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吉林省长春市第十一高中2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题 理

吉林省长春市第十一高中2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题 理


长春市十一高中 2015-2016 学年度高一上学期期末考试 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,试卷满分为 130 分.答题时间为 120 分钟. 第 I 卷(选择题 48 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. sin 480 ? 的值为 ( ) A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2


2.已知集合 M ? x 2 x 2 ? 5 x ? 0, x ? Z ,集合 N ? ?0, a?,若 M ? N ? ? ,则 a 为( A. ? 1 B. 2 C. ? 1 或 2 D. ? 1 或 ? 2 ( D. 4? ( C. 1 D. 2 (

?

?

3.设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,则 f ( x) 的最小正周期为 3?
C. 2?



A.

? 2

B. ?

4.函数 f ( x) ? log2 x 在区间 ?1,2? 上的最小值是 A. ? 1 B. 0
x



5.已知函数 f ( x) ? 5 , g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f ?g (1)? ? 1 ,则实数 a ? A. 1 B. 2 C. 3 D. ? 1



6.向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos? ,1) ,且 a // b ,则 cos?

1 3

?? ? ?? ? ? ?2 ?
D. ?





A.

1 3

B. ?

1 3

C. ?

2 3

2 2 3


7.若 ? 1 ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1的值有正也有负,则 a 的取值范围( A. a ? ?

1 3

B. a ? ?1

C. ? 1 ? a ? ?

1 3

D.以上都不对

8.若函数 y ? 3 sin x ? cos x 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图象关于 y 轴对称, 则m 的最小值为 ( ) D.

? A. 6
2

? B. 4

2? C. 3

? 3
( )

9.已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,则 f (?0.5) , f (0) , f (0.6) 的大小关系是 A. f (0) ? f (?0.5) ? f (0.6) B. f (?0.5) ? f (0.6) ? f (0)

1

C. f (0) ? f (0.6) ? f (?0.5) 10.若实数 x , y 满足 x ? 1 ? ln

D. f (?0.5) ? f (0) ? f (0.6)

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象大致形状是 ( y



11.已知函数 f ( x) ? m sin x ? n cos x ,且 f ( ) 是它的最大值, (其中 m 、 n 为常数且 mn ? 0 )给出下列

?

6

命题: ① f (x ?

?

3? ? 8? ? ) 是偶函数; ) 是函数 f ( x) 的最小值; ②函数 f ( x) 的图象关于点 ? ③ f (? ,0 ? 对称; 3 2 ? 3 ?
( B.②③ ) C.①②④ D.②④



m 3 .其中真命题有 ? n 3

A.①②③④

12.已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 f (4 ? x) ? f ( x) , 且 当 x ? ?? 1,3? 时 ,

? x2 , x ? ?? 1,1? ? f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数是( ? 1 ? c o sx , x ? ?1,3? ? 2 ?
A.7 C.9 D.10 第 II 卷(非选择题 共 82 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的终边过点 P(sin 14.将 a ? ln 0.8 , b ? 8
0.9 0.8



B.8

2? 2? , cos ) ,则 ? ? __________. 3 3

, c ? 0.9 比较大小,大小关系为__________.

15.已知幂函数 f ( x) ? x 的部分对应值如下表,则不等式 f ( x ) ? 2 的解集是__________.

?

x

1

1 2
2 2

f(x)

1

2

16.设函数 f ( x) ? ?

?

2x ? a , x ?1 , ?4( x ? a)(x ? 2a) , x ? 1

(1)若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值是__________. (2)若 f ( x) 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 66 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (1)已知 tan ? ?

1 sin ? ? 3 cos ? ,求 的值. 3 sin ? ? cos ?
log7 2

(2) log3 27 ? lg 25? lg 4 ? 7

? (?9.8)0

18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos? ? cos x sin ? (其中 x ? R,0 ? ? ? ? ). (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若点 (

? 1

, ) 在函数 y ? f (2 x ? ) 的图象上,求 ? . 6 2 6

?

19.(本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? lg

1? x 1? x .

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 f ( x) 的定义域为 D , a, b ? D .求 f (a ) ? f (b) ? f ( 20.(本小题满分 12 分)已知函数 y ?

a?b ) 的值. 1 ? ab

1 3 cos x 2 ? sin x cos x ? 1( x ? R) 2 2 .

(1)当函数 y 取最大值时,求自变量 x 的取值集合; (2)求该函数的单调递增区间. 21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? loga x?a ? 0且a ? 1? , 函数 g ( x) ? ? x2 ? bx ? c , 且 f (4 ) ? (2 f ) 1? ,

? 5) . g ( x) 的图像过点 A(4, ?5) 及 B(?2,
(1)求 f ( x) 和 g ( x) 的表达式; (2)求函数 f ?g ?x ?? 的定义域和值域.

22.(本小题满分 10 分)若 x0 ? R 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x) 的不动点. (1)若函数 f ( x) ? x ? ax ? a 没有不动点,求实数 a 的取值范围;
2

3

(2)若函数 f ( x) ? ? ln x ? 3 的不动点 x0 ? ?n, n ? 1?, n ? Z ,求 n 的值; (3) 若函数 f ( x) ? log2 (4 x ? a ? 2 x ? a ? 1) 有不动点,求实数 a 的取值范围.

长春市十一高中 2015-2016 学年 度期末考试数学试题参考答案 一、选择题 (文) 题号 答案 (理) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11 D 12 D 1 D 2 D 3 B 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11 B 12 C

二、填空题、13

11? 6

14 a ? c ? b

15 ?? 4,4?

16(理) 三、解答题

?1

1 ? ?2,??? U ? ? ,1? ?2 ?

( 文)

1

?1,???

1 ?3 sin ? ? 3cos ? tan ? ? 3 3 17. (理)解:(1)法(一) ? ? ? ?5 . sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? 1 3 1 sin ? 1 ? ,则 cos ? ? 3sin ? . 法(二) 由 tan ? ? ,即 3 cos ? 3 sin ? ? 3cos ? sin ? ? 3 ? 3sin ? ? ? ?5 . sin ? ? cos ? sin ? ? 3sin ?

5分

2分 5分

(2)原式 ? log3 32 ? lg(25 ? 4) ? 2 ? 1 ? 17.(文) (1)同理科 (2)原式 ? lg?25? 4? ? 2 ? 1 ? 5

3

3 ? lg102 ? 3 2
5分 10 分

?

3 13 ?2?3? 2 2

10 分

18. (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ?

2分

∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2?

4分

4

(2)∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? … 6? 6 ? ?

6分

又点 ?

?? ?? 1? ? ? ? ? ? 1 , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图 像上, ∴ sin ? 2 ? ? ? ? ? ? . 6? 6 6 ? 6 2? ? ? ? 2
1 . 2
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

9分

即 cos ? ?

? 3

10 分

19.(文)? f ?x ? 的定义域为 R ,且 f ?? x? ? e? x ? e x ? ? f ?x? ,? f ?x ? 是奇函数

3分

? g ?x ? 的定义域为 R ,且 g ?? x? ? e? x ? e x ? g ?x? ,? g ?x ? 是偶函 数
(2) ? f ?x ?? ? ?g ?x ?? ? e x ? e ? x
2 2

6分

? e2 x ? e?2 x ? 2e x ? e? x

? ? ?e

? ? ?e
2

x

? e? x

2x

? e?2 x ? 2e x ? e? x

? ? ? ?4
2

12 分

19(理)? f ?x ? 的定义域为 ??1,1? ,且 f ?? x ? ? f ? x ? ? lg

1? x 1? x ? lg ? lg1 ? 0 , 1? x 1? x

? f ?x ? 是奇函数

6分

a?b 1? 1? a 1? b ? a?b ? (2) f ?a ? ? f ?b ? ? f ? ? lg ? lg 1 ? ab ? ? lg a?b 1 ? ab 1 ? a 1 ? b ? ? 1? 1 ? ab
? lg

?1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? lg 1 ? ab ? a ? b ? lg 1 ? ab ? a ? b ? lg 1 ? ab ? a ? b ? 0 1 ? ab ? a ? b 1 ? ab ? a ? b ?1 ? a ? ?1 ? b? 1 ? ab ? a ? b

12 分

20.解: (1)根据题意,

1 3 1 3 5 1 ? y ? cos2 x ? sin x cos x ? 1, x ? R= (1+ cos 2 x) ? sin 2 x ? 1 ? ? sin(2 x ? ) 2 2 4 4 4 2 6
---------4 分 当 2x ?



?
6

=2k? ?

?
2

时,函数取得最大值,最大值为

7 , 4

? ? ? ?x x ? k? ? , k ? Z ? 6 ? ?

8分

(2)当 2 x ? 12 分

?

? [2k? - , 2k? + ]时函数递增,那么解 得函数的单调递增区间 [k? ? , k? ? ], k ? Z 6 2 2 3 6 4 ? 1,? a ? 2 2
2

?

?

?

?

21 . (理) (1) f ?4 ? ? f ?2 ? ? log a

3分

由 ?? 4 ? 2b ? c ? ?5 ,得?c ? 3 ,? g ?x ? ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?

?? 16 ? 4b ? c ? ?5

?b ? 2

6分

5

2 (2) f ?g ?x?? ? log ? x ? 2 x ? 3 , 由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 3, ? 函数 f ?g ?x ?? 的定义域为 ?? 1,3?
2

?

?

8分

? x ? ??1,3?,? ? x 2 ? 2x ? 3 ? ?0,4? ,?log2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?? ?,2? ,即 f ?g ?x?? 的值域为

?

?

?? ?,2?

12 分

22. (1) 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 ; (2) n ? 2 ; (3) (??,3 ? 2 3] . 解:(1)由已知可得,问题等价于 f ( x) ? x 无实数根,即 x2 ? (a ?1) x ? a ? 1 无实数根, ∴ ? ? (a ? 1)2 ? 4a ? 0 , 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 ; (文 5 分,理 3 分)

(2)令 f ( x) ? x ,∴ ? ln x ? 3 ? x ,即 ln x ? x ? 3 ? 0 , 令 g ( x) ? ln x ? x ? 3 , g ( x) 在 (0, ??) 上递增, g (2) ? 0 , g (3) ? 0 ,

x0 ? (2,3) , n ? 2 ;
(3)令 f ( x) ? x ,

( 文 10 分

理 6 分)

x x x 则 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 2 ,又令 2x ? t (t ? 0) ,从而可得 t 2 ? (a ? 1)t ? a ? 1 ? 0 ,故问题等价于关于 t 的一

元二次方程 t 2 ? (a ? 1)t ? a ? 1 ? 0 至少有一正根,若方程有一根为 0 :此时 a ? ?1 , t1 ? 2 , t 2 ? 0 ,符合 题意,若方程的根不为 0 ,考虑都为负根,由韦达定理可知 ?

?t1 ? t2 ? ?a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,因此方程至少有 ?t1t2 ? a ? 1 ? 0

一正根需 a ? 1 ,又∵ ? ? 0 ? a ? 3 ? 2 3 或 a ? 3 ? 2 3 ,∴实数 a 的取值范围是 (??,3 ? 2 3] .(理) 10 分

6



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