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【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修五学案:第二章 疑难规律方法:第二章 解三角形

【高中数学】2018最新北师大版高中数学必修五学案:第二章 疑难规律方法:第二章 解三角形


1 正弦定理的几种证明方法 正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理,而证明它们的方法很多,展 开的思维空间很大,研究它们的证明,有利于培养学生的探索精神,思维的深度、广度和灵 活度. 正弦定理的内容: 在△ABC 中,三边和三角分别是 a,b,c 和 A,B,C,则 a b c = = . sin A sin B sin C 一、向量法 → 证明 在△ABC 中作单位向量 i⊥AC,则: → → → i· AB=i· (AC+CB), → → ?|i||AB|sin A=|i||CB|sin C, ? a c = , sin A sin C a b 同理可证: = , sin A sin B a b c 由此证得正弦定理: = = . sin A sin B sin C 二、高线法 证明 在△ABC 中作高线 CD, 则在 Rt△ADC 和 Rt△BDC 中, CD=bsin A, CD=asin B, 即 bsin A=asin B, ∴ a b = , sin A sin B a c 同理可证: = , sin A sin C 即正弦定理可证得. 三、外接圆法 证明 作△ABC 的外接圆 O,过点 C 连接圆心与圆交于点 D,连接 AD,设圆的半径为 R, ∴△CAD 为 Rt△,且 b=2Rsin D,且∠D=∠B, ∴b=2Rsin B, 即 b =2R, sin B a c 同理: =2R, =2R, sin A sin C ∴ a b c = = . sin A sin B sin C 四、面积法 证明 1 ∵S△ABC= bcsin A 2 1 1 = absin C= acsin B, 2 2 ∴ a b c = = . sin A sin B sin C 2 正弦定理的一个推论及应用 在初学正弦定理时,若问同学们这样一个问题:在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A 与 B 的 大小关系怎样?那么几乎所有的同学都会认为 A 与 B 的大小关系不确定. 若再问: 在△ABC 中,若 A>B,则 sin A 与 sin B 的大小关系怎样?仍然会有很多同学回答大小关系不确定.鉴 于此,下面我们讲讲这个问题. 一、结论 例 1 在△ABC 中,sin A>sin B?A>B. 分析 题中条件简单,不易入手.因为是在三角形中,所以可以联系边角关系的正弦定理. 证明 因为 sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(其中 R 为△ABC 外接圆的半径), 根据正弦定理变式 a=2Rsin A,b=2Rsin B(其中 a,b 分别为 A,B 的对边),可得 sin A>sin B?a>b, 再由平面几何定理“大角对大边,小角对小边”, 可得 a>b?A>B.所以 sin A>sin B?A>B. 二、结论的应用 例 2 在△ABC 中,A=45° ,a=4,b=2 2,求 B. 分析 在遇到这样的问题时, 有的同学会直接由正弦定理得 B=30° 或 B=150° .其实这是错误 的!只需由上述结论即可发现. sin 45° sin B 1 解 由正弦定理得 = ,sin B= , 4 2 2 2 又 sin B<sin A,所以 B<A,所以 B=30° . 点评 同学们在解题时,一定要根据问题的具体情况,恰当地选用定理.同时,使用正弦定 理求角时,要特别细心,不要出现漏解或增解的情况. 例 3 在△ABC 中,已知 B=30° ,b=3,c=3 3,求 A. 分


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