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1.1.1 算法的概念 课件(人教A版必修3)

1.1.1 算法的概念 课件(人教A版必修3)


自学导引 1.在数学中,“算法”通常是指按照一定规则解决某一类 步骤 . 问题的明确和有限的________ 算法 ,只有将解决 2.计算机解决任何问题都要依赖于________ 问题的过程分解为若干个明确的 ________ 步骤 ,即________ 算法 ,并用 计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解 决问题.

自主探究 1.解决某一类问题的算法是否唯一?

【答案】不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元 法和代入消元法两种,但不同的算法有优劣之分.

2.在解放战争中,有一名战士接到命令,要求在最短的时 间内配制三副炸药,但是由于条件艰苦,称量物品的天平只剩 下 50 g 和 5 g 两个砝码. 现有 495 g 硫黄, 如何设计算法使称量 的次数最少?需称量多少次?

【答案】 S1 先计算出 495 g 硫黄如果平均分成三份每一份 应该是 165 g. S2 165 g 中有 3 个 5 g 和 3 个 50 g. S3 用 5 g 砝码称出 5 g 硫黄. S4 用 5 g 砝码和 5 g 硫黄共同称出 10 g 硫黄. S5 再用 50 g 砝码称出 50 g 硫黄. S6 用 50 g 砝码和 50 g 硫黄共同称出 100 g 硫黄. S7 把 5 g、10 g、50 g、100 g 硫黄混合,构成 165 g 硫黄, 也就是一份的质量. S8 用这一份硫黄再称出 165 g. 此时全部硫黄被平均分成三份, 按照以上算法共需要称量 5 次.

预习测评 1.下列不能看成算法的是( ) A.洗衣机的使用说明书 B.烹制油焖大虾的菜谱 C.从山东省莱芜市乘汽车到北京,在北京坐飞机到纽约 D.李明不会做饭

【答案】D

2.有关算法的描述有下列几种说法: ①对一类问题都有效;②对个别问题有效; ③计算可以一步一步地进行,每一步都有唯一的结果; ④是一种通法,只要按部就班地做,总能得到结果. 其中描述正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C 【解析】算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题 的程序或步骤,所以①正确;②错误.由于程序必须是明确的, 有效的,而且在有限步内完成,所以③④正确.故选 C.

3.下列哪个不是算法的特征( ) A.有限性 B.普遍性 C.确定性

D.唯一性

【答案】D

4.将下列用二分法求方程“x2-5=0”的近似解的算法补 充完整: 第一步,令 f(x)=x2-5,给定精确度 d. 第二步,确定区间[a,b],满足 f(a)· f(b)<0. a+b 第三步,取区间中点 m=________. 2 第四步,判断 f(m)=0?若是,则 m 为零点.否则执行下一 步. 第五步,若 f(a)· f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则, 含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]. 第六步,判断[a,b]的长度是否小于 d 或 f(m)是否等于 0.若 是,则 m 是方程的近似解;否则,返回第三步.

要点阐释 1.算法概念的理解 (1)算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的 步骤.这些步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内 完成. (2) 算法与一般意义上具体问题的解法既有联系,又有区 别.它们之间是一般和特殊的关系,也是抽象与具体的关系. (3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时 又有高度的抽象性、概括性、精确性,所以算法在解决问题时 更具有条理性、逻辑性等特点.

2.算法的特征 (1)概括性:写出的算法必须能够解决某一类问题,并且能 够重复使用. (2)逻辑性:算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤, 前一步是后一步的前提,只有完成前一步,才能进行下一步, 而且每一步都是正确无误的,从而组成具有很强逻辑性的步骤 序列. (3)有穷性:一个算法必须保证在执行了有限步之后结束. (4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一 个,也可以有不同的算法,这些算法有繁简、优劣之分. (5)普遍性:很多具体问题,都可以设计合理的算法去解决.

3.设计算法的要求 (1) 写出的算法必须能解决一类问题 ( 如,判断一个整数 n(n>2)是否为质数,求任意一个方程的近似解等),并且能够重 复使用. (2)要使算法尽量简单,步骤尽量少. (3)要保证算法正确,且计算机能够执行,如让计算机计算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯 水”、“替我理发”等则是做不到的.

典例剖析 题型一 对算法概念的理解 【例 1】 下列关于算法的说法,正确的个数有( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果. A.1 B.2 C.3 D.4

思路点拨:根据算法概念来解答. 【解析】由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点, 因而②③④正确,而解决某类问题的算法不一定唯一,从而① 错. 【答案】C

1.下列对算法的理解不正确的是( ) A.一个算法应包含有限的步骤,而不能是无限的 B. 算法中的每一步骤都应当是确定的, 而不应当是含糊的、 模棱两可的 C.算法中的每一步骤都应当有效地执行,并得到确定的结 果 D.一个问题只能设计出一种算法

【答案】D

题型二 计算问题的算法设计 【例 2】 给出求 1+2+3+4+5 的一个算法.

思路点拨: 可以从前向后逐一求和, 也可以设计一个变量 S, 将 1 至 5 个数依次加给 S.

【解析】解法一:第一步,计算 1+2,得 3. 第二步,将第一步中运算结果 3 与 3 相加,得 6. 第三步,将第二步中运算结果 6 与 4 相加,得 10. 第四步,将第三步的运算结果 10 与 5 相加,得 15. 第五步,输出运算结果. 解法二:第一步,取 n=5. n?n+1? 第二步,计算 2 . 第三步,输出运算结果.

2.求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法.

【解析】算法如下: 第一步,先求 1×3,得到结果 3. 第二步,将第一步所得结果 3 再乘以 5,得到结果 15. 第三步,再将 15 乘以 7,得到结果 105. 第四步,再将 105 乘以 9,得到 945. 第五步,再将 945 乘以 11,得到 10 395. 第六步,输出运算结果.

题型三 算法的应用 【例 3】 写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法. 思路点拨:确定求解过程,写出算法.

【解析】解法一:第一步,将方程左边因式分解, 得(x-3)(x+1)=0.① 第二步,由①得 x-3=0,② 或 x+1=0.③ 第三步,解②得 x=3,解③得 x=-1.

解法二:第一步,移项,得 x2-2x=3.① 第二步,①两边同加 1 并配方,得(x-1)2=4.② 第三步,②式两边开方,得 x-1=± 2.③ 第四步,解③得 x=3 或 x=-1.

3.写出能找出 a,b,c 三个数中最小值的一个算法.

【解析】第一步,输入 a、b、c,并且假定 min=a. 第二步,若 b<min 成立,则用 b 的值替换 min;否则直接 执行下一步. 第三步,若 c<min 成立,则用 c 的值替换 min,否则直接执 行下一步. 第四步,输出 min 的值,结束.

题型四 非数值性问题的算法设计 【例 4】 各种比赛在计算选手最后得分时,要去掉所有评 委对该选手所打分数中的最高分和最低分,试设计一个找出最 高分的算法.

思路点拨:假定第一个为“最高分”,将第二个至最后一 个依次与“最高分”比较,若该分数比“最高分”大则交换, 否则不变,输出最高分.

【解析】算法如下: 第一步,先假定其中一个为“最高分”. 第二步,将第二个分数与“最高分”比较,如果它比“最 高分”还高,就用该分数替代原假定的“最高分”而得出新的 “最高分”;否则“最高分”不变. 第三步,如果还有其他分数,重复第二步. 第四步,一直到没有可比的分数为止,这时的 “最高分” 就是所有评委打分中的最高分.

方法点评:非数值性计算问题,如排序、查找、变量变换、 文字处理等需先建立过程模型,通过模型进行算法设计与描述, 设计具体的数学问题的算法,实际上就是寻求一类问题的算法, 它可以通过计算机来完成.

4. 若本例中已知条件不变, 试设计一个找出最低分的算法.

【解析】算法如下: 第一步,先假定其中一个为“最低分”. 第二步, 将第二个分数与“最低分”比较, 如果它比“最 低分”还低,就用该分数替代原假定的 “最低分”而得出新 的“最低分”;否则“最低分”不变. 第三步,如果还有其他分数,重复第二步. 第四步, 一直到没有可比的分数为止, 这时的“最低分” 就是所有评委打分中的最低分.

误区解密 【例 5】 设计一个算法,求 1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10 的值. 错解:第一步,计算 1+2 的值为 3. 第二步,将 3 加到上一步的结果中,3+3=6. ?? 第九步,将 10 加到上一步的结果中,45+10=55. 第十步,输出结果为 55.

错因分析:在解决该题过程中,易出现用省略号替代中间 步骤的情况,导致这种错误的原因是没有正确理解算法的确定 性. 正解:第一步,计算 1+2 的值为 3. 第二步,将 3 加到上一步的结果中,3+3=6. 第三步,将 4 加到上一步的结果中,6+4=10. 第四步,将 5 加到上一步的结果中,10+5=15. 第五步,将 6 加到上一步的结果中,15+6=21. 第六步,将 7 加到上一步的结果中,21+7=28. 第七步,将 8 加到上一步的结果中,28+8=36. 第八步,将 9 加到上一步的结果中,36+9=45. 第九步,将 10 加到上一步的结果中,45+10=55. 第十步,输出结果为 55.

课堂总结 1.正确理解算法的概念,一个程序的算法要本着方便简捷 的原则,还要讲求科学性,算法的步骤是按照一定顺序进行的, 不具有可逆性. 2.在设计算法的过程当中要牢固把握住它的五个特性:概 括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.



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