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2014届高考数学一轮复习课件:第二章第4课时二次函数与幂函数(新人教A版)

2014届高考数学一轮复习课件:第二章第4课时二次函数与幂函数(新人教A版)


第4课时

二次函数与幂函数

2014高考导航
备考指南 1.关于幂函数常以 5 种幂函数为载 体,考查幂函数的概念、图象与性 质, 多以选择、 填空题的形式出现, 1.了解幂函数的概念. 属容易题. 2 2.结合函数 y=x,y=x ,y 2.二次函数的图象及性质是近几年 1 1 3 2 =x ,y=x ,y= 的图象, 高考的热点;用三个“二次”间的 x 联系解决问题是重点,也是难点. 了解它们的变化情况. 3.题型以选择题和填空题为主,若 与其他知识点交汇,则以解答题的 形式出现. 考纲展示

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.二次函数的解析式的三种常用表达形式 ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式:f(x)=__________________; (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是顶点;

(3)标根式(或因式分解式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其
中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.

2.二次函数的图象及其性质
a>0 图象 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 R 4ac-b2 [ ,+∞) 4a R 4ac-b2 (-∞, ] 4a b - x=________ 2a a<0

2 b 4ac-b (- , ) 2a 4a

奇偶性

单调性

最值

a>0 a<0 b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数 b b 减 增 在(-∞,- )上是___ 在(-∞, - )上是____ 2a 2a b b 函数;在(- ,+∞) 函数;在(- ,+∞) 2a 2a 上是增函数 上是减函数 b b 当 x=- 时,ymin= 当 x=- 时,ymax= 2a 2a 4ac-b2 4ac-b2 4a 4a

思考探究
1.二次函数会为奇函数吗? 提示:不会为奇函数. 3.幂函数的定义 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为 常数. 思考探究

2.幂函数与指数函数有何不同?
提示:本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量 在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.

4.幂函数的性质
函数 特征 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 y= x R R 奇 增 y=x R
2

y=x R R

3

y=x

1 2

y=x

-1

[0,+∞) {x|x∈R 且 ________
[0,+∞)

[0,+∞) _________

奇 偶 ___ 非奇非偶 x∈[0,+∞) 时,增 增 ____ 增 x∈(-∞,0] 时,减 (0,0),(1,1) ________________

x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+ ∞) 时,减 x∈(-∞, 0)时,减 (1,1)

课前热身
1.已知点( 3 ,3 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达 3 B.f(x)=x
-3

式是( ) A.f(x)=x3 C.f(x)=x
1 2

D.f(x)=x

1 2

答案:B

2.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b =( A.3 C.2 ) B.2或3 D.1或2

解析:选 C.函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增, ?f(1)=1 2 ? ?b -3b+2=0 ? 由已知条件?f(b)=b,即? ,解得 b=2. ?b>1 ? ?b>1 ?

3.已知函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围 是( ) 1 1 A.(0, ) B.(-∞,- ) 20 20 1 1 C.( ,+∞) D.(- ,0) 20 20

答案:C

1 ? ? ?-1, ,1,3?时,幂函数 y=xα 4.(教材习题改编)当 α∈ 2 ? ? 的图象不可能经过第________象限.

答案:二、四

5.二次函数y=f(x)图象如图所示,那么此函数的解析式为 ________.

3 2 答案:f(x)=- x +3 4

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2, 且它有最小

例1
值-1.

(1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式.

【解】 (1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2, 所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a. 由于 f(x)有最小值-1, ?a>0 ? 所以必有? , ?-a=-1 ? 解得 a=1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x. (2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原点对称 的点 P′(-x,-y)必在 f(x)图象上, 所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x, y=-x2+2x, 故 g(x)=-x2+2x.

【规律小结】

在求二次函数解析式时,要灵活地选择二

次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般形式; (2)已知顶点坐标或对称轴或最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与x轴的交点坐标,应选择两根式. 注意:求二次函数的解析式时,如果选用的形式不当、引 入的字母系数过多,会加大运算量,易出错.

跟踪训练 1.设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x >2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点A(2,2)的抛物 线的一部分.

(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在上面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图; (3)写出函数f(x)的值域.

解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y =a(x-3)2+4,将(2,2)代入,可得 a=-2, ∴y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2, 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x -14.

(2)函数 f(x)的图象如图:

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

考点 2 二次函数的图象与性质 例2 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调 函数.
【解】 (1)当 a=-1 时, f(x)=x2-2x+2,其对称轴为 x=1, ∴f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-5)=37. (2)对称轴为 x=-a,当-a≤-5 或-a≥5 时, f(x)在[-5,5]上单调. ∴a≥5 或 a≤-5. 故满足条件的实数 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).

【规律小结】

(1)求二次函数最值的类型及解法:

①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、 轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对

称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的
关系进行分类讨论; ②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,在区间 的端点或二次函数图象的顶点处取得最值. (2)二次函数单调性问题的解法: 主要结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解. 注意:配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注 意自变量范围与对称轴之间的关系.

跟踪训练 2.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2, 求a的值.
解:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a≥1 时,ymax=a; 当 0<a<1 时,ymax=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=1-a.
?a≥1 ?0<a<1 ?a≤0 ? ? ? 根据已知条件得,? 或? 2 或? , ? ? ? ?a=2 ?a -a+1=2 ?1-a=2

解得 a=2 或 a=-1.

考点 3

幂函数的图象与性质 1 例3 (1)当 n∈{1,2,-1, }时,幂函数 y=xn 的图象不 2 ) B.第二象限 D.第四象限

可能经过( A.第一象限 C.第三象限

(2)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为( ) A.-3 C.2 B.1 D.1 或 2

【解析】

1 (1)当 n∈{1,2,-1, }时,由幂函数 y=xn 的 2

图象知选 D. (2)由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,解得 n=1 或 n =-3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B.

【答案】

(1)D

(2)B

【题后感悟】 (1)幂函数的形式是 y=xα(α∈R), 其中只有 参数 α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数 y=xα(α∈R)是偶函数,则 α 必为偶数.当 α 是分数时,一般将其先化为根式,再判断. (3)若幂函数 y=xα 在(0,+∞)上单调递增,则 α>0,若在 (0,+∞)上单调递减,则 α<0.

跟踪训练 3.已知幂函数 f(x)=x
(m2+m)


1

(m∈N*).

(1)若该函数经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条 件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围; (2)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的 单调性.

解:(1)∵函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2=2
1 2

(m2+m)



1


1

即 2 =2 , ∴m2+m=2,解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1. ∴f(x)=x ,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增. ?2-a≥0,
1 2

(m2+m)



? 由 f(2-a)>f(a-1),得?a-1≥0, ?2-a>a-1, ?
3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2

(2)m2+m=m(m+1), m∈N*,而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)=x
(m2+m)


1

(m∈N*)的定义域为[0, +∞), 并且

在定义域上为增函数.

方法感悟
1.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(x1)=f(x2), x1+x2 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a -x)成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数). (3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x+2a)= f(x),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴方程 b 为 x=- . 2a

(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方 程为 f(x)=0 的两根为 x1、x2,那么函数 y=f(x)图象的对称 x1+x2 轴方程为 x= . 2 2.幂函数 y=xα(α∈R)图象的特征 (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的 图象上升;α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下 降,反之也成立. (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现 在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函 数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限 内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

名师讲坛精彩呈现
数学思想


分类讨论思想在二次函数中的应用

已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a), g(a)的表达式. 求

【解】

(1)当 a=1 时, 2 ?x +x+1,x<0 ? 2 f(x)=x -|x|+1=? 2 . ? ?x -x+1,x≥0 作图(如图所示),

(2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3. 1 2 1 若 a≠0,则 f(x)=a(x- ) +2a- -1,f(x)图象的对称 2a 4a 1 轴是直线 x= . 2a 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3. 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, 2 2a g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时, 4 2 2a ? 1 ?=2a- 1 -1. g(a)=f?2a? 4a

1 1 当 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a) 4 2a =f(2)=6a-3.

? ? 1 1 1 综上可得,g(a)=?2a- 4a-1, 4≤a≤2. ?3a-2, a>1 ? 2
6a-3, 1 a< 4

【感悟提高】

在研究有关二次函数最值时一般用到分类

讨论思想,一是对系数a进行讨论,二是要对对称轴进行讨 论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要

一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽
量避免分类,绝不无原则的分类讨论.具体运用时一要考 虑是否可行和是否有利,二要选择好突破口,恰当设参、 用参、建立关系、做好转化,三要挖掘隐含条件,准确界 定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择

动直线与定二次曲线.

跟踪训练 4.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).
解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]内, 应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减, 则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上 单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
?a -2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1. ?
2

知能演练轻松闯关

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