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2013层次分析法课件

2013层次分析法课件


层 次 分 析 法
Analytic Hierarchy Process AHP

T.L.saaty

一 问题的提出
例1 旅游 假期旅游,是去风光秀丽的苏州,还是去迷人的 北戴河,或者是去山水甲天下的桂林,一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。

例2 购物 买钢笔,一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。

例3 择业 面临毕业,可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择,一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展 前途、住房条件等因素择业。

例4 科研课题的选择

由于经费等因素,有时不能同时开展几个课题,一般
依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等 因素进行选题。

二、层次分析法简介
层次分析法(Analytic Hierarchy Process ,简称AHP) 是美国匹兹堡大学教授A. L.Saaty(萨蒂)于20世纪70年代 提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程,开发 一种定性与定量相结合的分析方法,主要解决多因素复杂系 统,特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。 1977年第一届国际数学建模会议上,Saaty发表了《无结 构决策问题的建模—层次分析理论》,开始引起人们注意。 1980年后陆续出版相关的专著和文章,其理论逐步走向成熟, 1982年引入我国,天津大学许树柏等发表我国第一篇介绍AHP 的论文,此后在我国得到广泛的应用。1988年专门在天津召 开国际AHP学术研讨会,使得在我国得到广泛运用。

基本的思路
?

?

?

------先分解后综合的系统思想 整理和综合人们的主观判断,使定性分析与定量分析 有机结合,实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化,根据问题的性质和要 达到的总目标,将问题分解成不同的组成因素,按照 因素间的相互关系及隶属关系,将因素按不同层次聚 类组合,形成一个多层分析结构模型,最终归结为最 低层(方案、措施、指标等)相对于最高层(总目标) 相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。

层次结构图

目标层

目标层(A)

准则层

C1 准则层

C2 准则层

C3 准则层



准则层

Cn 准则层

方案层

P1 方案层



方案层

Pm 方案层

例:选择旅游地
目标层

如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
A(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

方案层

P1 桂林

P2 黄山

P3 北戴河

构造成对比较矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言,本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak 与下一层次中因素C1,C2,…,Cn有联系,则我们构造 的判断矩阵如下表。
Ak C1 C2 … … Cn C1 C 2 …… Cn

a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n … … …… … … … …… … an1 an2 …… ann

aij是对于Ak而言,Ci对Cj的相对重要性的数值表示。

aij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数,其含义为: 尺度 含 义

1 3 5 7 9

第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强

第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明显强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强

2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。

为什么采用1~9级的指标比例呢?

(1)心理学的实验表明,大多数人对不同事物在相同属性 上差别的分辨能力在5~9级之间,采用1 ~ 9的标度反映了 大多数人的判断能力;
(2)大量的社会调查表明,1~9的比例标度早已为人们所 熟悉和采用;

(3)科学考察和实践表明,1~9的比例标度已完全能区分 引起人们感觉差别的事物的各种属性。

显然,任何判断矩阵都应满足:

aij>0 ,aii = 1,aij = 1/aji,i,j = 1,2,…,n
因此,对于这样的判断矩阵来说, 作n(n-1)/2 次两两判断就可以了。

若判断矩阵进一步满足如下关系:

aij =aik/ajk,

i、j、k= 1,2,…,n

则称判断矩阵为一致性矩阵。 结论1:一致矩阵的最大特征值λmax=n,其余特征值 均为零。 结论2:判断矩阵的最大特征根为单根,且λmax≥n。 结论3:判断矩阵是一致性矩阵的充分必要条件是 λmax=n。 当判断矩阵的最大特征值λmax稍大于矩阵阶数n,其 余特征值接近于零,则称此判断矩阵具有满意的一致 性。当判断矩阵具有满意一致性时,这时AHP得出的结 论才基本合理。

三、层次分析法基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1,每只西瓜的重量分 别为W1,W2,…,Wn。把这些西瓜两两比较,很容易得到表示 n只西瓜相对重量关系的比较矩阵:

A=

=(aij)nxn

显然aii= 1,aij =1/aji,aij =aik/ajk,i、j、k= 1,2,…,n

那么就有:

AW=

=

=nW

即n是A的一个特征根,每只西瓜的重量是A对应于特 征根n的特征向量的各个分量。

很自然,我们会提出一个相反的问题,如果事先不知道 每只西瓜的重量,也没有衡器去称量,我们如能设法得到 判断矩阵(比较每两只西瓜的重量是最容易的),能否导 出西瓜的重量呢?显然是可以的,在判断矩阵具有完全一 致的条件下,我们可以通过解特征值问题

AW= λmaxW
求出正规化特征向量(即假设西瓜总重量为1),从而得到n 只西瓜的相对重量。

目标层

O(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性

Ci : C j ? aij
选 择 旅 游 地
C1 C1 C2

1 A ? (aij ) n?n , aij ? 0, a ji ? aij
C2 C3 C4 C5

C3
C4 C5

1/ 2 4 3 3 ? ? 1 ? 2 1 7 5 5 ? ? ? A ? ? 1/ 4 1/ 7 1 1 / 2 1 / 3? ? ? 1/ 3 1/ 5 2 1 1 ? ? ? 1/ 3 1/ 5 3 1 1 ? ? ? 要由A确定C1,… , Cn对O的权向量

A~成对比较阵 A是正互反阵 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题

成对比较的不一致情况

? 1 A?? 2 ? ??? ?
一致比较

1/ 2 1

4 ?? 7 ?? ? ? ?

不一致

a21 ? 2 (C2 : C1 )

a13 ? 4 (C1 : C3 )

a23 ? 8 (C2 : C3 )

允许不一致,但要确定不一致的允许范围

? w1 考察完全一致的情况 ?w ? 1 W (? 1) ? w1 , w2 ,?wn 可作为一个排序向量 ? w2 A ? ? w1 成对比较 ? 令aij ? wi / w j ??? ? 满足 aij ? a jk ? aik , i, j, k ? 1,2,?, n ? wn 的正互反阵A称一致阵。 ? w1 ?

w1 w2 w2 w2 wn w2

? ?

?

w1 ? wn ? ? w2 ? wn ? ? ? ? wn ? wn ? ?

一致阵 性质

? A的秩为1,A的唯一非零特征根为n

Aw ? nw
但允许范围是 多大?如何界 定?

? 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量

对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵 A, Saaty等人建议用对应于最大特征根? 的特征向量作为权向量w ,即

Aw ? ?w

由于λ 连续的依赖于aij ,则λ 比n 大的越多,A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量,其不 一致程度越大,引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。 定义一致性指标: CI ?

? ?n
n ?1

CI=0,有完全的一致性
CI接近于0,有满意的一致性 CI 越大,不一致越严重

为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI。方法为 随机构造500个成对比较矩阵 A , A2 ,?, A500 1
则可得一致性指标

CI1, CI 2 ,?, CI500

CI1 ? CI 2 ? ?CI 500 RI ? ? 500

?1 ? ?2 ? ? ? ?500
500 n ?1

?n

Saaty的结果如下 随机一致性指标 RI
n RI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

CI 定义一致性比率 : CR ? RI CI ? 0.1 时,认为 A 一般,当一致性比率 CR ? RI
的不一致程度在容许范围之内,有满意的一致性,通过

一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量,否则
要重新构造成对比较矩阵A,对 aij 加以调整。 一致性检验:利用一致性指标和一致性比率<0.1

及随机一致性指标的数值表,对

A 进行检验的过程。

“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根?=5.073

准则层对目标的成对比较阵
? 1 ? 2 ? A ? ? 1/ 4 ? ? 1/ 3 ? 1/ 3 ? 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 ? 5 5 ? ? 1 / 2 1 / 3? ? 1 1 ? 1 1 ? ? 3

权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 一致性指标 CI ? 5.073 ? 5 ? 0.018 5 ?1 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致

一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1

性检验

判断矩阵最大特征根和特征向量的简化计算
? 精确计算的复杂和不必要 ? 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量, 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量,可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均

2 ?1 例 A ? ?1 / 2 1 ? ?1 / 6 1 / 4 ?

6? 列向量 ?0.6 0.615 0.545 ? 4 ? 归一化 ?0.3 0.308 0.364 ? 归 ? ? ? 一 ?0.1 0.077 0.091 ? 化 1? ? ? ?

求 行 和

?0.587 ? ?0.324 ? ? w ? ? ?0.089 ? ? ?

?1.769 ? Aw ? ?w 1 1.769 0.974 0.268 ?? ( ? ? ) ? 3.009 ? 0.974 ? Aw ? ? 3 0.587 0.324 0.089 ? ? 0.268 ? ? ?

精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, ?=3.010

选择旅游地

记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为

w(2) ? (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn

同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量

方案层对C1(景色)的 成对比较阵

?1 B1 ? ?1 / 2 ? ?1 / 5 ?
权向量

2 1 1/ 2

5? 2? ? 1? ?

? 1 1/ 3 1/ 8 ? B2 ? ? 3 1 1 / 3? ? ? ?8 3 1 ? ? ?
?2 =3.002
w2(3)

…Bn

最大特征根 ?1 =3.005
w1(3)

… ?5 =3.0
… w5(3)
=(0.166,0.166,0.668)

=(0.595,0.277,0.129) =(0.082,0.236,0.682)

组合权向量

第3层对第2层的计算结果

w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110

w

( 3) k

0.595 0.277

0.082 0.236

0.429 0.429

0.633 0.193

0.166 0.166

0.129

0.682
3.002

0.142
3

0.175
3.009

0.668
3

?k
CI k

3.005

0.003

0.001

0

0.005

0

RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验

方案P1对目标的组合权重为0.595?0.263+ …=0.300
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T

1.建立层次结构模型
?

? ? ?

?

将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象 按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层, 绘出层次结构图。 最高层:决策的目的、要解决的问题。 最低层:决策时的备选方案。 中间层:考虑的因素(指标)、决策的准则。 对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。 下面举例说明。

三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时,大体可 以分为以下四个步骤: 1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验

四、 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层,最上面为目标层,最下面为方案层, 中间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型

买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形
实 用

目标层 准则层 方案层

可供选择的笔

例2. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层 O(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

方案层

P1 桂林

P2 黄山

P3 北戴河

例3 大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生,在“双向选择”时, 用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生 来说选择单位的标准和要求是多方面的,例如: ①能发挥自己才干作出较好贡献(即工作岗位适合发挥 自己的专长); ②工作收入较好(待遇好); ③生活环境好(大城市、气候等工作条件等); ④单位名声好(声誉等); ⑤工作环境好(人际关系和谐等) ⑥发展晋升机会多(如新单位或前景好)等。

目标层

工作选择

贡 准则层 献













工 作 环 境

生 活 环 境

方案层

可供选择的单位P1’ P2



Pn

若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一 层所有因素影响,称为完全层次结构,否则称为不完全层 次结构。 还可以建立子层次。

例3 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A

准则层1

成果贡献B1 应 用 价 值
科 学 意 义

人才培养B2

课题可行性B3 难 易 程 度
c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持

准则层2

c1
方案层
课题D1

c2
课题D2

c5

课题D3

层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次: 最高层:目标层。表示解决问题的目的,即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层:准则层、指标层、…。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节; 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层:方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素,层间元素的关系用相连直线表示。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序,从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。

层次分解时注意事项:
如果所选的要素不合理,其含义混淆不清,或 要素间的关系不正确,都会降低AHP法的结果质量, 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性,需注意以下问题: ? 1、要对问题的影响因素有充分的理解,必要的时 候可以咨询相关的专家; ? 2、分解简化问题时把握主要因素,不漏不多 ? 3、注意相比较元素之间的强度关系,相差太悬殊 的要素不能在同一层次比较。

2. 构造判断(成对比较)矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常 不容易被别人接受,因而Santy等人提出:一致矩阵法,即: 1. 不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较 2. 对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因 素相互比较的困难,以提高准确度。

判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,即每层 不要超过9个因素。

判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 含义 表示两个因素相比,具有同样重要性 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要

5 7
9 2,4,6,8

表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要
表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
因素i与j比较的判断aij,则因素j与i比较的判断aji=1/aij

倒数

?max ? n

3、层次单排序和一致性检验
层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某 因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。 可以归结为,求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量, 即对判断矩阵B,计算满足: BW = ?max W 的特征根与特征向量。式中,λmax为B的最大特征根; W为对应于λmax的单位化特征向量;W的分量Wi即是相应因 素单排序的权值。

对判断矩阵一致性检验的步骤:
(1)计算一致性指标(Consisteney Index):CI

CI ?

?max ? n
n ?1

显然当判断矩阵具有完全一致性时,CI=0,λmax-n 越大,CI越大,矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵 是否具有满意的一致性,需要将CI与平均一致性指标RI (Random Index)进行比较。

(2)查找相应的平均随机一致性指标:RI 对n=1、2、3…9,Saaty给出了的值,如下表所示:
n RI 1 0 2 0 3 4 5 1.12 6 7 8 9

0.58 0.90

1.24 1.32 1.41 1.45

(3)计算一致性比率:CR

CI CR ? RI

当CR<0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的, 否则应对判断矩阵作适当修正。

平均随机一致性指标RI是多次(500次以上) 重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后,取算 术平均数得到的。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性, 需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。

4. 层次总排序及其一致性检验
?

?

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性 的权值,称为层次总排序。 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

Z
A1 B1 A2
B2

A层m个因素A1, A2 ,?, Am ,
对总目标Z的排序为

? ?

Am

a1, a2 ,?, am
B层n个因素对上层 中因素为 j A A
的层次单排序为

Bn

b1 j , b2 j ,?, bnj

( j ? 1,2,?, m)

即 B 层第 i 个因素对总目标

B 层的层次总排序为: B1 : a1b11 ? a2b12 ? ? amb1m
m

B2 : a1b21 ? a2b22 ? ? amb2 m Bn : a1bn1 ? a2bn 2 ? ? ambnm

的权值为:? a j bij
j ?1

?

A B

A , A2 ,?, Am 1

a1 , a2 ,?, am
m

B层的层次 总排序

B1 B2 ? Bn

b11 b12 b21 b22 ? ? bn1 bn 2

b1m b2 m ? bnm

?a b
j ?1 m j ?1 m j

j 1j

? b1 ? b2 ? bn

?a b ?a b
j ?1 j

2j

nj

层次总排序的一致性检验 设 B 层 B1, B2 ,?, Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j ? 1,2,?, m) 的层次单排序一致性指标为 CI j ,随机一致性指为 RI j , 则层次总排序的一致性比率为:

a1CI1 ? a2CI 2 ? ? ? amCI m CR ? a1 RI1 ? a2 RI2 ? ? ? am RIm
当 CR ? 0.1 时,认为层次总排序通过一致性检验。层次 总排序具有满意的一致性,否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。 到此,根据最下层(决策层)的层次总排序做出最后决策。

层次分析法的基本步骤归纳如下
1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层,准则层,方案层。 2.构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。 3.计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量, 利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性

检验。若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;
若不通过,需要重新构造成对比较矩阵。

4.计算总排序权向量并做一致性检验 计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率

a1CI1 ? a2CI 2 ? ? ? amCI m CR ? a1 RI1 ? a2 RI2 ? ? ? am RIm
CR ? 0.1
进行检验。若通过,则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策,否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比 率 CR 较大的成对比较矩阵。

四. 层次分析法的广泛应用
? 应用领域:经济计划和管理,能源政策和分配, 人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题, 产业结构,教育,医疗,环境,军事等。 ? 处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。

? 建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决 策层参与。
? 构造成对比较阵是数量依据,应由经验丰富、判 断力强的专家给出。

例1 国家 实力分析

国家综合实力 国民 军事 科技 对外

社会

收入

力量

水平

稳定

贸易

美、俄、中、日、德等大国

例2 工作选择
贡 献 收 入

工作选择

发 展

声 誉

关 系

位 置

供选择的岗位

例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1

过河的效益 A

经济效益 B1
收 岸 入 间 C2 商 业 C3

社会效益 B2 建 筑 就 业 C5 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 隧道 D2
自豪 感C8 舒 适 C9

环境效益 B3 进 出 方 便 C10 美 化 C11

当 地 商 业 C4

桥梁 D1

渡船 D3

(1)过河效益层次结构

例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1

过河的代价 A

经济代价 B1 操 作 维 护 C2 冲 击 渡 船 业 C3 冲 击 生 活 方 式 C4

社会代价 B2
交 通 拥 挤 C5 居 民 搬 迁 C6 汽 车 排 放 物 C7

环境代价 B3 对 水 的 污 染 C8 对 生 态 的 破 坏 C9

桥梁 D1

隧道 D2

渡船 D2

(2)过河代价层次结构

例4 科技成果 的综合评价
效益C1

科技成果评价

水平C2

规模C3

直接 经济

间接

经济
效益 C12

社会 效益 C13

学识

学术 创新 C22

技术 水平 C23

技术 创新 C24

效益
C11

水平
C21

待评价的科技成果

五 判断矩阵的计算方法
通过前面的介绍,我们知道,在层次分析方法 中,最根本的计算任务是求解判断矩阵的最大特征根 及其所对应的特征向量。这些问题当然可以用线性代 数知识去求解,并且能够利用计算机求得任意高精度 的结果。但事实上,在层次分析法中,判断矩阵的最 大特征根及其对应的特征向量的计算,并不需要追求 太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题 定量化的结果,允许存在一定的误差范围。因此,我 们常常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所 对应的特征向量。 三种方法:幂法、和积法和方根法

判断矩阵和积法计算步骤:

2 6 ? 列向量 ? 1 ? ? 归一化 A ? ?1 / 2 1 4 ? ?1 / 6 1 / 4 1 ? ? ?

? 0.6 0.615 0.545? ? ? ? 0.3 0.308 0.364? ? 0.1 0.077 0.091? ? ?

求和

? 1.769? ? 1.760? 归一化 ? 0.587? ? ? ? ? ? ? ? 0.324? ? w Aw ? ? 0.974? ? 0.972? ? 0.089? ? 0.268? ? 0.268? ? ? ? ? ? ?

1 1.769 0.974 0.268 ?? ( ? ? ) ? 3.009 3 0.587 0.324 0.089

, 精确计算,得 w ? (0.588 0.322, 0.090), ? ? 3.013

六、层次分析法应用实例
例1.某单位拟从3名干部中选拔一名领导,选拔的 标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作 能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、 量化排序。

⑴建立层次结构模型
目标层
选一领导干部

准则层

健 康 状 况

业 务 知 识

写 作 能 力

口 才

政 策 水 平

工 作 作 风

方案层

P1

P2

P3

⑵构造成对比较矩阵及 层次单排序
健康情况

健 康 情 况

业 务 知 识

写 作 能 力

口 才

政 策 水 平

工 作 作 风

1 1 ? 1 ? 业务知识 1 2 ? 1 写作能力 ? 1 1/ 2 1 ? A? 口才 ?1 / 4 1 / 4 1 / 5 政策水平 ? 1 1 1/ 3 ? 工作作风 ? 2 2 2 ?

4 4 5 1 3 3

1/ 2? ? 1 1/ 2? 3 1/ 2? ? 1/ 3 1/ 3? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1

A的最大特征值 ?max ? 6.35,

相应的特征向量为:

W ( 2) ? (0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30)T 一致性指标 CI ? 6.35 ? 6 ? 0.07 随机一致性指标 RI=1.24 (查表)
6 ?1

一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1

通过一致性检验

假设3人关于6个标准的判断矩阵为: 写作能力 健康情况 业务知识 ? 1 1/ 4 1/ 2? ? 1 1/ 4 1/ 4? ? 1 3 1/ 3? ? ? ( 3) ? ? ( 3) ? ? ? ?4 1 3 ? B2 ? ? 4 1 1 / 2 ? B3 ? ?1 / 3 1 1 ? ? 2 1/ 3 1 ? ?5 2 ? 3 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 口才 工作作风 政策水平 ? 1 1/ 3 5 ? 1 7? ? 1 7 ? 1 ? ? ? ? ? ( ( ?? 3 1 7 ? B53) ? ? 1 1 7 ? B63) ? ?1 / 7 1 ?1 / 5 1 / 7 1 ? ?1 / 7 1 / 7 1 ? ?1 / 9 1 / 5 ? ? ? ? ?

B1( 3)

( B43)

9? ? 5? 1? ?

由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。

各属性的最大特征值
特征值

?max

健康情况 业务知识 写作能力 风

口才

政策水平

工作作

3.02 3.02 3.05 3.05 3.00 3.02 .14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77 ? ?0
( 3)

W

? ? ? ? 0.63 0.33 0.22 0.65 0.47 0.17? ? 0.24 0.57 0.46 0.07 0.07 0.05? ? ?

均通过一致性检验

⑶层次总排序及一致性检验
从而有
W ? W W ( 2)
( 3)

? 0.40? ? ? W ? ? 0.34? ? 0.26? ? ?

? 0.16? ? ? ? 0.19? ? 0.14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77?? ? ? 0.19? ? ? ? 0.63 0.33 0.22 0.65 0.47 0.17?? ? 0.24 0.57 0.46 0.07 0.07 0.05?? 0.05? ? ?? 0.12? ? ? ? 0.30? ? ?

即在3人中应选择A担任领导职务。

例2.旅游问题 (1)建立层次结构模型

Z
A1

A1 , A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、

A2

A3

A4

A5

居住、饮食、旅途。

B1 , B2 , B3
B1 B2

B3

分别表示苏杭、北戴河、桂林。

(2)构造成对比较矩阵

? ?1 ?2 ?1 ? A ? ?4 ?1 ?3 ?1 ? ?3
? ?1 ? B2 ? ?3 ? ?8 ? ? 1 1? 3 8? 1? 1 ? 3? 3 1? ? ?

1 2 1 1 7 1 5 1 5
? ?1 B3 ? ? 1 ?1 ? ?3

4 7 1 2 3
1 1 1 3

3 5 1 2 1 1
? 3? 3? ? 1? ?

? 3? 5? 1? ? 3? 1? ? ? 1? ?

? ?1 ?1 B1 ? ? ?2 ?1 ?5 ?

2 1 1 2

? 5? ? 2? ? 1? ? ?

? ? ? 1 3 4? ?1 ? B4 ? ? 1 1? ?3 ? 1 ? 1 1? ?4 ? ? ?

? ?1 1 ? B5 ? ?1 1 ? ?4 4 ? ?

1? 4? 1? ? 4? 1? ? ?

(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验 成对比较矩阵 A的最大特征值 该特征值对应的归一化特征向量

? ? 5.073

? ? ?0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110?



5.073 ? 5 CI ? ? 0.018 5 ?1 RI ? 1.12
0.018 CR ? ? 0.016 ? 0.1 1.12



表明 A 通过了一致性验证。

对成对比较矩阵 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 可以求层次总排 序的权向量并进行一致性检验,结果如下:

k

1

2

? k 2 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166
? k 3 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668

? k1 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166

3

4

5

?k
CI k
RI k
计算 CRk 可知

3.005 3.002

3 0
0.58

3.009

3 0
0.58

0.003 0.001
0.58 0.58

0.005
0.58

B1 , B2 , B3 , B4 , B5 通过一致性检验。

(4)计算层次总排序权值和一致性检验

B1 对总目标的权值为: 0.595? 0.263? 0.082? 0.475? 0.429? 0.055 ? 0.633? 0.099? 0.166? 0.110 ? 0.3
同理得, B2 , B3 对总目标的权值分别为: 决策层对总目标的权向量为: 又

0.246, 0.456? CR ? (0.263? 0.003? 0.475? 0.001 ? 0.055? 0 ? 0.099? 0.005 ? 0.110? 0) / 0.58 ? 0.015 ? 0.1

?0.3,

0.246, 0.456,

故,层次总排序通过一致性检验。

?0.3,


0.246, 0.456?

可作为最后的决策依据。

即各方案的权重排序为

B3 ? B1 ? B2

B1 , B2 , B3 分别表示苏杭、北戴河、桂林,

故最后的决策应为去桂林。

例3.资金分配决策 某个工厂可以使用一笔企业留成利润,由厂领导 和职工代表大会决定如何使用,可以选择的方案有: 发奖金、扩建福利设施和引进新的设备,为了进一步 促进企业的发展,如何合理的使用这笔利润?

例4.城市主导产业决策分析

构造层次机构体系

目标层(A)

主导产业A

准则层(C)

市场C1

效益C2

资源C3

对象层(P)

饮 食 服 务 业 P14

旅 游 业 P113

农 业 P12

电 气 电 子 业 P11

邮 电 通 讯 业 P10

食 品 加 工 业 P9

机 械 工 业 P8

建 筑 业

建 材 工 业 P6

纺 织 工 业 P5

化 工 工 业

冶 金 工 业 P3

交 通 运 输 业 P2

能 源 工 业

P7

P4

P1

C1—P判断矩阵

C2—P判断矩阵

C3—P判断矩阵

A—P总排序

七 层次分析法的优点和局限性
1 系统性
层次分析法把研究对象作为一个系统,按照分解、比较
判断、综合的思维方式进行决策 ,成为继机理分析、统计分 析之后发展起来的系统分析的重要工具。

2 实用性
层次分析法把定性和定量方法结合起来,能处理许多用

传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广,同
时,这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通,决策 者甚至可以直接应用它,这就增加了决策的有效性。

3 简洁性
具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本

原理并掌握该法的基本步骤,计算也非常简便,并且所得
结果简单明确,容易被决策者了解和掌握。

层次分析法的局限性
1、只能从原有的方案中优选一个出来,没有办法得出

更好的新方案。
2、该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的,不适用于精度较高的问题。 3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人主观 因素对整个过程的影响很大,这就使得结果难以让

所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法
是克服这个缺点的一种途径。



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