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江西省2015届高三5月大联考数学(文)试题 扫描版含答案

江西省2015届高三5月大联考数学(文)试题 扫描版含答案


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2015 年 5 月份江西省大联考

文科数学试题参考答案
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则. 2. 对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视 影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就 不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给 整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题(每小题 5 分)
1. B 7. D 2. C 8. A 3. A 9. B 4. D 10. C 5. D 11. D 6. A 12. C

二、填空题(每小题 5 分)
13. {1,2} 14. 2 2 15 . [ 3 ,1) 2 16. ?0,1?

三、解答题
17.解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0 ) ,由题意得 a1q ? a1q ? 2a1 ,
2

解得 q ? 2 或 q ? ?1 (舍去).
3 由 a1q ? 24 得 a1 ? 3 ,故 an ? 3 ? 2

3分
n ?1


n ?1

6分

(Ⅱ)当 n ? 2 时, an ? bn ? Tn ? Tn ?1 ? 3n ? 2 9分

? 3(n ? 1) ? 2n ? 3(n ? 1) ? 2n ;

* 经 检 验 , 当 n ? 1 时 , T1 ? 3 ? 2 ? 12 也 符 合 上 式 , 因 此 n ? N 时 , 都 有

2

an ? bn ? 3(n ? 1) ? 2n .
又 an ? 3 ? 2
n ?1

,故 bn ? 2n ? 2 .

12 分

18. (Ⅰ) 解:取 PA 的中点 M,由侧面 PAD 为正三角形可得 DM⊥PA, 又可证 AB⊥平面 PAD,所以 AB⊥DM,所以 DM⊥平面 PAB,

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即 DM 为点 D 到平面 PAB 的距离. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2,则 DM= 3 . 所以点 D 到平面 PAB 的距离为 3 .

4分

6分

1 (Ⅱ) 证明:取 PD,PC 的中点 E,F,连接 AE,BF,EF,则 EF∥ =2CD, 1 又 AB∥CD,AB= CD,∴EF∥AB,EF=AB, 2 ∴四边形 ABFE 为平行四边形,∴BF∥AE. 由侧面 PAD 为正三角形可得 AE⊥PD; 由 AB ∥ CD , AD ? CD , AB ? PA ,可得 CD⊥平面 PAD. 10 分 所以 CD⊥AE,所以 AE⊥平面 PCD. 则 BF⊥平面 PCD,又 BF ? 平面 PBC,所以平面 PBC ⊥平面 PCD . 12 分 19.解:(Ⅰ)经计算可知选甲、乙两题得分的平均数为 x甲 ? x乙 =8 , 2分 选甲、乙 两题得分的方差分别为 s甲 =4 ? 2.8 ? s乙 .因此选作乙题更加稳妥.
2 2

6分 (Ⅱ) 根据题意,可得 2 ? 2 列联表如下: 甲 满分 非满分 合计 10 10 20 乙 6 14 20 合计 16 24 40 8分

因此 K 的观测值

2

k?

40 ? (10 ?14 ? 10 ? 6)2 5 ? ? 1.667 20 ? 20 ?16 ? 24 3 ,

2 而犯错误概率不超过 1%的 K 临界值 k0 ? 6.635 ,

k ? k0 ,因此在犯错误概率不超过 1%的情况下, 认为该选做题得满分与选题无关.
12 分
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20. 解:(Ⅰ)圆的 方程为(x?a)2+(y?2a)2=4.由于以 AB 为一边的正方形内接于圆 E,
a - 2a

由平面几何知识知,圆心(a, 2a)到直线 x?y=0 的 距离为 2,∴ 6分

2

= 2,∴a = ?2.

(Ⅱ)假设 E1,E2 存在,则 E1,E2 均在直线 l:y =2x 上,过点 P 与 l 垂直的直线 l 程为 y = 1 (x 2 5), 4 15 . 3

的方

则 l 与 l?的交点为 Q(1,2). ∵|PQ|=2 5.∴正三角形的边长为 8分 不妨设 E1 (a ,2a),则| E1Q|=

(a ? 1) 2 ? (2a ? 2) 2 = 2 15, 3

化简得:3a2-6a-1=0,∴Δ > 0,∴满足条件的圆 E1,E2 存在. 又| E1P|=| E2P|= 4 15 4 15 ,∴圆 P 的半径为 -2. 3 3 12 分

21. 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? a ln x ,得

f ?( x) ?

x?a x .

? 当 x ? (0, a ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减; ? 当 x ? ( a , ??) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( a , ??) 上单调递增.
所以 f ( x) 的最小值为 f (a) ? a ? a ln a . 4分

? (Ⅱ)因为 g ( x) ? e ? bx ,所以 g ( x) ? e ? b .
x
x

? 令 g ( x ) ? 0 ,则 x ? ln b ? 0 .
由(Ⅰ)知当 a ? 1 时, f ( x) ? f (1) 即 x ? ln x ? 1 ? 0 , 所以 b ? ln b .

? 所以当 x ? (0,ln b) 时, g ( x ) ? 0 , g ( x) 在 (0,ln b) 上单调递减; ? 当 x ? (ln b, b) 时, g ( x ) ? 0 , g ( x) 在 (ln b, b) 上单调递增.
所以 g ( x ) 在 [0, b] 上的最小值 g (ln b) ? b ? b ln b . 8分

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(ⅰ)当 1 ? b ? e 时, g ( x)min ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [0, b] 内无零点; (ⅱ)当 b ? e 时, g ( x)min ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0, b] 内有唯一的零点; ( ⅲ) 当 b ? e 时, g ( x)min ? 0 , g (0) ? 1 ? 0 ,所以 g ( x ) 在区间 [0, ln b] 内有唯一零点; 由(Ⅰ)知当 a ? 2 时, f ( x) ? f (2) 即 x ? 2 ln x ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , b ? 2 ln b .
b 2 b 2ln b ? 0. 所以 g ( x ) 在区间 [ln b, b] 内有唯一零点. ∴ g (b) ? e ? b ? e ? e

综上所述:当 1 ? b ? e 时, g ( x) 在 [0, b] 内无零点; 当 b=e 时, g ( x) 在 [0, b] 内有唯一的零点; 当 b>e 时, g ( x) 在 [0, b] 内有两个零点. 12 分

选做题
22. (Ⅰ )直线 PC 与圆 O 相切. 证明:连接 OC,OD,则∠ OCE=∠ ODE. ︵ ︵ ∵ CD 是∠ ACB 的平分线,∴ AD=BD,∴ ∠ BOD=90° ,即∠ OED+∠ ODE=90° . ∵ PC=PE,∴ ∠ PCE=∠ PEC=∠ OED. ∴ ∠ OCE+∠ PCE=90° ,即∠ OCP=90° , ∴ 直线 PC 与圆 O 相切. (Ⅱ)解:因为 AB=10,BC=6,∴ AC=8. 5分 1分

AE AC 4 ? ? BC 3 , 由 CE 为∠ ACB 的平分线,可得 EB
? AE ? 4 7 EB ? AE ? EB ? EB ? AB ? 10 30 3 3 , ,解得 BE= .
7

10 分

x2 23.解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 2 +y2=1,其右焦点为(1,0) ,
而直线 l 过该点,所以直线 l 与曲线 C 相交. 5分

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? 2 t, ?x ? 1 ? ? 2 ? 2 x2 ? y ? t ? 2 (Ⅱ)将 ? 代入椭圆方程 2 +y2=1 得 3t2 +2 2t
2 2 设 A,B 对应的参数为 t1,t2,则 t1t2=- ,∴|PA|?|PB|= . 3 3 由对称性可知,|PE|?|PF|= 2 . 3

2=0,

4 ∴|PA|?|PB|+|PE|?|PF|= . 3 24.解: (Ⅰ)∵|x+3|+|x+2|≥|(x+3)-(x+2)|=1, 当(x+3)(x+2)≤0,即 3≤x≤-2 时取等 号,

10 分

∴a+b+c≤1,即 a+b+c 的 取值范围是( ∞,1]. (Ⅱ)∵a+b+c 最大值是 1,∴取 a+b+c=1 时. ∵a?+ b?+c?=(a+b+c)? 1 ∴a?+ b?+c?≥ . 3 (2ab+2bc+2ca)≥1 2( a?+ b?+c?), 10 分

5分

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