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湖南省张家界市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(a卷)

湖南省张家界市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(a卷)


湖南省张家界市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(A 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的,请将所选答案填涂在答题卷中对应位置. 1. (5 分)已知集合 U= C.(﹣∞,1)∪(1,4] D. (﹣∞,1) 6. (5 分)要得到函数 y=cos(2x﹣ A.向右平移 )的图象,只须将函数 y=cos2x 的图象() C.向右平移 D.向左平移

B.向左平移

7. (5 分)函数 f(x)=lnx+2x﹣6 的零点所在的大致区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

8. (5 分)等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A.3 B.﹣3

?

+

? C.

+

?

=() D.﹣

9. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 的解析式为()

)的部分图象如图所示.则函数 f(x)

A.f(x)=2sin(2x﹣ C. f(x)=2sin( x+

) )

B. f(x)=2sin(2x+ D.f(x)=2sin( x﹣

) )

10. (5 分)对任意的 x∈R,符号表示不大于 x 的最大整数,如=3,=4,=﹣3,叫取整函数.那么+++…++= () A.51 B.52 C.53 D.54

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中对应题号后的横线上. 11. (5 分)计算:log318﹣log32=.

12. (5 分)已知向量 =(1,3)与 =(﹣3,4) ,则 ? =.

13. (5 分)已知 tanα=3,则

的值.

14. (5 分)已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α+β)=
+

,则 sinβ 的值等于.

15. (5 分)已知函数 f(x) , (x∈R ) ,满足 f(3x)=3f(x) .若 f(x)=1﹣|x﹣2|(1≤x≤3) ,试计算: (1)f(99)=; (2)集合 M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|ax﹣1=0}. (1)若 a=2,求 A∪B; (2)若 B?A,求实数 a 的取值所组成的集合 C.
2

17. (12 分) (1)已知向量 =(2,3)与 =(x,﹣6)共线,求 x; (2)已知四边形 ABCD 中,A(0,2) ,B(﹣1,﹣2) ,C(3,1) .若 =2 ,求顶点 D 的坐标.

18. (12 分)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,0<α<β<π. (1)若 ⊥ ,求| ﹣ |的值; (2)设 =(0,1) ,若 + = ,求 α,β 的值.

19. (13 分)我国是电力资源较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的,某市 每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法,具体规定如下: 用电量(千瓦时) 电费(元|千瓦时) 不超过 200 的部分 0.56 超过 200 至 300 的部分 0.64 超过 300 的部分 0.96 解答以下问题: (1)写出每月电费 y(元)与用电量 x(千瓦时)的函数关系式; (2)若该市某家庭某月的用电费为 224 元,该家庭当月的用电量是多少? 20. (13 分) (1)求函数 f(x)=sin(x+ (2)求值:4cos50°﹣tan40°. 21. (13 分)设函数 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (1)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (2)若函数 f(x)在(0,2)上有两个不同的零点 x1,x2,求 k 的取值范围;并证明: + <4.
2 2

)的最大值以及取最大值时 x 的集合;

湖南省张家界市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的,请将所选答案填涂在答题卷中对应位置. 1. (5 分)已知集合 U= 分析: 由三角函数的周期性及其求法即可求值. 解答: 解:∵f(x)=sin(2x﹣ ) , =π.

∴根据三角函数的周期性及其求法可得:T=

故选:B. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

3. (5 分)在四边形 ABCD 中,若 A.正方形 B.菱形

=

+

,则四边形 ABCD 一定是() C.矩形 D.平行四边形

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,结合平面向量的三角形法则,求出 AD∥BC,且 AD=BC,得出四边形 ABCD 是平行 四边形. 解答: 解:在四边形 ABCD 中, ∵ ∴ = = + , = + ,

即 AD∥BC,且 AD=BC,如图所示; ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 故选:D.

点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应结合图形解答问题,是基础题. 4. (5 分)下列函数中,偶函数是() A.y=x
2

B.y=x

3

C.y=x

﹣3

D.y=x

考点: 函数奇偶性的判断.

分析: 运用奇偶性的定义,求出定义域判断是否关于原点对称,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可 得到是偶函数的函数. 解答: 解:对于 A.定义域为 R,f(﹣x)=(﹣x) =f(x) ,则为偶函数; 3 对于 B.定义域为 R,f(﹣x)=﹣x =﹣f(x) ,则为奇函数; ﹣3 对于 C.定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=(﹣x) =﹣f(x) ,则为奇函数; 对于 D.定义域为 R,f(﹣x)= =﹣f(x) ,则为奇函数.
2

故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,考查定义法的运用,考查运算能力,属于基础题.

5. (5 分)函数 f(x)= A.

的定义域为() (﹣∞,1)

C.(﹣∞,1)∪(1,4] D.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次根式的性质结合分母不为 0,得到不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,解得:x≤4 且 x≠1,

故选:C. 点评: 本题考查了函数的定义域问题,是一道基础题.

6. (5 分)要得到函数 y=cos(2x﹣ A.向右平移 B.向左平移

)的图象,只须将函数 y=cos2x 的图象() C.向右平移 D.向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: y=cos2x→y=cos2(x)→y=cos2(x﹣ 解答: 解:∵y=cos(2x﹣ ∴要得到函数 y=cos(2x﹣ )=cos )的图象,只须将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位. ) ,由此可得答案.

故选:A. 点评: 本题考查 y=Acos(ωx+φ)型函数的图象变换,关键是明确平移单位是对 x 而言,不是对 ωx,是 基础题,也是易错题. 7. (5 分)函数 f(x)=lnx+2x﹣6 的零点所在的大致区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题.

D.(3,4)

分析: 可得 f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0,由零点判定定理可得. 解答: 解:由题意可得 f(1)=﹣4< 0, f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3>0, f(4)=ln4+2>0, 显然满足 f(2)f(3)<0, 故函数 f(x)=lnx+2x﹣6 的零点所在的区间为(2,3) 故选 C 点评: 本题考查函数零点的判定定理,涉及对数值得运算和大小比较,属基础题.

8. (5 分)等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A.3 B. ﹣3

? C.

+

?

+

?

=() D.﹣

考点: 专题: 分析: 解答: 所以 ?

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 利用向量的数量积公式解答,注意向量的夹角与三角形的内角的关系. 解:因为三角形 ABC 是等边三角形,边长为 1,并且各内角为 60°, + ? + ? =3×1×1×cos120°= ;

故选:D. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用;需要注意的是:向量的夹角与三角形内角相等或者互补.

9. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 的解析式为()

)的部分图象如图所示.则函数 f(x)

A.f(x)=2sin(2x﹣ C. f(x)=2sin( x+

) )

B. f(x)=2sin(2x+ D.f(x)=2sin( x﹣

) )

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 由题意求出 A,T,利用周期公式求出 ω,利用当 x= 析式,即可得解. 解答: 解:∵由题意可知 A=2,T=4( )=π, 时取得最大值 2,求出 φ,得到函数的解

∴ω= ∵当 x=

=2, 时取得最大值 2, +φ) , ,k∈Z,

∴2=2sin(2× ∴2× ∵|φ|< +φ=2k ,

∴可解得:φ=

, ) .

故函数 f(x)的解析 式为:f(x)=2sin(2x+

故选:B. 点评: 本题主要考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周期的求法,考查计算 能力,常考题型,属于基础题. 10. (5 分)对任意的 x∈R,符号表示不大于 x 的最大整数,如=3,=4,=﹣3,叫取整函数.那么+++…++= () A.51 B.52 C.53 D.54 考点: 函数的值. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 先根据对数的运算性质判断、 、…的大小与整数的关系,再利用新定义和式子加起来即可. 解答: 解:由题意得,符号表示不大于 x 的最大整数, 所以+++…+ 1 0 2 1 3 2 =0×(3 ﹣3 )+1×(3 ﹣3 )+2×(3 ﹣3 )+3×4 =1×6+2×18+12=54, 故选:D. 点评: 本题考查对数的运算性质及新定义的理解与应用.值得同学们体会与反思.属基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中对应题号后的横线上. 11. (5 分)计算:log318﹣log32=2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则求得要求式子的值. 解答: 解:log318﹣log32= =log39=2,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查对数的运算性质的应用,属于基础题.

12. (5 分)已知向量 =(1,3)与 =(﹣3,4) ,则 ? =9.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积的坐标运算解答. 解答: 解:由已知 ? =1×(﹣3)+3×4=9; 故答案为:9. 点评: 本题考查了向量数量积的坐标表示,熟练掌握公式是关键.

13. (5 分)已知 tanα=3,则

的值 .

考点: 弦切互化. 专题: 计算题. 分析: 把分子分母同时除以 cosα,把弦转化成切,进而把 tanα 的值代入即可求得答案. 解答: 解: 故答案为: 点评: 本题主要考查了弦切互化的问题.解题的时候注意把所求问题转化成与题设条件有关的问题. = = =

14. (5 分)已知 α,β 都是锐角,sinα= ,cos(α +β)=

,则 sinβ 的值等于



考点: 同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: 由 α,β 都是锐角,得出 α+β 的范围,由 sinα 和 cos(α+β)的值,利用同角三角函数间的基本关 系分别求出 cosα 和 sin(α+β)的值,然后把所求式子的角 β 变为(α+β)﹣α,利用两角和与差的正弦函 数公式化简,把各自的值代入即即可求出值. 解答: 解:∵α,β 都是锐角,∴α+β∈(0,π) , 又 sinα= ,cos(α+β)= ∴cosα= ,sin(α+β)= , ,

则 sinβ=sin =sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα = = × ﹣ . ×

故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握公式是解本 题的关键,同时注意角度的范围. 15. (5 分)已知函数 f(x) , (x∈R ) ,满足 f(3x)=3f(x) .若 f(x)=1﹣|x﹣2|(1≤x≤3) ,试计算: (1)f(99)=18;
+

(2)集合 M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是 45. 考点: 函数的值;集合的表示法;抽象函数及其应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由 f(3x)=3f(x)将 f(99)递推下去,代入解析式求值; (2)根据题意,求出当 3≤x≤9 时的表达式,同理求出当 9≤x≤27 时、当 27≤x≤81 时和当 81≤x≤243 时的表 达式,然后解方程 f(x)=18,即可得到集合 M 中最小的元素. 解答: 解: (1)根据题意:f(3x)=3f(x) ,且 f(x)=1﹣|x﹣2|(1≤x≤3) , 所以 f(99)=3f(33)=3 f(11)=3 f(
2 3

)=3 f(

4

)=3 (1﹣|

4

﹣2|)=18;

(2)由题意得,当 3≤x≤9 时,f(x)=3f( )=3﹣|x﹣6|; 当 9≤x≤27 时,f( )=3﹣|3? ﹣6|=3﹣|x﹣6|,此时 f(x)=3f( )=9﹣|3x﹣18|; 当 27≤x≤81 时,f( )=9﹣|3? ﹣18|=9﹣|x﹣18|,此时 f(x)=3f( )=27﹣|3x﹣54|; 当 81≤x≤243 时,f( )=27﹣|3? ﹣54|=27﹣|x﹣54|,此时 f(x)=3f( )=81﹣|3x﹣162|. 由此可得 f(99)=18, 接下来解方程 f(x)=18: 当 81≤x≤243 时,81﹣|3x﹣162|=18,得 3x﹣162=±63,所以 x=75 或 33(舍去) ; 当 27≤x≤81 时,27﹣|3x﹣54|=18,得 3x﹣54=±81,所以 x=45(舍负) ; 当 9≤x≤27 时,9﹣|3x﹣18|=18,找不到符合条件的 x; 当 3≤x≤9 时,3﹣|3x﹣6|=18,找不到符合条件的 x; 当 1≤x≤3 时,1﹣|x﹣2|=18,找不到符合条件的 x. 因此集合 M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是 45, 故答案为: (1)18; (2)45. 点评: 本题是分段函数问题,要严格按照题目要求转化为已知的问题去解决,考查讨论方程的最小正数 解,函数的定义和方程根的分布等知识. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|ax﹣1=0}. (1)若 a=2,求 A∪B; (2)若 B?A,求实数 a 的取值所组成的集合 C. 考点: 集合的包含关系判断及应用;并集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)求出集合 A,可得 A∪B; (2)B?A,讨论 B 中的元素个数,可求实数 a 的取值所组成的集合 C. 解答: 解: (1)A={x|x ﹣3x+2=0}={1,2},a=2 时,B={ } ∴A∪B={ ,1,2}; (2)∵B?A, ∴①当 B=?时,ax﹣1=0 无解,a=0; ②当 1∈B 时,解得,a=1;
2 2

③当 2∈B 时,解得,a= . ∴a 的取值集合为:{0,1, }. 点评: 本题考查了集合之间的包含关系应用,考查学生的计算能力,比较基础.

17. (12 分) (1)已知向量 =(2,3)与 =( x,﹣6)共线,求 x; (2)已知四边形 ABCD 中,A(0,2) ,B(﹣1,﹣2) ,C(3,1) .若 =2 ,求顶点 D 的坐标.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)直接由向量关系的坐标表示列式求得 x 的值; (2)设出 D 的坐标,求得向量 、 的坐标,由 =2 列式求得 D 的坐标.

解答: 解: (1)由向量 =( 2,3)与 =(x,﹣6)共线, 得 2×(﹣6)﹣3x=0,解得:x=﹣4; (2)设 D(x, y) ,则 ,



=2

,得

,解得:



即 D(2, ) . 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在 一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2 ﹣a2b1=0,是基础题.

18. (12 分)已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,0<α<β<π. (1)若 ⊥ ,求| ﹣ |的值; (2)设 =(0,1) ,若 + = ,求 α,β 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量垂直得到 cosαcosβ+sinαsinβ=0,要求| ﹣ |,先求其平方; (2)利用向量相等,对应坐标相等得到 α、β 的三角函数等式,根据范围求角. 解答: 解: (1)由 ⊥ ,得 cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以| ﹣ | =(cosα﹣cosβ) +(sinα﹣sinβ) =2,
2 2 2

所以| ﹣ |= (2)由题意得: 又 0<α<β<π,所以 β=π﹣α 得 sinα=sinβ= ,∴α= ,β= .

点评: 本题考查了向量的数量积的公式,垂直的性质以及向量相等的意义. 19. (13 分)我国是电力资源较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到 节约用电的目的,某市 每户每月用电收费采用“阶梯电价” 的办法,具体规定如下: 用电量(千瓦时) 电费(元|千瓦时) 不超过 200 的部分 0.56 超过 200 至 300 的部分 0.64 超过 300 的部分 0.96 解答以下问题: (1)写出每月电费 y(元)与用电量 x(千瓦时)的函数关系式; (2)若该市某家庭某月的用电费为 224 元,该家庭当月的用电量是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件建立分段函数关系即可; (2)根据分段函数的表达式,代入求解即可. 解答: 解: (1)当 0≤x≤200 时,y=0.56x, 当 200<x≤300 时,y=112+0.64(x﹣200)=0.64x﹣16, 当 x>300 时,y=176+0.96(x﹣300)=0.96x﹣112,

故 y=



(2)由(1)知 x>300 时,y=0.96x﹣112, 由得 y=0.96x﹣112= 224,解得 x=350, 故该家庭月用电量为 350 千瓦时 点评: 本题主要考查函数应用问题,根据条件建立函数关系,利用分段函数的表达式求解是解决本题的 关键.

20. (13 分) (1)求函数 f(x)=sin(x+ (2)求值:4cos50°﹣tan40°.

)的最大值以及取最大值时 x 的集合;

考点: 正弦函数的图象;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由正弦函数的图象和性质即可求值; (2)运用角的关系和诱导公式即可化简求值. 解答: 解: (1)f(x)max=1 此时 x+ =2k ,k∈Z

得 x=2k ∴x∈{x|x=2k

,k∈Z, ,k∈Z}时,f(x)max=1 = = = = .

(2)原式=4sin40°﹣ =

点评: 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,运用诱导公式化简求值,属于基础题. 21. (13 分)设函数 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (1)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (2)若函数 f(x)在(0,2)上有两个不同的零点 x1,x2,求 k 的取值范围;并证明: + <4.
2 2

考点: 函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)k=2 时,f(x)=|x ﹣1|+x +2x,从而讨论求方程 f(x)=0 的解; (2)不妨设 0<x1<x2<2,则化简 f(x)=|x ﹣1|+x +kx= <x1<1≤x2<2;从而可得 kx1+1=0,2x +kx﹣1=0;从而求 k 的取值范围并证明 解答: 解: (1)k=2 时,f(x)=|x ﹣1|+x +2x, 2 当|x|≥1 时,f(x)=2x +2x﹣1, 2 由 f(x)=2x +2x﹣1=0 得, x= ,x= (舍去) ,
2 2 2 2 2

;从而可确定 0 + <4.

当|x|<1 时,f(x)=2x+1, 由 2x+1=0 得 x=﹣ ; 故当 k=2 时,方程 f(x)=0 的解是 x= (2)不妨设 0<x1<x2<2, ∵f(x)=|x ﹣1|+x +kx= 若 x1,x2∈; ∴k 的取值范围是(﹣ ,﹣1) ; 联立①、②消去 k 得: 2 即 ﹣ + x2﹣1=0; <2x2<4.
2 2

或 x=﹣ .



点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了分段函数的应用,属于基础题.



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