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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第3节 直线、圆与圆的位置关系

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第3节 直线、圆与圆的位置关系


第八章

第三节

一、选择题 1.(2014· 成都外国语学校月考)已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x -y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( A.(x+2)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 [答案] B [解析] C1:(x+1)2+(y-1)2=1 的圆心为(-1,1),它关于直线 x-y-1=0 对称的点(2, -2)为圆心,半径为 1,所以圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 2.(文)(2014· 安徽示范高中联考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2=-2y +3,直线 l 的方程为 ax+y-1=0,则直线 l 与圆 C 的位置关系是( A.相离 C.相切 [答案] D [解析] 圆 C 的标准方程为 x2+(y+1)2=4,直线 l 过定点(0,1),易知点(0,1)在⊙C 上,所 以直线与圆相切或相交,故选 D. (理)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关系是( A.相交 C.相离 [答案] A [解析] 解法一:圆心(0,1)到直线的距离 d= |m| <1< 5 ,故选 A. m2+1 B.相切 D.不确定 ) B.相交 D.相切或相交 ) ) B.(x-2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

解法二:直线 mx-y+1-m=0 过定点(1,1),又因为点(1,1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部, 所以直线 l 与圆 C 是相交的,故选 A. 3.(2013· 乌鲁木齐三诊)在圆 x2+y2+2x-4y=0 内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角 是( ) π A. 6 π C. 3 [答案] B [解析] 圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为-1,且最长弦与最短弦 π B. 4 3π D. 4

-1-

π 垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为 1,倾斜角是 . 4 [点评] 直线与圆位置关系的常见题型: (1)直线与圆公共点个数的判断 (2014· 吉林期末)已知曲线 C:x2+y2-2x+2y=0 与直线 l:y+2=k(x-2),则 C 与 l 的公 共点( ) B.最多 1 个 D.不存在

A.有 2 个 C.最少 1 个 [答案] C [解析] 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 |k+1-2k-2| |k+1| d= = 2 , k2+1 k +1 k2+2k+1 2k d2= 2 =1+ 2 ≤2, k +1 k +1 ∴d≤ 2, ∴⊙C 与 l 相切或相交. (2)直线与圆相切,求参数值

(2014· 广东清远调研)若直线 y=kx+3 与圆 x2+y2=1 相切,则 k 的值是( A.2 2 C .± 2 2 [答案] C [解析] 由题意知 3 =1,∴k=± 2 2. k +1
2

)

B. 2 D.± 2

(3)判断直线与圆的位置关系 圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 C.相交 [答案] C [解析] ∵直线 2t(x-1)-(y+2)=0 过圆心(1,-2),∴直线与圆相交. (4)由直线与圆相交、相切提供条件,求解其他有关问题. (2014· 山东济南期末)已知 m>0, n>0, 若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2 =1 相切,则 m+n 的取值范围是________. [答案] m+n≥2+2 2 [解析] 因为 m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切, 所以圆心 C(1,1)到直线的距离为半径 1.
-2-

)

B.相切 D.以上都有可能

所以

|m+1+n+1-2|

=1, ?m+1?2+?n+1?2

即|m+n|= ?m+1?2+?n+1?2. 两边平方并整理得 mn=m+n+1. m+n 2 由基本不等式得 m+n+1≤( ), 2 ∴(m+n)2-4(m+n)-4≥0, 解得 m+n≥2+2 2. 4.(2013· 重庆南开中学月考)已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2x+4y 取得最小 1 1 1 值时,过点 P(x,y)引圆(x- )2+(y+ )2= 的切线,则此切线的长度为( 2 4 2 A. 6 2 3 B. 2 D. 3 2 )

1 C. 2 [答案] A [解析] 2x+4y≥2 2x· 4y=2 2x 3 3 所以 P( , ),所以切线长 l= 2 4
+2y

3 =4 2,当且仅当 2x=4y=2 2,即 x=2y= 时取等号, 2

3 1 3 1 1 6 ? - ?2+? + ?2- = .故选 A. 2 2 4 4 2 2

5.(2013· 山东潍坊一中月考)在平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满 → → → 足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点),其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 [答案] A [解析]
?x=3λ1-λ2, ? ? ? ?y=λ1+3λ2,

)

B.椭圆 D.双曲线

→ → → 设 C(x , y) , 因 为 OC = λ1 OA + λ2 OB , 所 以 (x , y) = λ1(3,1) + λ2( - 1,3) , 即

-x , ?λ =3y10 解得? y+3x ?λ = 10 ,
2 1

y+3x 3y-x 又 λ1+λ2=1,所以 + =1, 10 10

即 x+2y-5=0,所以点 C 的轨迹为直线,故选 A. 6.(文)已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是圆 x2+y2-2y=0 上的动点,则△ABP 面积 的最小值为( A.6 ) 11 B. 2
-3-

C .8 [答案] B

21 D. 2

x y [解析] 记圆心为 C,则由题意得|AB|=5,直线 AB: + =1,即 3x-4y-12=0,圆 4 -3 16 16 11 心 C(0,1)到直线 AB 的距离为 , 点 P 到直线 AB 的距离 h 的最小值是 -1= , △ABP 的面 5 5 5 1 5 5 11 11 11 积等于 |AB|h= h≥ × = ,即△ABP 的面积的最小值是 ,选 B. 2 2 2 5 2 2 (理)(2014· 广东揭阳一模)设点 P 是函数 y=- 4-?x-1?2图象上的任意一点,点 Q(2a,a -3)(a∈R),则|PQ|的最小值为( 8 5 A. -2 5 C. 5-2 [答案] C [解析] 将等式 y=- 4-?x-1?2两边平方,得 y2=4-(x-1)2,即(x-1)2+y2=4.由于 y =- 4-?x-1?2≤0,故函数 y=- 4-?x-1?2的图象表示圆(x-1)2+y2=4 的下半圆,如图
? ?x=2a, x 所示.设点 Q 的坐标为(x,y),则? 得 y= -3,即 x-2y-6=0.因此点 Q 是直线 x 2 ?y=a-3, ?

) B. 5 7 5 D. -2 5

-2y-6=0 上的动点,如图所示.由于圆(x-1)2+y2=4 的圆心(1,0)到直线 x-2y-6=0 的距 |1-2×0-6| 离 d= 2 = 5>2,所以直线 x-2y-6=0 与圆(x-1)2+y2=4 相离,因此|PQ|的最小 1 +?-2?2 值是 5-2.故选 C.

[点评] 数形结合的思想 在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的讨论中,结合图形进行分析能有效的改善 优化思维过程,迅速找到解题的途径,故应加强数形结合思想的应用. 二、填空题 → → 7.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,O 为原点,且OA· OB=2,则实数 a 的值等于________. [答案] ± 6 [解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算.

-4-

→ → → → 设OA、OB的夹角为 θ,则OA· OB=R2· cosθ=4cosθ=2, 1 π ∴cosθ= ,∴θ= ,则弦 AB 的长|AB|=2,弦心距为 3,由圆心(0,0)到直线的距离公式 2 3 有: |0+0-a| = 3,解之得 a=± 6. 2 8.(文)(2014· 浙江宁波期末)过点 O(0,0)作直线与圆 C:(x-4 5)2+(y-8)2=169 相交,在 弦长均为整数的所有直线中,等可能地任取一条直线,则弦长不超过 14 的概率为________. [答案] 9 32

[解析] 已知圆 C 的半径为 13,C(4 5,8), ∵|CO|= ?4 5?2+82=12<13, ∴O 点在圆 C 的内部,且圆心到直线的距离 d∈[0,12], ∴直线截圆所得的弦长|AB|=2 r2-d2∈[10,26],其中最短和最长的弦各有一条,长为 11 到 25 的整数的弦各有两条,共有 32 条,其中弦长不超过 14 的有 1+8=9(条),∴所求概率 P 9 = . 32 (理)(2014· 大纲全国理)直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. [答案] 4 3

[解析] 设 l1、l2 与⊙O 分别相切于 B、C,A(1,3),则∠OAB=∠OAC,|OA|= 10,圆半 径为 2, ∴|AB|= OA2-OB2=2 2,∴tan∠OAB= ∴所夹角的正切值 1 2× 2 4 2tan∠OAB tan∠CAB= = = . 2 1 3 1-tan ∠OAB 1- 4 9.(文)与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标 准方程是________. [答案] (x-2)2+(y-2)2=2 [解析] ∵⊙A:(x-6)2+(y-6)2=18 的圆心 A(6,6),半径 r1=3 2, ∵A 到 l 的距离 5 2,∴所求圆 B 的直径 2r2=2 2, 即 r2= 2. OB 1 = , AB 2

-5-

n-6 设 B(m,n),则由 BA⊥l 得 =1, m-6 |m+n-2| 又∵B 到 l 距离为 2,∴ = 2, 2 解出 m=2,n=2. (理)(2014· 江苏南京调研)已知圆 O 的方程为 x2+y2=2, 圆 M 的方程为(x-1)2+(y-3)2=1, 过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的切线 PA,若直线 PA 与圆 M 的另一个交点为 Q,则当弦 PQ 的长 度最大时,直线 PA 的斜率是________. [答案] 1 或-7 [解析] 由圆的性质易知,当切线过圆 M 的圆心(1,3)时,|PQ|取最大值,这个最大值即为 圆 M 的直径, 设此直线方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y-k+3=0(k 显然存在). 由 得 k=1 或-7. 三、解答题 10.(文)(2013· 江苏镇江模拟)如图,A、B 是圆 O:x2+y2=4 与 x 轴的两个交点,C 是圆 O 上异于点 A、B 的任意一点,直线 l 是圆 O 的过点 C 的切线,过点 B 作直线 l 的垂线 BP, BP 与 AC 的延长线交于点 P,求点 P 的轨迹方程. |k-3| = 2 k2+1

[解析] 设 P、C 的坐标分别是 P(x,y),C(x0,y0),因点 C 与 A、B 不重合,故 y0≠0.因 为直线 l 是圆 O 过点 C 的切线,所以直线 l 的方程为:x0x+y0y=4.又直线 BP 与直线 l 垂直, 所以直线 BP 的方程为:y0x-x0y-2y0=0①,直线 AC 的方程为:y0x-(x0+2)y+2y0=0②,

?y =2, 点 P 是直线 BP 与 AC 的交点,联立①②解得:? x-2 ?x = 2 ,
0 0

y

③因为点 C 是圆 O 上的点,所

x-2 2 y 2 2 以 x2 ( ) +( ) =4,所以点 P 的轨迹方程为:(x-2)2+y2=16(y≠0). 0+y0=4,将③代入得: 2 2 [解法探究] 注意到 l 为⊙O 的切线,可得 OC⊥l,又 PB⊥l,因此 OC∥PB,∵O 为 AB x-2 y ?x-2?2 y2 的中点,∴C 为 PA 的中点,从而 C( , ),由 C 在圆 x2+y2=4 上,代入可得 + = 2 2 4 4 4,即(x-2)2+y2=16(y≠0). (理)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.

-6-

(1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求点 P 的轨迹方程. x y [分析] 由于直线 l 不过原点,在两轴上截距相等,可设直线 l 的方程为 + =1,再利用 a a 圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问,对于第(2)问要注意|PM|2=|PC|2-r2 的应用. [解析] (1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0, 得圆心坐标 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零, ∴设直线 l 的方程为 x+y=a(a≠0). ∵直线 l 与圆 C 相切, ∴ |-1+2-a| = 2,∴a=-1,或 a=3. 2

所以所求直线 l 的方程为 x+y+1=0,或 x+y-3=0. (2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直,设 P(x,y), 又∵|PM2|=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0. 所以所求点 P 的轨迹方程为 2x-4y+3=0.

一、选择题 11.(文)(2013· 安徽名校联考)已知圆 C:x2+(y+1)2=4,过点 M(-1,-1)的直线 l 交圆 C 于点 A,B,当∠ACB 最小时,直线 l 的倾斜角为( π A. 6 π C. 3 [答案] D [解析] 由题意得,点 M 在圆内,圆心角∠ACB 最小时,所对劣弧最小,从而弦 AB 也最 小.易知当直线 AB⊥CM 时,弦 AB 最小,又直线 CM∥x 轴,故直线 AB∥y 轴,此时直线的 π 倾斜角为 . 2 (理)已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x2+y2-4x+3=0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的方程为( ) B.y= 3x π B. 4 π D. 2 )

A.y=- 3x

-7-

C.y=- [答案] C

3 x 3

D.y=

3 x 3

[解析] 由题易知,圆的方程为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),半径为 1,如图,经过原点 的圆的切线,当切点在第四象限时,切线的倾斜角为 150° ,切线的斜率为 tan150° =- 直线 l 的方程为 y=- 3 x,选 C. 3 3 ,故 3

→ 12. (2014· 北京朝阳一模)直线 y=x+m 与圆 x2+y2=16 交于不同的两点 M, N, 且|MN|≥ 3 → → |OM+ON|,其中 O 是坐标原点,则实数 m 的取值范围是( A.(-2 2,- 2]∪[ 2,2 2) B.(-4 2,-2 2]∪[2 2,4 2) C.[-2,2] D.[-2 2,2 2] [答案] D 1 → → → → → → → [解析] 设 MN 的中点为 D,则OM+ON=2OD,|MN|≥2 3|OD|,由|OD|2+ |MN|2=16, 4 1 → 1 → → → → → 得 16=|OD|2+ |MN|2≥|OD|2+ (2 3|OD|)2=4|OD|2,从而|OD|≤2,由点到直线的距离公式可 4 4 → |m| 得|OD|= ≤2,解得-2 2≤m≤2 2. 2 x y 13.(2014· 浙江温州十校期末)已知直线 + =1(a, b 是非零常数)与圆 x2+y2=100 有公共 a b 点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.52 条 C.66 条 [答案] B [解析] 圆 x2+y2=100 上有 12 个横坐标和纵坐标均为整数的点(这些点的横坐标为± 10, ± 8,± 6,0),过每两点作直线可作 66 条,其中过原点的直线有 6 条,因此满足题意的直线共有 66-6=60(条). 14.(文)(2013· 天津六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15= 0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值为( )
-8-

)

)

B.60 条 D.78 条

A.2 2 C. 3 [答案] B

4 B. 3 D.3

[解析] 由题意得圆 C 的圆心(4,0)到直线 y=kx-2 的距离小于等于 2,即 4 4 理得 3k2-4k≤0,∴0≤k≤ ,故 k 的最大值为 . 3 3

|4k-2|

≤2,整 k2+1

?ax+by=1, ? (理)若关于 x、y 的方程组? 2 2 有解,且所有的解都是整数,则有序数对(a,b) ? ?x +y =10.

所对应的点的个数为( A.24 C.32 [答案] C

) B.28 D.36

[解析] x2+y2=10 的整数解为:(1,3),(3,1),(1,-3),(-3,1),(-1,3),(3,-1),(- 1,-3),(-3,-1),所以这八个点两两所连的不过原点的直线有 24 条,过这八个点的切线 有 8 条,每条直线确定了唯一的有序数对(a,b),所以有序数对(a,b)所对应的点的个数为 32. 二、填空题 15.(文)(2013· 江西联考)如图,已知长度为 2 的线段 AB 的两个端点在动圆 O 的圆周上运 → → 动,O 为圆心,则AB· AO=________.

[答案] 2 → → → 1→ → → → [解析] 取 AB 的中点 C,连接 OC,则 OC⊥AB,AO=AC+CO= AB+CO,所以AB· AO 2 1→ → 1→ → =AB· ( AB+CO)= AB2=2. 2 2 (理)(2014· 山东济南一模)设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 y → → M(x,y)满足OM· CM=0,则 =________. x [答案] 3或- 3

→ → [解析] ∵OM· CM=0,∴OM⊥CM, ∴OM 是圆的切线,设 OM 的方程为 y=kx,
-9-



|2k| y = 3,得 k=± 3,即 =± 3. 2 x k +1

16. (2013· 惠州调研)已知直线 2ax+by=1(a, b 是实数)与圆 O: x2+y2=1(O 是坐标原点) 相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意 一点,则圆 M 的面积的最小值为________. [答案] (3-2 2)π [解析] 因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90° ,所以圆心 O 到直线的距离为 1 2 1 2 2 2 2= 2 ,所以 a =1-2b ≥0,即- 2≤b≤ 2.设圆 M 的半径为 r,则 2a +b 1 2 2 b -2b+2= (2-b),又- 2≤b≤ 2,所以 2+1≥|PM|≥ 2 2 2

r=|PM|= a2+?b-1?2=

-1,所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 2)π. 三、解答题 17.(文)已知圆 C:x2+(y-3)2=4,一动直线 l 过 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是 PQ 的中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N. (1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3)探索AM· AN是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. [解析] (1)证明:因为 l 与 m 垂直, 1 且 km=- ,kl=3, 3 故直线 l:y=3(x+1),即 3x-y+3=0. 显然圆心(0,3)在直线 l 上, 即当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x=-1 符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, 因为 PQ=2 3,所以 CM= 4-3=1, |-3+k| 4 则由 CM= 2 =1,得 k= . 3 k +1 所以直线 l:4x-3y+4=0. 从而所求的直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. (3)因为 CM⊥MN,

- 10 -

→ → → → → 所以AM· AN=(AC+CM)· AN → → → → → → =AC· AN+CM· AN=AC· AN. ①当 l 与 x 轴垂直时, 5 5 → 易得 N(-1,- ),则AN=(0,- ), 3 3 → → → → → 又AC=(1,3),所以AM· AN=AC· AN=-5. ②当 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),
? ?y=k?x+1? ? 3k+6, -5k ?, 则由? ,得 N?- ? ? 1+3k 1+3k? ?x+3y+6=0 ?

-5k ? → ? -5 , 则AN=? ?. ?1+3k 1+3k? → → → → 所以AM· AN=AC· AN=-5. → → → → 综上,AM· AN与直线 l 的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且AM· AN=-5. (理)(2015· 西宁检测)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,求 |QM|的最小值. [分析] (1)设出点 P 的坐标,由|PA|=2|PB|写出方程,化简即可; (2)直线 l2 与曲线 C 只有一个公共点 M,故 l2 与 C 相切,当|QC|取最小值时,|QM|取到最 小值,故|CQ|为点 C 到 l1 的距离时满足要求. [解析] (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2, 化得可得(x-5)2+y2=16 即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2 = |CQ|2-16,

- 11 -

当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= 此时|QM|的最小值为 32-16=4.

|5+3| =4 2, 2

18.(文)(2015· 太原一模)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l, 使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存 在,说明理由. [解析] 依题意,设 l 的方程为 y=x+b,① 又⊙C 的方程为 x2+y2-2x+4y-4=0,② 联立①②消去 y 得: 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x +x =-?b+1?, ? ?1 2 2 ③ ? b +4b-4 x1x2= , ? 2 ? ∵以 AB 为直径的圆过原点, → → ∴OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0, 而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2, ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 由③得 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0, 即 b2+3b-4=0,∴b=1 或 b=-4, ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0. (理)(2013· 北京昌平期末)已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P.

(1)求圆 A 的方程; (2)当 MN=2 19时,求直线 l 的方程; → → (3)BQ· BP是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由. [解析] (1)设圆 A 的半径为 R. 由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切,

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|-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0. 连接 AQ,则 AQ⊥MN. ∵MN=2 19,∴AQ= 20-19=1, 则由 AQ= |k-2|
2

3 =1,得 k= . 4 k +1

∴直线 l:3x-4y+6=0. 故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. (3)∵AQ⊥BP, → → → → → → → → → ∴BQ· BP=(BA+AQ)· BP=BA· BP+AQ· BP → → =BA· BP. 5 ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 P(-2,- ), 2 5 → → 则BP=(0,- ).又BA=(1,2), 2 → → → → ∴DQ· BP=BA· BP=-5. ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),
? ?y=k?x+2?, -4k-7 -5k 则由? 得 P( , ), 1+2k 1+2k ?x+2y+7=0, ?

-5 -5k → 则BP=( , ). 1+2k 1+2k -5 -10k → → → → ∴BQ· BP=BA· BP= + =-5. 1+2k 1+2k → → → → 综上所述,BQ· BP是定值,且BQ· BP=-5.

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