴l⊥γ.

总结评述: 证法一、证法二都是利用 “两平面垂直 时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一

个平面”的这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的
直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键. 证法三是利用 “如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平 面内 ” 这一性质,添加了 l′ 这条辅助线,这是证法三的关

键.
通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的 方法.

又在原题条件下,添加条件b∥α,b∥β,求证b⊥γ.在l 上任取一点B,过b和B的平面交α于过B的直线a′,交β于过

B的直线a″,
∵b∥α,∴a′∥b,同理b∥a″, ∵a′和a″同时过B且平行于b. ∴a′和a″重合于直线l,由l⊥γ可得b⊥γ.

如下图,已知 V 是△ ABC 所在平面外一点, VB⊥平面

ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC是直角三角形.

[分析] 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化.

[证明] 过B作BD⊥VA于D, ∵平面VAB⊥平面VAC,∴BD⊥平面VAC,

∴BD⊥AC,又∵VB⊥平面ABC,∴VB⊥AC,
∴AC⊥平面VAB,∴AC⊥BA,即△ABC是直角三角形.

[例3]

如图,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,

SB = BC , E 是 SC 的中点, DE⊥SC 交 AC 于 D. 求二面角 E - BD-C的大小.

[解析] BS=BC? ? ??SC⊥BE SE=EC? ? SC⊥DE ? ? ? ??SC⊥平面BED ? ? ?

? ? SA⊥平面ABC ? ??BD⊥平面SAC ? ??SA⊥BD ? BD?平面ABC? ? ? ?SC⊥BD

?∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 设SA=a,则SB=BC= a,

∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC,∴BC⊥SB.
∴SC=2a,∠SCD=30°,∴∠EDC=60°, 即二面角E-BD-C的大小是60°.

[ 例 4]

直线 l∥平面 α ,在 l 上任取一点 A 作 AB⊥α ,垂

足为B,则AB的长为直线l与平面α的距离.长方体ABCD- A1B1C1D1 中 , 棱 AA1 = 5 , AB = 12 , 则 直 线 B1C1 与 平 面 A1BCD1的距离等于__________.

[ 解析 ]

如图,作 B1E⊥A1B , ∵ A1D1⊥ 平面 ABB1A1 ,

B1E?平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E,

又 A1B∩A1D1 = A1 , ∴ B1E⊥ 平面 A1BCD1 , ∴ B1E 为直
线 B1C1 到 平 面 A1BCD1 的 距 离 , 由 BB1 = 5 , A1B1 = 12 , ∠A1B1B=90°知B1E=

* 如图,P为矩形 ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面

ABCD,Q为线段AP的中点,若AB=AP=2,BC=4,则点
P到平面BQD的距离为________.

[解析] ∵Q为线段PA的中点, ∴ P 点 到 平 面 QBD 的 距 离 等 于 A 点 到 平 面 QBD 的 距

离.在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E,连QE,
∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA, ∴BD⊥平面QAE. 在 平 面 QAE 内 过 A 作 AH⊥QE 交 QE 于 H.∵BD⊥AH , ∴AH⊥平面BQD.

∴A点到面BQD的距离为AH.

4 在Rt△ABD中,AD=4,AB=2,BD=2 5 .∴AE= 5 5. Rt△QAE中,QE= AQ +AE = 4 1× 5 5 AQ· AE 4 21 ∴AH= = = . QE 21 21 5 4 21 即点P到平面BQD的距离为 . 21
2 2

21 5.

[ 例 5]

已知:平面 α⊥平面 β , α∩β = AB , a?α , b?β ,

a⊥b.求证:a⊥β或b⊥α.

[证明] 若a⊥AB则∵α⊥β,α∩β=AB,∴a⊥β 若a不垂直于AB,则在直线a上取一点C作CD⊥AB于点

D,所以CD⊥β,又b?β,∴CD⊥b,
又b⊥a,CD∩a=c,∴b⊥α

(1) 若将上题题干改为: α⊥β , α∩β = AB , a?α , b?β ,

a、b都不与AB垂直,求证:a与b不垂直.
(2)已知平面α⊥平面β,直线a∥α,α∩β=b,a⊥b,试 判断直线a与平面β的位置关系.

[解析] (1)证明:(反证法)假设a⊥b, ∵a与AB不垂直,过a上一点P作PH⊥AB于H,

∵α⊥β,∴PH⊥β,∵b?β,∴PH⊥b,
又a⊥b,a∩PH=P,∴b⊥α.∵AB?α, ∴ b⊥AB ,这与条件 b 与 AB 不垂直矛盾,故 a 与 b 不垂 直.

(2)解:过a作平面γ∩α=a′,∵a∥α,∴a∥a′, 又a⊥b,∴a′⊥b,又α⊥β,∴a′⊥β,∴a⊥β.

[例6]

已知Rt△ABC中,AB=AC=,AD是斜边BC上

的高,以AD为折痕,将△ABD折起,使∠BDC为直角. (1)求证:平面ABD⊥平面BDC. (2)求证:∠BAC=60°. (3)求点A到平面BDC的距离.

(4)求点D到平面ABC的距离.

[分析]

抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC,及折叠前后位

于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变.则有

AD⊥BD,AD⊥CD,故(1)、(2)、(3)问容易求解.
对于第(4)问,因为△BDC也是等腰直角三角形.取BC 中点E,易得BC⊥平面ADE, ∴平面 ABC⊥平面 ADE ,交线为 AE ,于是 D 点到平面 ABC 的距离就是 D 点到直线 AE 的距离,又△ ADE 为 Rt△,

故距离易求.

[解析] (1)∵AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩DC=D, ∴AD⊥平面BDC

又AD?平面ABD.
∴平面ABD⊥平面BDC.

(2)在原Rt△ABC中,AB=AC= 2,∴BC=2, ∴BD=DC=1.又折叠后∠BDC=90° , ∴△BDC为等腰Rt△,∴BC= 2, ∴AB=BC=AC,∴∠BAC=60° 1 (3)在△ABC中,易得AD= 2 BC=1,由(1)知AD⊥平 面BDC. ∴AD的长就是点A到平面BDC的距离值为1.

(4) 取 BC 的中点 E , ∵ AB = AC ,BD = DC , ∴ DE⊥BC , AE⊥BC,∴BC⊥平面ADE,

∴平面ABC⊥平面ADE.
过D作DM⊥AE于M,则DM⊥平面ABC,∴DM的长即 为D到平面ABC的距离.

2 6 在Rt△ADE中,AD=1,DE= ,∴AE= 2 2 AD· DE 3 ∴斜边AE上高DM= AE = 3 , 3 ∴D点到平面ABC的距离为 3 .

[点评] =VD-ABC.

1°第(4)问也可以用等积转换法解决.VA-BDC

2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑.
①l为α内任一直线,a⊥l?a⊥α ②b?α,c?α,b∩c=A,a⊥b,a⊥c?a⊥α ③a∥b,b⊥α?a⊥α ④α⊥β,α∩β=b,a?β,a⊥b?a⊥α

3°要证平面与平面垂直主要考虑.
①平面α与β所成的二面角为直二面角?α⊥β ②a⊥β,a?α?α⊥β

[例7]

正三棱锥A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,

平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点 E,F,G,H. (1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由; (2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平

面EFGH?请给出说明.

[解析] (1)

同理EF∥AD, ∴HG∥EF,同理EH∥FG, ∴四边形EFGH是平行四边形,

∵A-BCD是正三棱锥,
∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心, ∴DO⊥BC,又AO⊥BC,∴BC⊥平面AOD, ∴AD⊥BC,∴HG⊥EH,四边形EFGH是矩形.

(2)作CP⊥AD于P点,连结BP, ∵AD⊥BC,∴AD⊥面BCP,

∵HG∥AD,∴HG⊥面BCP,
又HG?面EFGH,∴面BCP⊥面EFGH, 在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,∴AP=

如图,矩形 ABCD 中, AB = 1 , BC = a(a>0) , PA⊥平

面ABCD,若BC边上的点Q满足PQ⊥QD,当存在两个这样
的点时,a的取值范围是________. [答案] 0.72

[解析] 解法1:∵PQ⊥QD,又PA⊥平面ABCD, ∴AQ⊥QD.

设BQ=x(0<x<a),则CQ=a-x,
∴AD2=AQ2+DQ2=AB2+BQ2+CQ2+DC2. ∴a2=1+x2+(a-x)2+1.∴x2-ax+1=0(※). 当 Δ = a2 - 4>0 时, (※) 式有两根,从而满足条件的点 有两个,且此时方程的两根

? 解法2:PA⊥平面ABCD? ? ??PA⊥DQ ? ? ? DQ?平面ABCD ? ? ? PQ⊥DQ ? PQ∩PA=P ? ?DQ⊥平面PAQ? ? ??DQ⊥AQ?∠AQD为直角. AQ?平面PAQ ? ? 在矩形ABCD中,边BC上存在点Q,使DQ⊥QA?以AD a 为直径的圆与BC相切或相交,故2≥1,∴a≥2, 要求这样的点有两个,∴a>2.

[ 点评 ]

解法 1 从方程的角度研究 a 具备什么条件,才

能使BC边上存在点Q,满足PQ⊥QD,而解法2从数形结合

的角度研究a应具备的条件,在学习中要注意体会和总结,
要善于展开联想.

一、选择题 1.已知两个平面互相垂直,那么下列命题中正确命题

的个数是
( 直线 ②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于 ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条

另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线,垂足 必落在交线上

④过一个平面内的任意点作交线的垂线,则此直线必 垂直于另一个平面.

A.4
[答案] B [ 解析 ] 交,故选B.

B.3

C.2

D.1

①②③正确④错误, ∵ 垂线与交线不一定相

2 .在空间中,用 x 、 y 、z 表示不同的直线或平面,若 命题“ x⊥y , x⊥z ,则 y∥z”成立,则 x 、 y 、 z 分别表示的

元素是
( A.x、y、z都是直线 B.x、y、z都是平面 C.x、y是平面,z是直线 )

D.x是直线,y、z是平面
[答案] D

[解析]

垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错;

垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,故 B 错;一条

直线与一个平面都和同一个平面垂直时,直线可能在平面
内,故C错.由线面垂直的性质知,D正确.

3 . (2010· 湖北文, 4) 用 a , b , c 表示三条不同的直线, γ表示平面,给出下列命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c; ③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b. 其中真命题的序号是

(
A.①② C.①④ B.②③ D.③④

)

[答案] C [解析] ①平行关系的传递性. ②举反例: 有a∥c. 在同一平面α内,a⊥b,b⊥c,

③举反例: 但a与b相交.

如图的长方体中, a∥γ , b∥γ ,

④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①,④正确.

二、填空题 4.直角△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为

24,到两直角边的距离都是6
距离等于__________. [答案] 12

,那么点 P 到平面 α 的

[解析]

作PO⊥平面α,作OE⊥AC,OF⊥AB,则

AC⊥平面POE,AB⊥平面POF,∴PE=PF=6 10, 从而OE=OF,∴∠EAO=∠FAO=45° , 在Rt△PAE中,PA=24,PE=6 10, ∴AE2=PA2-PE2=216, 又在Rt△OEA中,OE=AE, ∴在Rt△POE中,PO= PE2-OE2 = PE2-AE2= (6 10)2-216=12.

5.圆柱的底面半径为20,高为15,有一平行于轴且距 离轴为12的截面,则这个截面的面积等于________.

[答案] 480
[解析] 如 图 截 面 ACC1A1 与 上 底 面 相 交 于 AC , 作 OB⊥AC,垂足为B,则由母线与底面垂直知,OB⊥AA1, ∴OB⊥平面ACC1A1,由题设OB=12,OA=20,∴AB =16,∴AC=32,又AA1=15,∴S=AC·AA1=480.

三、解答题 6.如图,如果两个平行平面中的一个平面垂直于第三

个平面,那么另一个平面也垂直于第三个平面.
已知:α∥β,α⊥γ.求证:β⊥γ.

[证明] 设α∩γ=a,β∩γ=b.∵α∥β,∴a∥b. 在平面γ内作直线c⊥a,∵α⊥γ,∴c⊥α. 又α∥β,∴c⊥β,∵c?γ,∴β⊥γ.



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