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2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用

2013-2014版高中数学(人教A版)必修2  圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用


4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

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【课标要求】 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际问题. 【核心扫描】 1.会进行圆与圆位置关系的判断.(重点) 2. 用直线与圆、 圆与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问 题.(难点)

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自学导引 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别 为:外离、 外切 、 相交 、内切 、内含 .

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试一试:在五种位置关系下,分别能作几条圆的公切线? 提示 (1)两圆相外离,有四条公切线;

(2)两圆相外切,有三条公切线; (3)两圆相交,有两条公切线; (4)两圆相内切,有一条公切线; (5)两圆相内含,没有公切线.

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2.圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d, 则两圆的位置关系的判断方法如下:

位置 关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

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d与r1、
r2的关 d>r1+r2 系 d=r1+r2

|r1r2|<d< r1+r2

d=|r1-r2|

d< |r1-r2|

(2)代数法:设两圆的方程分别为
2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2+E1-4F1>0), 1 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2+E2-4F2>0), 2

?x2+y2+D x+E y+F =0, ? 1 1 1 ? 2 联立方程 ?x +y2+D2x+E2y+F2=0. ?

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则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系

2组 2个 相交

1组 1个 外切或 内切

0组 0个 外离 或内含

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想一想:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相 离?只有一组解时一定外切吗? 提示 不一定.当两圆组成的方程组无解时,两圆无公共点,

两圆可能相离也可能内含;只有一组解时,两圆只有一个公共 点,两圆相切,可能外切,也可能内切.

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3.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立适当的 平面直角坐标系 ,用坐标和方程表示问题

中的 几何元素 ,将平面几何问题转化为 代数问题 . (2)通过代数运算,解决代数问题 . (3)把代数运算结果 “翻译”成几何结论并作答 .

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想一想:用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么? 提示 用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的 方法解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角 坐标系.

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名师点睛 1.两圆的公共弦 (1)设圆 O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆 O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 则两圆相交公共弦所在直线方程为: (x2+y2+D1x+E1y+F1)-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, 即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

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(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆 相交求相交弦长问题,从而得以解决.如图, 首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 1 12 2 2 d,而 AC=2l,∴4l =r1-d ,即 l=2 r2-d2,从而得以解决. 1 (3)两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线.

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2.圆系问题 (1)过两圆交点的圆系方程 若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 C2:x2+y2+D2x+E2y +F2=0 相交,则过这两圆交点的圆的方程可表示为 C3:x2+ y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不含圆 C2). (2)过直线与圆交点的圆系方程 若直线 l: Ax+By+C=0 与圆 C: 2+y2+Dx+Ey+F=0 相交, x 则经过它们交点的圆系方程可表示为: x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.
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3.用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 (1)应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系,不可随便建 立. (2)在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时 要注意取值范围. (3)最后要把代数结果转化成几何结论.

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题型一

圆与圆位置关系的判断

【例 1】 已知圆 C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2 -4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求 a 为何值时两圆 C1、C2 (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. [思路探索] 求出圆心距,与两半径的和或差比较求出 a 的值.

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对圆 C1、C2 的方程,经配方后可得:

C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心 C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1. ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切; (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交; (3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆外离; (4)当|C1C2|<3,即 a<3 时,两圆内含.
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规律方法 判断两圆的位置关系一般有两种方法: 一是代数法, 一是几何法,但因代数法运算繁琐,且容易出错,因此一般采 用几何法.

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【变式 1】 已知两圆(x+2)2+(y-2)2=1 与(x-2)2+(y-5)2= r2(r>1)相交,求实数 r 的取值范围. 解 两圆的圆心距 d= [2-?-2?]2+?5-2?2=5.两圆的半径分

别为 r1=1 和 r2=r(r>1). 因为两圆相交,所以 r2-r1<d<r1+r2, 即 r-1<5<1+r,
?r-1<5, ? 即? ?5<1+r, ? ?r<6, ? 解得? ?r>4. ?

从而实数 r 的取值范围为(4,6).

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题型二 两圆的公共弦 【例 2】 求两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8 =0 的公共弦所在直线的方程及公共弦长. [思路探索] 将两圆方程相减,先得到公共弦所在直线的方程, 再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦 长.也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半组成直角三 角形这一性质求解.

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?x2+y2-2x+10y-24=0, ? 联立两圆的方程得方程组? 2 2 ?x +y +2x+2y-8=0. ?

, 两

式相减得 x-2y+4=0,此即为两圆公共弦所在直线的方程. 法一 设两圆相交于点 A,B 则 A,B 两点满足方程组
?x-2y+4=0, ? ? 2 ?x +y2+2x+2y-8=0, ? ?x=-4, ? 解得? ?y=0. ? ?x=0, ? 或? ?y=2. ?

所以|AB|= ?-4-0?2+?0-2?2=2 5,即公共弦长为 2 5.

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法二

由 x2+y2-2x+10y-24=0, 得(x-1)2+(y+5)2=50, 其

圆心坐标为(1,-5),半径长 r=5 2,圆心到直线 x-2y+4= |1-2×?-5?+4| 0 的距离为 d= =3 5. 2 1+?-2? 设公共弦长 2l,由勾股定理得 r2=d2+l2,即 50=(3 5)2+l2, 解得 l= 5,故公共弦长 2l=2 5.

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规律方法 求两圆的公共弦所在的直线方程时, 若采用相减法, 必须注意两圆方程中二次项的系数是否相同,只有二次项的系 数相同时,才能利用相减法来处理.若二次项的系数不相同, 需先将两圆的二次项的系数调整为相同.

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【变式 2】 已知圆 C1:x2+y2-10x-10y=0 和圆 C2:x2+y2 -6x+2y-40=0 相交,圆 C 过原点,半径为 10,圆心在已知 两圆公共弦所在的直线上,求圆 C 的方程.

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解 设圆 C1 与圆 C2 交于 A、B 两点,由两圆的方程相减,消去 二次项得到一个二元一次方程 x+3y-10=0,此方程即为公共 弦 AB 所在的直线方程;由已知圆 C 的圆心 C 在两圆公共弦所 在的直线上,即在直线 AB 上,设 C(a,b),则 a+3b-10=0 ①,又由|CO|= 10,得 a2+b2=10②,①②联立,解得 a=1, b=3.所以,圆 C 的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

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题型三 直线与圆的方程的实际应用 【例 3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风 预报,台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径 为 30 km 的圆形区域,已知港口位于台风中心正北 40 km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? [思路探索]

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解 以台风中心为坐标原点,以东西方向为 x 轴建立直角坐标 系(如图所示),其中取 10 km 为单位长度,则受台风影响的圆 形区域所对应的圆的方程为 x2+y2=9, 港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的 x y 坐标为(7,0),则轮船航线所在直线 l 的方程为 7+4=1,

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即 4x+7y-28=0,圆心(0,0)到航线 4x+7y-28=0 的距离 |28| 28 d= 2 2= 65 4 +7 而半径 r=3, ∵d>r, ∴直线与圆相离. ∴轮船不会受到台风的影响.

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规律方法

利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是:(1)认

真审题,明确题意;(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方 程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与圆的方程;(3)利用 直线与圆的方程的有关知识求解问题;(4)把代数结果还原为实 际问题的解释.

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【变式 3】 有一种大型商品,A,B 两地均有出售且价格相同, 某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费 A 地是 B 地的两倍,若 A,B 两地相距 10 公里,为使顾客购买这种商品 的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择 购买此商品的地点?

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解 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直 角坐标系,如图所示,设 A(-5,0),则 B(5,0).在坐标平面内任 取一点 P(x,y),设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km,则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.若 P 地居民选择在 A 地购买此商品,

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则 2a ?x+5?2+y2<a ?x-5?2+y2,
? 25?2 2 ?20?2 整理得?x+ 3 ? +y <? 3 ? . ? ? ? ?

即点 P 在圆

? 25?2 2 ?20?2 C:?x+ 3 ? +y =? 3 ? 的内部. ? ? ? ?

也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物. 同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物. 圆 C 上的居民可随意选择 A,B 两地之一购物.

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题型四 利用坐标法证明几何性质 【例 4】 如图,在圆 O:x2+y2=1 上任取 C 点为圆心,作一 圆与圆 O 的直径 AB 相切于点 D,圆 C 与圆 O 交于点 E、F, 求证:EF 平分 CD.

审题指导 解答本题可先建立平面直角坐标系, 根据两圆的关系 求出公共弦的方程后,求出点 H 的坐标,完成证明.

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[规范解答] 圆 O 方程为 x2+y2=1,① EF 与 CD 相交于 H,令 C(x1,y1),则可得圆 C 的方程(x-x1)2
2 +(y-y1)2=y1,即

x2+y2-2x1x-2y1y+x2=0 1 ①-②得 2x1x+2y1y-1-x2=0 1

②(6 分) ③(10 分)

③式就是直线 EF 的方程,设 CD 的中点为 H′,其坐标为
? y1? ?x1, ?,将 2? ?

H′代入③式,得

y1 2 2 2 x1+2y1 -1-x1=2x2+y2-1-x1=x2+y2-1=0. 1 1 1 1 2 即 H′在 EF 上,∴EF 平分 CD.(12 分)
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【题后反思】 坐标法在证明几何性质中的应用 利用坐标方法解决平面几何问题时,要充分利用直线方程,圆 的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质,建立适当 的平面直角坐标系,正确使用坐标法,使几何问题转化为代数 问题, 用代数运算求得结果以后, 再解释代数结果的实际含义, 也就是将代数问题再转化到几何问题中,对几何问题作出合理 解释.

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【变式 4】 已知三角形 ABC, 为三角形的中线, AD 求证: 2|AB|2 +2|AC|2-|BC|2=4|AD|2.

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证明 以 BC 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点 D 为坐标原点, 建立如图所示的直角坐标系,设 B(-a,0),C(a,0),A(x,y).从 而|AB|2=(x+a)2+y2, |AC|2=(x-a)2+y2, |BC|2=4a2,|AD|2=x2+y2. 所以 2|AB|2+2|AC|2-|BC|2=4x2+4y2=4(x2+y2), 所以 2|AB|2+2|AC|2-|BC|2=4|AD|2.

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方法技巧 分类讨论思想在圆的方程中的应用 根据对象的属性,选择适当的标准,把研究对象不重复,不遗 漏地划分为若干类,对于培养学生综合运用基础知识能力,严 谨、周密的分析问题能力及良好的思维品质培养都有重要的作 用. (1)在本节中,求直线的斜率问题,用斜率表示的直线方程,用 二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆, 圆与圆的位置关 系等都要分类讨论. (2)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同 结果,解题中也需讨论,如判断两曲线的位置关系.
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【示例】 求与 y 轴相切,且与圆 A:x2+y2-4x=0 也相切的圆 P 的圆心的轨迹方程. [思路分析] 设出 P(x, y),利用圆 P 与 y 轴及圆 x2+y2-4x=0 相切,建立 x,y 的关系式即可.

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把圆的方程配方得(x-2)2+y2=4.

设 P(x,y)为轨迹上任意一点. (1)当圆 P 与定圆 A 外切时,不妨设两圆切点为 B,且圆 P 与 y 轴相切于点 N,则 |PA|=|PN|+|AB|,即 ?x-2?2+y2=|x|+2. 当 x>0 时,y2=8x;当 x<0 时,y=0. (2)当圆 P 与定圆 A 内切时,|PA|=||PO|-|OA||, 即 ?x-2?2+y2=||x|-2| x>0 时,y=0;x<0 时,轨迹不存在. 综上可知,动圆圆心的轨迹方程为 y2=8x(x>0)和 y=0(x≠0, x≠2).
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方法点评 由于两圆相切可以是外切, 也可以是内切, 所以情况 (2)的讨论是必不可少的,这也是解答本题易忽视的地方,要引 起重视.

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