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3-4 一阶电路的零输入响应

3-4 一阶电路的零输入响应


§3-4 一阶电路的零输入响应

北京邮电大学电子工程学院 2011.2

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内容提要
几个定义 一阶RC电路的零输入响应 一阶 电路的零输入响应 一阶RL电路的零输入响应 一阶 电路的零输入响应

X

几个定义
动态电路中,由于动态元件电压电流之间的微积分 关系,因此电路方程就需要用微分方程进行描述。 线性、非时变动态电路用线性、常系数常微分方程 描述。只含有一个动态元件的线性、非时变动态电 路用线性、常系数一阶常微分方程描述。 一阶电路:用一阶微分方程描述的电路。 二阶电路:用二阶微分方程描述的电路。 如果已知电容电压和电感电流在初始时刻的值,则 根据该时刻的输入就能确定电路中的任何变量在随 后时刻的值。将具有这种特性的量,即电容电压和 电感电流,称为状态变量。
X

几个定义
如图电路, 如图电路,开关闭合前电 容已有初始储能, 容已有初始储能,为了求 开关闭合后电容电压的变 化情况, 化情况,利用叠加定理可 分解为两个电路的叠加: 分解为两个电路的叠加:
R
i z .i .r ( t )
S (t = 0)

R i(t)
+
C

+

us(t)

uC (0? ) = U 0

-

uC(t)

R
+
uCz .i .r ( t )

i z . s .r ( t )

+
C

+
C

uC (0? ) = U 0 , us (t ) = 0



us(t)

uCz .s.r (t )

uC (0? ) = 0

-

外加激励为零, 外加激励为零,响应 仅由初始储能产生, 仅由初始储能产生, 称为零输入响应

初始储能为零, 初始储能为零,响应 仅由外加激励产生, 仅由外加激励产生, 称为零状态响应

几个定义
零输入响应(zero input response--z.i.r):在没有外加 零输入响应 : 激励情况下,仅由非零初始状态引起的响应。 激励情况下,仅由非零初始状态引起的响应。 零状态响应 (zero state response--z.s.r) :在零初始 状态下,仅由外加激励引起的响应。 状态下,仅由外加激励引起的响应。 全响应 (complete response--c.r) :零输入响应与零 状态响应之和。 状态响应之和。

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X

一阶RC电路的零输入响应 §3-4-1 一阶 电路的零输入响应
t < 0 电路稳态,电容储存电荷 K t = 0时发生换路,即开关 由1倒向2,
换路瞬间电容电压保持不变。
K (t = 0)

R0
+





i +
?

R

uC ( 0+ ) = uC ( 0? ) = U0
t > 0时 电 通 电 放 , , 容 过 阻 电 电 释 能 , 阻 耗 量 容 放 量 电 消 能 , 电 电 ↓,电路电流 ↓ 容 压 t →∞时,电容放电结束,

U0 C ?

uC

i (t )

+

R

-

uR (t )

C

+ -

uC (t )

uC (∞) = 0, i(∞) = 0, uR (∞) = 0,
X

一阶RC电路的零输入响应 §3-4-1 一阶 电路的零输入响应
已知uC (0? ) = U0 , 求开关闭合后,t ≥ 0+ 时的uc (t ), i (t ), uR (t )

KVL方程 方程: 方程

uR ? uC = 0 duC QuR = ?Ri, i = C dt du duC RC + uC = 0 t ≥ 0+ dt

i (t )

+

R

-

uR (t )

C

+ -

uC (t )

解的形式为: C (t) = Ae = Ae u 其中A为积分常数,由初始条件确定 uC ( 0+ ) = A = U0
st RC

一阶常系数线性齐次微分方程: 一阶常系数线性齐次微分方程 1 特征方程RCs +1 = 0 ?特征根s = ? RC 1
? t

一阶RC电路的零输入响应 §3-4-1 一阶 电路的零输入响应
uC (t) = U0e = U0e τ t ≥ 0+ 因此方程的解得: 因此方程的解得 1 ? duC U0 RC t + 电路中的电流: 电路中的电流 i(t) = C =? e t ≥0 dt R
电阻的电压: 电阻的电压 uR (t) = uC (t) = U0e 响应曲线: 响应曲线
U0
? 1 t RC

?

1 t RC

1 ? t

t ≥ 0+
t

uC (t )
0

i (t )
U0 ? R

0

t

RC电路的零输入响应是一个放电过程,电容的初始储能被电 电路的零输入响应是一个放电过程,电容的初始储能被电 电路的零输入响应是一个放电过程 的初始储能 阻消耗,零输入响应逐渐衰减为零。 逐渐衰减为零 阻消耗,零输入响应逐渐衰减为零。

一阶RC电路的零输入响应 §3-4-1 一阶 电路的零输入响应
可以看出各电量是按照相同的指数规律变化,其变化的快慢由电 路参数R和C决定。如果R和C值一定,则过渡过程的快慢也就决 定了;同时,改变R、C值,就可以改变过渡过程的快慢程度。

时间常数: 时间常数:τ = RC

伏 时间常数的单位: ? 库 = 伏? 安? 秒 = 秒 时间常数的单位: 安 伏 安 伏
电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小, 电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小, 越大,衰减越慢,反之则越快。 τ 越大,衰减越慢,反之则越快。

1 1 称为电路的固有频率 固有频率(natural frequency) s =? = ? 称为电路的固有频率 RC τ 表示网络本身固有的特性

一阶RC电路的零输入响应 §3-4-1 一阶 电路的零输入响应
观察t ≥ 0+ 时uc (t ), i (t ), uR (t )的表达式可知,指数前的系数 就是这些量的初始值,所以,任意量的零输入相应都可写为 标准形式:
1 ? t

y(t) = y(0+ )e τ , t ≥ 0+
因此,只要知道了该量的初始值和电路的时间常数,就能够得到 该量在过渡过程中的变化规律

一阶RL电路的零输入响应 §3-4-2 一阶 电路的零输入响应
t <0 开关打开前电路稳态
t 换路瞬间电感电流保持不变。
iL =0时发生换路,即开关S打开, + uL
L

S ( t = 0)
+ uR
?

R0
R
?

t > 0时,电感通过电阻放电,电感释放能量, 电阻消耗能量;电感电流↓ ,电感电压 ↓ t → ∞时,电感放电结束: i L (∞) = 0, uL (∞) = 0, uR (∞) = 0。
X

U0 iL (0 ) = iL (0 ) = = I0 R
+ ?

?

+ U0

一阶RL电路的零输入响应 §3-4-2 一阶 电路的零输入响应
已知iL (0? ) = U0 R0 = I0 求t ≥ 0+ 时的iL ( t ), uL。 uR (t ) (t ),

KVL方程 uR ? uL = 0 方程: 方程

diL QuR = ?RiL, uL (t) = L dt di diL + L + RiL = 0 t ≥ 0 dt

i L (t )
+

uL (t )
?

L

uR (t ) R
?

+

一阶常系数线性齐次微分方程: 一阶常系数线性齐次微分方程
st ? t L

解的形式为: L (t) = Ae = Ae i

R 特征方程Ls + R = 0 ? 特征根s = ? L R

U0 = I0 其中A 由初始条件确定 iL (0 ) = A = R
+

一阶RL电路的零输入响应 §3-4-2 一阶 电路的零输入响应
U0 e = I0e = I0e τ 因此方程的解得: 因此方程的解得 iL (t ) = R0 R R ? t ? t U0 diL = ? Re L = ?I0Re L 电感电压: uL (t) = L 电感电压 R0 R dt ? t + L t ≥0 电阻电压: 电阻电压 uR (t) = uL (t) = ?I0Re
响应曲线: 响应曲线
I0
R ? t L R ? t L 1 ? t

t ≥ 0+
t ≥ 0+

i L (t )
0

uL ( t )
t

? I0 R

0

t

RL电路的零输入响应是一个放电过程。电感的初始储 电路的零输入响应是一个放电过程。电感的初始储 电路的零输入响应是一个放电过程
能被电阻消耗,零输入响应逐渐衰减为零。 被电阻消耗,零输入响应逐渐衰减为零。 逐渐衰减为零
X

一阶RL电路的零输入响应 §3-4-2 一阶 电路的零输入响应
电路中的各量都是按照相同的指数规律变化,其变化的快慢由电 路参数R和L决定。如果R和L值一定,则过渡过程的快慢也就决 定了;同时,改变R、L值,就可以改变过渡过程的快慢程度。

时间常数的单位: 时间常数的单位: = ? =秒 欧姆 安 伏 电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小, 电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小, 越大,衰减越慢,反之则越快。 τ 越大,衰减越慢,反之则越快。

L τ 时间常数: 时间常数: = R 亨利 伏? 秒 安

R 1 电路的固有频率 固有频率: 电路的固有频率 s = ? = ? L τ
X

一阶RL电路的零输入响应 §3-4-2 一阶 电路的零输入响应
通过分析RC电路或者 电路的所求变量 通过分析 电路或者RL电路的所求变量,可以 电路或者 电路的所求变量, 看出任何量的零输入响应都可以写成: 任何量的零输入响应都可以写成 看出任何量的零输入响应都可以写成:
1 ? t

y(t) = y(0+ )e τ , t ≥ 0+
因此,只要知道了待求量的初始值和 因此,只要知道了待求量的初始值和电路的时间 初始值 常数,就可以得到该量在过渡过程的变化规律。 常数,就可以得到该量在过渡过程的变化规律。 线性时不变电路的零输入响应满足叠加性, 线性时不变电路的零输入响应满足叠加性,即如 果初始值增加K倍 则响应也增加K倍 果初始值增加 倍,则响应也增加 倍。

X

过渡过程与时间常数的关系
以电容电压为例 t = τ 时, 电压下降为初始值的 电压下降为初始值的36.8%。 。 t = 4τ 时,电压下降为初始值的 电压下降为初始值的1.83%。 。 t = 5τ 时,电压下降为初始值的0.67%。 电压下降为初始值的 。 t = 6τ 时,电压下降为初始值的 电压下降为初始值的0.09%。 。 作为放电完毕所需时间。 工程上常取 t = (4 ~ 5 )τ 作为放电完毕所需时间。 时间常数影响过渡过程的快慢: 时间常数影响过渡过程的快慢: 时间常数τ 越小,过渡过程越快; 时间常数τ 越小,过渡过程越快; 时间常数τ 越大,过渡过程越慢; 时间常数τ 越大,过渡过程越慢;

X

时间常数的测定
方法一: 方法一: 曲线上测量0.368 uc (0+ ) 在uc (t)曲线上测量 所对应的时间为时间常数。 所对应的时间为时间常数。 方法二: 方法二: uc (0+ ) 作切线,切线与时 作切线, 过 间轴的交点为时间常数, 间轴的交点为时间常数,其 中切线斜率为: 中切线斜率为:
t ? duc (t) 1 = (? )uc (0+ )e τ dt t =0 τ

=?
t =0

uc (0+ )

τ

X

时间常数的计算
方法一: 方法一: 若已知电路的微分方程,求得特征方程的特征根s, 若已知电路的微分方程,求得特征方程的特征根 , 因此可以得到时间常数 τ = ?1 s 。 方法二: 方法二: + 若已知函数表达式, 若已知函数表达式,根据 uC (t) t =τ =0.368uC (0 )确定 时间常数 τ 。 方法三: 方法三: 根据电路, 计算。 根据电路,利用公式 τ = RC 和τ = L R 计算。对于复 杂电路, 杂电路,利用戴维南定理或诺顿定理将除动态元件以 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代,则 外的电路用戴维南等效电路或诺顿等效电路替代, R为与动态元件连接的戴维南等效电阻或诺顿等效电 为与动态元件连接的戴维南等效电阻或诺顿等效电 阻。 同一电路中各响应量的时间常数相同。 同一电路中各响应量的时间常数相同。 X

例题

求 ≥0 时电路的时间常数τ 。 t
R1

+

解: 开关闭合后电路变成两

个独立的部分,即 us 与 R 的串联和 L 与R2 的串 us 1 联,所以有:

+ S (t = 0)

R2

L

L τ= R2

X

求t ≥ 0 时的 iC (t ) 和u(t )。 420× us (t) ? = 120V u 解: < 0时电容开路:C (0 ) = t 70 + 420 + ? 20? 70? i (t ) t ≥ 0, uC (0 ) = uC (0 ) = 120 V
c

例题

已知us (t) = 140V, t < 0; us (t) = 0, t ≥ 0,

与电容连接的等效电阻为:

+
us

0.02 ? F

i (t )

Req = 70 / /420 + (20 + 60) / /80

420?

80?

60? u(t )

+ -

= 100? t ? 5 + ?6 τ = 120e?5×10 t V ∴τ = ReqC = 2×10 s ? uC (t) = uC (0 )e duC (t) ?5×105 t iC (t) = C = ?1.2e A; dt ?5×105 t u(t) = 0.5iC (t) ×60 = ?36e V
X

-

解 ( 续)
或 据 时刻的等效电路来求。 根 0
120 120 + iC (0 ) = ? =? = ?1.2A Req 100
+

+

70?

+
iC ( 0 + )

120V

-

20?

420?

80?

60?

+

u( 0 + )

-

(20 + 60)// 80 60 u(0 ) = × ×-120 = ?36V 70 // 490 + (20 + 60)// 80 20 + 60 t ? ? + ?5×105 t τ A ?iC (t) = iC (0 )e = ?1.2e ?? t ? ?u(t) = u(0+ )e τ = ?36e?5×105 t V ?

X

例题 电感有初始储能iL (0? ) = 1.2A, 求t ≥0时的 AB (t)。 u

解: AB左端网络的等效电阻: 求
uAB ?RAB = = 0.25? iAB 与电感连接的等效电阻为: L = 4s Req = RAB +1 = 1.25? ∴τ = Req 2? + ? 又QiL (0 ) = iL (0 ) = 1.2A

A

uAB uAB ∴4uAB = iAB

= (iAB + 5i + i) ×1 = 6i + iAB? ? ? = ?2i

i
2?
1?

5i

+
uAB

1?

iL
5H

B

i AB A

i
1?

5i

+
uAB

∴iL (t) = iL (0 )e

= 1.2e A diL (t) ?0.25t = ?0.3e V uAB (t) = 1× iL (t) + L dt
τ

+

?

t

?0.25t

B

X

4.小结 4.小结
(1) 零输入响应是在输入为零时由非零初始状态产生 的响应,它取决于电路的初始状态和电路特性, 的响应,它取决于电路的初始状态和电路特性,因 此,只要知道电容电压或电感电流的初始值和电路 的时间常数,就能求得一阶电路的z.i.r。 的时间常数,就能求得一阶电路的 。 (2) RC电路和 电路的零输入微分方程具有相同的 电路和RL电路的零输入微分方程具有相同的 电路和 形式,可表示为如下一般形式: 形式,可表示为如下一般形式: t

? d 1 y z.i.r:( t ) = y(0) e τ t ≥ 0+ : y(t ) + y(t ) = 0 dt τ t 指数衰减) (指数衰减) ? + τ y ( t ) = y(0) e t ≥ 0 的零输入响应形式不仅适用于 的零输入响应形式不仅适用于

状态变量,也适用于非状态变量。 状态变量,也适用于非状态变量。

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