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重庆市双江中学高二解析几何例题(椭圆)

重庆市双江中学高二解析几何例题(椭圆)


直线与椭圆例题
1,若直线 y=x+t 与椭圆

x2 2 ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 t 变化时,求|AB|的最大值. 4
①因为直线与椭圆相交,则△

[解析]:以 y= x +t 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,并整理得 5x 2 ? 8tx ? 4t 2 ? 4 ? 0 4

= 64t

2

? 20(4t 2 ? 4) ? 0 ,所以 t 2 ? 5 ,即 ? 5 ? t ? 5 ,
,B( x 2 , x 2 ? t ) ,且 x1 , x 2 是方程①的两根. ?t )

设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , x1

8t ? ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 由韦达定理可得: ? , 2 ? x ? x ? 4(t ? 1) ? 1 2 5 ?
=2 ( x1 ? x2 ) 得
2

所以,弦长|AB|2= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ?
2

y2 ) 2

2 8t 2 ) ? 4 ? 4(t ? 1) ] 5 5 4 |AB|= 4 2 ? 5 ? t 2 所以当 t=0 时,|AB|取最大值为 10 . 5 5

=2[ ( x1

? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ]

=2[ (?

2, 已知椭圆的中心在原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y = x +1 与该椭圆相交于 P 和 Q, OP⊥OQ, 且

|PQ|=

10 ,求椭圆的方程. 2

y Q O x

[解析]:设所求椭圆的方程为 坐标满足方程组 ? x ?

x2 y2 ? ? 1 ,依题意,点 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 )的 a2 b2

P

2 y2 ? 1 解之并整理得 (a 2 b ?a ?y ? x ?1 ?
2 2

?

? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 或

(a 2 ? b 2 ) y 2 ? 2b 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 所以 x1 ? x2

??

2 2 2a 2 , x x ? a (1 ? b ) 1 2 2 2 2 a ?b a ?b 2



y1 ? y 2 ?
③又由|PQ|=

2b 2 a2 ? b2
10 2

, y1 y 2
2

?

b 2 (1 ? a 2 ) a2 ? b2

② 由 OP⊥OQ ?

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 2a 2b 2

? PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 =
=

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2
4 2

5 5 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 2 2 5 ④ 由 ① ② ③ ④ 可 得 2
故所求椭圆方程为



2 2 3b ? 8b ? 4 ? 0 ? b ? 2或b ? ? a 2 ? 或a 2 ? 2 3 3
2 2

x 2 3y 2 ? ?1 , 或 2 2

y2 3x 2 ? ?1 2 2

x2 y2 3,设 F1、F2 是椭圆 (1)P 是椭圆上的动点,求 PF1 ? PF2 的取值范围。 ? ? 1 的左右焦点。 5 4
(2)过 Q(1,0)的直线 l 交椭圆于不同的两点 A、B,则求△AOB 面积的最大值。 (1) 3 ? x ? y ? 1 ? 5 ? 1 ? 4 (2) S max ?
2 2

4 5 5

4, 为

x2 y 2 ? ? 1 ,过原点且倾斜角为 ? 4 8

和 ? ? ? (0 ? ? ?

?
2

) 的两条直线分别交椭圆于 A、C 和 B、

D 两点. (1)用 ? 表示四边形 ABCD 的面积 S; (2)当 ? ? (0,
[解析]: 1)设经过原点且倾斜角为 (

?
4

(14 分) ) 时,求 S 的最大值.

?

的 直 线 方 程 为 y= x tan

?

2 2 , 代 入 x ? y ?1 , 求 得 4 8

2 32 32 t a n ? .由对称性可知四边 ABCD 为矩形,又由于 (0 ? ? ? ? ) ,所以四边形 , y2 ? 2 8 ? 4 tan 2 ? 8 ? 4t a n? 2 32 tan? . ABCD 的面积 S=4| x y| ? 2 ? tan 2 ?

x2 ?

(2)当 0 ? ?

?

?
4

时,

0 ? tan? ? 1 ,设 t=tan ? ,则 S ?

32t 32 , (0 ? t ? 2 ? t2 2

? 1)

t


?t

2 ? t ,因为 f (t ) 在(0,1]上是减函数,所以 f (t ) min ? f (1) ? 2 ? 1 ? 3 . t 1 32 ? 所以,当 ? = 时, S max ? . 3 4 f (t ) ?

5 直角坐标系中,已知 OF ? (c,0) (c 为常数,c>0) OG ? ( x, x)( x ? R), | FG | 的最小值为 1, ,

? a2 ? c OE ? ? , t ? (a 为常数,a>c,t? R) ,动点 P 同时满足下列三个条件:① | PF |? | PE | . ? c ? a ? ?
② PE ? ? OF (? ? R且? ? 0) .③动点 P 的轨迹 C 经过点 B(0,-1) (1)求曲线 C 的方程; ( 2 ) 是 否 存 在 方 向 向 量 为 m ? (1, k )( k ? 0) 的 直 线 l , l 与 C 相 交 于 M 、 N 两 点 , 使

| BM |?| BN | 且 BM 与BN 的夹角为 60°?若存在,求出 k 的值,并写出 l 的方程;若不存在,请
说明理由。 解 :( 1 ) 由 圆 锥 曲 线 统 一 定 义 知 , 动 点 P 的 轨 迹 是 椭 圆 , 又

c ? 2 , b ? 1, 从而曲线C的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(2)假设存在满足条件的直线 l,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 将 y ? kx ? m代入到

x2 ? y 2 ? 1中得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 ? 0...... 6分 3
1 ? 3k

线段 MN 的中点为 G( ? 3k m , 2

3k 2 ? 1 ① m ) 则由 | BM |?| BN | 知BG ? MN , 从而可得m ? 2 2 1 ? 3k

又 △ BMN 为 等 边 三 角 形 , 所 以 点 B 到 直 线 MN 的 距 离 d ?

3 | MN | 由 此 可 得 2

| m ?1| k 2 ?1

? 3 k 2 ?1 ?

3k 2 ? m 2 ? 1 ②????10 分由①、②可得: m ? 1且k 2 ? 1 3 3k 2 ? 1
3 x ?1 3

故存在这样的直线 l,其方程为 y ? ?

6.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e=

3 3 ,已知点 P(0, )到这个椭圆上的 2 2

点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标.

[解析]: (1)由题设 e=

3 2

可得 a2=4b2,于是,设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1,即x 2 ? 4b 2 ? 4 y 2 4b 2 b

又设 M (x, 是椭圆上任意一点, ? b ? y) 且

3 2 9 2 2 2 2 2 所以 PM ? x ? ( y ? ) ? 4b ? 4 y ? y ? 3 y ? y ?b, 2 4
y ? b ,所以
2

1 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 2 1 ①若 b< ,当 y=-b 时, PM 2

因为 ? b ?
2

有最大值为 b

? 3b ?

9 3 1 1 2 = ( 7 ) 解得 b ? 7 ? ? 与 b< 相矛盾(即不 4 2 2 2

合题意) .②若 b ?

1 ,当 2

y=-

1 时, PM 2

2

有最大值为 4b

2

? 3 = ( 7 ) 2 解得

b=1,a=2. 故所求椭圆方程为

1 x2 (2) 把 y=- 代入 ? y 2 ? 1. 2 4
? 1 )到点 P 的距离都是 7 2
2 2

x2 1 , ? y 2 ? 1 中,解得 x ? ? 3 ,因此椭圆上的点( 3 , ? )( ? 3 , 4 2

7 知圆 M : ( x ? 5 ) ? y ? 36, 定点N ( 5 ,0), 点P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2 NQ ? GQ ? NP ? 0 .(I)求点 G 的轨迹 C 的方程; (II)过点(2,0)作直线 l, 与曲线 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l,使四边形 OASB 的对角线相等( | OS |?| AB | )?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 讲解: I) ? ( 由

? NP ? 2 NO ?

所以 GQ 为 PN 的中垂线.因此|PG|=|GN|, , 得Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN, ?GQ ? PN ? 0 ?

从而|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a=3,半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? ? 1; 所以短半轴长 b=2,所以点 G 的轨迹方程是 9 4
(II)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形.若存在直线 l 使得| OS |=| AB |,则四 边形 OASB 为矩形,所以 OA ? OB ? 0 .若直线 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由

? x ? 2, ? x ? 2, 16 ? 2 ? , 得? 这与 OA ? OB ? 0 矛盾, 故直线 l 斜率存在. ? 0, ?x y2 2 5 所以 OA ? OB ? 9 ? 1 ?y ? ? . ? ? 4 ?9 3 ?

? y ? k ( x ? 2), ? 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). 由 ? x 2 y2 ?1 ? ? 4 ?9
得(9k 2 ? 4) ? x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0, 所以 x1 ? x2 ?

36 k 2 36(k 2 ? 1) , x1 x2 ? . 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4



故 y1 y 2 ? [k ( x1 ? 2)][ k ( x 2 ? 2)] ? k [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?
2

20 k 2 . ②把①、②代入 9k 2 ? 4

3 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 解得k ? ? . ∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 2
的对角线相等.

x2 y2 8, 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点.(1)若椭圆的离心率 a b


3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; (2)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) , 3 1 2 2 ] 时,求椭圆的长轴长的最大值. 2

当椭圆的离心率 e ? [ ,

解 :( 1 ) ? e ?

3 c 3 ? a ? 3 , 则b ? a 2 ? c 2 ? 2 ∴ 椭 圆 的 方 程 为 ,2c ? 2,即 ? 3 2 3

? x2 y2 ?1 x2 y2 ? ? 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 ? ? 1 联立 ? 3 2 3 2 ? y ? ?x ? 1 ?
设A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 6 3 则x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 5 5 ?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
(II) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
? OA ? OB ? OA ? OB ? 0, 即x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 由? a 消去y得( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 b ? y ? ?x ? 1 ?

6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5

由? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0
2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x1 x 2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? y1 y 2 ? ( ? x1 ? 1)( ? x 2 ? 1) 又x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? y1 y 2 ? y1 y 2 ? 0得 : 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ? 2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a2 ? b2 a ? b2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

整理得 a ? b ? 1
2 2

整理得: a ? b ? 2a b ? 0 ? b ? a ? c ? a ? a e 代入上式得

2a 2 ? 1 ?

1 1 ? e2

?a2 ?

1 1 (1 ? ) 2 1 ? e2

1 2 1 ? 2 4 ? 3 7 ? 6 ?

?e?

2 2 3 4

?

1 1 ? e2 ? 4 2

? 1 ? e2 ? ?

1 7 1 ?2 ? ? 1? ?3 2 3 1? e 1 ? e2 3 ? a 2 ? 适合条件a 2 ? b 2 ? 1 2
由此得

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 3

故长轴长的最大值为 6 .

9, ,椭圆

x2 y2 、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且 ? ? 1(a ? b ? 0) 与过点 A(2,0) a2 b2
3 . (I)求椭圆方程; (II)设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF2 2

椭圆的离心率 e ?

的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.

? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, x ? b 解: (I)过点 A、B 的直线方程为 ? y ? 1 因为由题意得 ? a 有惟一解, 2 1 ?y ? ? x ?1 ? 2 ?


1 (b 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 4











? ? ? a 2 b 2 (a 2 ? 4b 2 ? 4) ? 0 (ab ? 0) 故a 2 ? 4b 2 ? 4 ? 0 3 a2 ? b2 3 1 ,即 ? , 所以a 2 ? 4b 2 .从而得a 2 ? 2, b 2 ? , 2 2 4 2 a 2 x 故所求的椭圆方程为 ? 2 y 2 ? 1. 2 又因为e ?
(II)由(I)得 c ?

6 6 6 6 , 故F1 (? ,0), F2 ( ,0), 从而M (1 ? ,0). 2 2 2 4

? x2 ? 2 y 2 ? 1, ? 1 ?2 由? 解得x1 ? x 2 ? 1, 所以T (1, ) 2 ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ? 因为 tan ?AF1T ? 6 1 2 ? 1, 又 tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? , 2 2 6 2 1 ? 6 6 2 得 tan ?ATM ? ? ? 1,因此?ATM ? ?AF1T . 1 2 1? 6

x2 y 2 AC 当 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,AB 、 分别过两个焦点 F1、F2 , AC ? F1 F2 ? 0 a 2 b2 ???? ???? ???? ? ???? ? 2 1 时,有 AF1 ? AF2 ? AF1 成立.(1)求此椭圆的离心率; (2)设 AF1 ? mF B, AF ? nF C. 当点 A 在 1 2 2 9 椭圆上运动时,求证 m ? n 始终是定值. ???? ???? ? ???? ? ???? ???? ? 1 ???? 2 解 : 1 ) 时 , AF1 ? AF2 cos ?F1 AF2 ?| AF2 |2 ? AF1 ?3| AF2 |?| AF1 | . 由 椭 圆 定 义 , 得 ( 9 ???? ???? ? ???? 3a ???? a ? 在 中 , | AF2 |?| AF1 |? 2a,? AF1 |? ,| AF2 |? . | Rt ? AF1F2 2 2 ???? ???? ? 9a 2 a 2 c 2 ?| AF1 |2 ? | AF2 |2 ?| F1 F2 |2 ,? ? ? 4c 2 . ? e .? ? a 2 4 4 x2 y2 2 b 2 (II)由 e ? ,得 ? 1 ? e2 ? ,? b ? c. 椭圆方程化为 2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 . 2 a 2 2b b
10, A, B, C 都在椭圆 点 焦点 F1 (?b,0), F2 (b,0), 设 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ).(1)当直线 AC 的斜率存在时,直线 AC 的方 程为 y ?

y0 2 ( x ? b). 代入椭圆方程,得 (3b2 ? 2bx0 ) y 2 ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b2 y0 ? 0. x0 ? b
2 by0 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 | AF2 | y0 b 2 y0 . ?n ? ? ? . 同理可得 m ? ,则 y2 ? ? . 3b 2 ? 2bx0 3b ? 2 x0 | F2C | ? y2 b b

? y0 y2 ? ?

(2)当直线 AC 的斜率不存在时, n ? 1, m ?

3b ? 2b ? 5, m ? n ? 6. 综上所述, m ? n 是定值 6. b

11

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 M 在 x 轴上, a2 b2 x2 ? y2 ? 1 5

且使得 MF 为△AMB 的一条内角平分线, 则称点 M 为该椭圆的 “左特征点” ①求椭圆 。 的“左特征点”M 的坐标;

x2 y2 ②试根据①中的结论猜测:椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的“左特征点”M 是一个怎么样的点?并 a b
证明你的结论。

解: (1)设 M(m,0)为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左特征点, 5

由椭圆的左焦点为 F(-2,0) ,可设直线 AB 的方程为 x ? ky ? 2(k ? 0)

x2 ? y 2 ? 1得(ky ? 2) 2 ? 5 y 2 ? 5即(k 2 ? 5) y 2 ? 4ky ? 1 ? 0 代入 5

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则y1 ? y 2 ? ∴ k AM ? k BM ? 0 ∴

4k 1 ∵∠AMB 被 x 轴分平分 , y1 y2 ? ? 2 k ?5 k ?5
2

y1 y2 ? ? 0 y1 ( x2 ? m) ? y 2 ( x1 ? m) ? 0 x1 ? m x 2 ? m

即 y1 (ky2 ? 2) ? y 2 (ky1 ?2) ? ( y1 ? y 2 )m ? 0 ? 2ky1 y 2 ? ( y1 ? y 2 )( m ? 2) ? 0 于是 2k ? ? ?

1 ? 4k 5 5 ? (m ? 2) ? 0 ? k ? 0, ?1 ? 2(m ? 2) ? 0,即m ? ? M (? ,0) ?? 2 2 2 2 ? k ? 5? k ? 5

x2 5 a2 x2 y2 2 (2)对于椭圆 于是猜想:椭圆 2 ? 2 ? 1 的“左 ? y ? 1, a ? 5 , b ? 1, c ? 2 ? ? ? ? 5 2 c a b
特征点”是椭 圆的左准线与 x 轴的交点证明:设椭圆的左准线 l 与 x 轴交于 M 点,过 A、B 分别 作 l 的垂线,垂足分别为 C,D,据椭圆的第二定义:

| AF | | BF | | AF | | AC | ? 即 ? | AC | | BD | | BF | | BD |

? AC // FM // BD, ?

| AF | | CM | | AC | | CM | | AC | | BD | 即 ? 于是 ? ? | BF | | DN | | BD | | DM | | CM | | DM |

? ?AMC ? ?BMD ? ?AMF ? ?BMF
? MF为?AMB 的平分线,故 M 为椭圆的“左特征点” 。
12N 分 别 是 直 线 y ?

2 2 x和y ? ? x 上 的 两 个 动 点 , 并 且 | MN |? 2 , 动 点 P 满 足 2 2

OP ? OM ? ON . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)记动点 P 的轨迹为 E,已知点 Q 是直线 x=4
上异于点(4,0)的任意一点,点 A1、A2 是曲线 E 与 x 轴的两个交点,直线 QA1、QA2 与曲线 E 的 另一个交点分别为 R、S.求证:直线 RS 与 x 轴交于定点,并求出此定点坐标。
? x ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 解 :( Ⅰ ) 设 P ( x, y ), M ? x1 . 2 x1 ?, N ? x 2 ,? 2 x 2 ? ? OP ? OM ? ON , ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ( x1 ? x 2 ) ?y ? ? 2

? x1 ? x 2 ? x 1 2 2 ?? 又 ?| MN |? 2 。 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? x ? x ? 2y 2 ? 1 1 2 2
?2y ? 2 x ?2

?2

即动点 P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. (Ⅱ) (法一)设 A1 (?2,0), A2 (2,0), 直线 QA1 和 QA2 的斜率分别为 k1,k2, 4 x2 ? y 2 ? 1中得 则直线 QA1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2), 代入方程 4

?1 ? 4k ?x
2 1

2

? 16 k12 x ? 16 k12 ? ?4 ? 0, ? ?2 是方程的一个根? ?2 ? x R ?
2 ? 8k12 4 k1 , 代入y ? k ( x ? 2)得y R ? 2 1 ? 4 k1 1 ? 4k12

16 k12 ? 4 1 ? 4k12

? xR ?

直线 QA2 的方程为 y ? k 2 ( x ? 2), 代入方程
2 2 2 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16 k 2 x ? 16 k 2 ? 4 ? 0.

x2 ? y 2 ? 1中得 4
2 2 16 k 2 ? 4 8k 2 ? 2 , xS ? , 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? 2是方程的一个根, ? 2 ? xS ?

将x S 代入直线y ? k 2 ( x ? 2)中得y S ? ?

4k 2 (9 分) 2 1 ? 4k 2

直 线 RS 的 方 程 为

y ? yS ?

yR ? yS x ? y ? xR yS ( x ? x S ), 令y ? 0得x ? S R 将 R,S 的坐标代入化简得 xR ? xS yR ? yS
k2 ?1 k ?x ? 2 1 ? 1 所 以 直 线 RS k2 ?1 k1

k k ? k1 x ? 2? 2 , ? yQ ? k 2 (4 ? 2) ? k 2 (4 ? 2) ? 3 ? 3. k1 ? k 2 k1

与 x 轴交于定点(1,0) (14 分) (法二)设 Q 点坐标写出直线方程,与椭圆方程联立解出 R,S 两点的坐标 (9 分)写出直线 RS 的方程求出过定点(1,0) (14 分) 13,

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,直线 x=t(t≠0)交椭圆于 P、Q 两点. (I)求直 3

线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (II)过点 F(-2,0)做直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 E 于 A、B 两点,若|AB|=a,试确定 a 的取值范围,并讨论在 a 的取值范围内,符合条件的直线 l 的条数.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点为 A1( ? 3,0 ) 解: (Ⅰ)设直线 A1P 与 A2P 交点为 M(x,y) 椭圆 、 3
A2( 3 ,0) 直线 x=t(t≠0)交椭圆于 P(x0,y0) ,Q(x0,-y0)两点 根据 A1、P、M 三点共线,可得 ( x0 ? 3 ) y ? y 0 ( x ? 3 ) ① 同理 A2、Q、M 三点共线,可得 ( x0 ? 3 ) y ? ? y 0 ( x ? 3 ) ② ??????3 分 可以验证 x ? 0 ,联立①②解得 x0 ?

3 3y , y0 ? ,∵P(x0,y0)在椭圆上 x x

3 ( )2 所以 x ? ( 3 y ) 2 ? 1 ,化简得轨迹 E 的方程为: 3 x

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ????5 分 3

(Ⅱ)过点 F(-2,0)的直线 l 垂直 x 轴时, | AB |?

2 3 ,直线方程为 x=-2 3
? y ? k ( x ? 2) ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

当直线不垂直于 x 轴时,设过点 F(-2,0)的直线 l 方程 y ? k ( x ? 2) 联立方程:?

消去 y 并整理得: (1 ? 3k ) x ? 12 k x ? 3(4k ? 1) ? 0
2 2 2 2

x1 ? x2 ?

? 12 k 2 ? 3(4k 2 ? 1) , x1 ? x2 ? ?0 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
12 (1 ? k 2 ) | 1 ? 3k 2 |

| AB |? 1 ? k 2 | x A ? x B |? 1 ? k 2 ( x A ? x B ) 2 ? 4 x A x B ? 1 ? k 2
要 满 足 | AB |?

2 3 (1 ? k 2 ) 2 3 (1 ? k 2 ) 2 3 (1 ? k 2 ) ? a (a ? 0),即 ?a 它等价于 ?a 和 | 1 ? 3k 2 | | 1 ? 3k 2 | ? 1 ? 3k 2
解得: k ?
2

2 3 (1 ? k 2 ) 1 ? 3k 2

a?2 3 ? 2 3 ? 3a

????①

a?2 3 2 3 (1 ? k 2 ) ? a时 解得 : k 2 ? 当 2 1 ? 3k 2 3 ? 3a

??②

要使这个方程中 k 有实数解,因为已知 a>0,所以 a ? 2 3 当0 ? a ?

????10 分

2 3 时①、②中的 k 都无实数解,没有满足条件的直线; 3

当a ?

2 3 时,有一条垂直 x 轴的直线 x=-2 3



2 3 <a<2 3 时,①中的 k 有两个实数解,②中的 k 的无实数解,k 共有二个实数解,满足条件 3

的直线有两条; 当 a ? 2 3 时,①中的 k 有两个实数解,②中的 k 有一个等于零的解,k 共有三个实数解,满足条 件的直线有三条; 当 a>2 3 时,①中的 k 有两个实数解,②中的 k 也有两个实数解,k 共有四个实数解,满足条件的 直线有四条 ??????????14 分注(若通过与通径和实轴长的长度来比较,说明直线的 存在性,没有给出证明,但指出 a 的取不同值时相应直线的条数,结论正确给一半分数)

1,已知圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ?

25 1 的圆心为 M,圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 的圆心为 N,一动圆与这两圆都 4 4

外切.(Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程.(Ⅱ)若过点 N 的直线 l 与(Ⅰ)中所求轨迹有两个交点 A、 B,求 AM ? BM 的取值范围. 解: (I)设动圆 P 的半径为 r,则 | PM |? r ?

5 1 , | PN |? r ? ????1 分 2 2

相减得|PM|-|PN|=2 由双曲线定义知,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,焦距为 4,实轴长为 2 的双曲线的右 支??????????????2 分

y2 其双曲线方程为 x ? ? 1( x ? 1) ??????????????4 分 3
2

(未指出 x≥1 的扣 1 分) (Ⅱ)当 a ?

?
2

时,设直线l的斜率为k

? y ? k ( x ? 2) ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 ??????6 分 ? 2 2 ?3 x ? y ? 3

?? ? 0 ? 由 ? x1 ? x 2 ? 0 ? k 2 ? 3 ??????????????8 分 ?x x ? 0 ? 1 2
设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 则 AM ? (?2 ? x1 ,? y1 ), AN ? (?2 ? x 2 ,? y 2 ) AM ? AN ? (?2 ? x1 )( ?2 ? x 2 ) ? y1 y 2 ? 4 ? 2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 7k 2 ? 9 12 ?7? 2 ? 7.......... .......... .......... .......... .......... ..10分 2 k ?3 k ?3

当? ?

?
2

时,x1 ? x 2 ? 2 ? y1 ? 3, y 2 ? ?3.......... .......... .... 11分

? AM ? (?4,?3), BM ? (?4,3) ? AM ? BM ? 7 综合得 AM ? BM ? 7.......... .......... .......... .......... .......... ........ 12分
已知双曲线 y ? x ? 1 ,过上焦点 F2 的直线与下支交于 A、B 两点,且线段 AF2、BF2 的长度分别
2 2

为 m、n. (1)证明 mn≥1; (2)若 m>n,当直线 AB 的斜率 k ? [ ,

1 5 m ] 时,求 的取值范围. 3 5 n

解: (1)易知双曲线上焦点为 (0, 2 ) .

设直线 AB 的方程为 y ? kx ?

2 , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ).

当 k=0 时,A、B 两点的横坐标分别为 1 和-1, 此时 mn=1. 当 k ? 0时, 将y ? kx ?

2 代入双曲线方程,消去 x 得
????2 分

(1 ? k 2 ) y 2 ? 2 2 y ? k 2 ? 2 ? 0 .

? ?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ? 由? y1 ? y 2 ? ? 0, 得k 2 ? 1. 2 1? k ? ? k2 ? 2 ?0 ? y1 ? y 2 ? 1? k 2 ?
由双曲线的第二定义,知 m ? ?1 ?

????4 分

2 y1 ,
????8 分

n ? ?1 ? 2 y 2

1? k 2 2 ? 1? ? 1. ∴ mn ? 1 ? 2 y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 2 1 1? k ?1 k2
综上,知 mn≥1. (2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? ????10 分

2 ,代入双曲线方程,消去 y 并整理得

(k 2 ? 1) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0.

? x1 ? x 2 ? ?

2 2k 1 , x1 ? x2 ? ? 2 . 2 k ?1 k ?1

????8 分



x m n ? ? , 则? ? 1,? ? 2 ,即x1 ? ??x 2 . n m ? x1
2 2k , 1? k 2
② ①

? (1 ? ? ) x 2 ?
2 ? ?x2 ?

1 . k ?1
2

由①②,消去 x 2 , 得 即? ?

(1 ? ? ) 2

?


?

8k 2 , 1? k 2
????12 分

1

?

?

8 ?6 1? k 2

由 k 2 ? [ , ], 得? ?

1 1 9 5

1

?

? [3,4], 而? ? 0,

? 2 3? 5 ?? ? 3? ? 1 ? 0 ?? 2 , 解之得 ? ? ? 2 ? 3 , 即为所求. ????14 分 2 ?? ? 4? ? 1 ? 0 ?
2 已知 A(3,0)及双曲线 E:

x2 y2 ? ? 1 ,若双曲线 E 的右支上的点 Q 到 B(m, 9 16

0) (m≥3)距离的最小值为|AB|。 (Ⅰ)求 m 的取值范围,并指出当 m 变化时点 B 的轨迹 G; (Ⅱ)轨迹 G 上是否存在一点 D,它在直线 y ?

4 x 上的射影为 P, AP ? OD ? OP ? PD ?若 3

存在,试指出双曲线 E 的右焦点 F 分向量 AD 所成的比;若不存在,请说明理由。 (理科做) (Ⅲ)当 m 为定值时,过轨迹 G 上的点 B(m,0)作一条直线 l 与双曲线 E 的渐近线 y ?

4 4 x, y ? ? x 分别交于 M、N 两点,求△MON 周长的最小值。 3 3

解: (I)设 M(x,y) ,则 x ? 3 且 y ?
2

16 2 x ? 16 那么点 M 到点 B 的距离 9

d ? ( x ? m) 2 ? y 2 ?
设 f ( x) ? d , 则f ( x) ?
2

25 9 16 ( x ? m) 2 ? m 2 ? 16 9 25 25

25 9m 2 16 2 (文 3 分) (x ? ) ? m ? 16( x ? 3) (理 2 分) 9 25 25

9 25 m ? 3即m ? 时, f ( x)是[3,??) 上的增函数,所以当 x=3 时, f (x) 最小值 25 3 9m 25 9m 4 m ? 3 ?| AB |; 当 ? 3即m ? 时, f ( ) ? m 2 ? 25 ? m ? 3. (理 3 分(文 4 分) 25 3 25 5 25 由上述可得: 当且仅当 3 ? m ? 时, 到 B 的距离为|AB|. 所以点 B 的轨迹是一条线段 AN, M 3 25 其中 N( (文 6 分) ,0) ,即轨迹 G 为线段 AN.(理 4 分) 3 25 25 (II)设存在 D,令 P(3t,4 t) ,则 D ( t ,0), 于是 AP ? (3t ? 3,4t ), OD ? ( t ,0) 3 3


? OD ? AP ? 25t 2 ? 25t
又 OP ? PD ? 0,? 25t ? 25t ? 0,? t ? 0或t ? 1 (理 6 分) (文 10 分)
2

25 t ,0) 在轨迹 G 上,所以存在 D 满足 3 25 10 3 题意,此时 D ( t ,0) 、F(5,0) ,有 AF ? (2,0), FD ? ( ,0), AF ? FD . 3 3 5 3 从而 F 分 AD 所成的比为 ? ? (理 8 分) (文 14 分) 5
当 t=0 时,D 为(0,0)不满足题意;当 t=1 时,D 为 ( (III) (理)设 M(3s,4s) 、N(3t,-4t) ,因为直线 l 与双曲线 E 的右支有两个交点, 所以 s>0,t>0,由 M、B、N 共线知

3s ? m 3t ? m 1 1 6 ? 即 ? ? (理 9 分) 4s ? 4t s t m



6 1 1 s t s t ( s ? t ) ? ( ? )( s ? t ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 m s t t s t s

所以 s ? t ?

2m m ,当且仅当s ? t ? 时取等号(理 10 分) 3 3

?OMN 的周长 L=|OM|+|ON|+|MN|= 5s ? 5t ? (3s ? 3t ) 2 ? (4 s ? 4t ) 2
2 2 = 5( s ? t ) ? 9( s ? t ) ? 16 ( s ? t ) ? 9( s ? t ) ? 6m

所以,当 s ? t ?

m 时, ?OMN 的周长最小为 6m(理 14 分) 3

3 已知 F1(-2,0) 2(2,0) ,F ,点 P 满足|PF1|-|PF2|=2,记点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M(m,0) ,使 MP⊥MQ 恒成立, 求实数 m 的值. (ii)过 P、Q 作直线 x ? 求λ 的取值范围. 解: (1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支,由

| PA | ? | QB | 1 的垂线 PA、QB,垂足分别为 A、B,记 ? ? , | AB | 2

c ? 2,2a ? 2,? b 2 ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1( x ? 1). 3
????3 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 与双曲线方程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x ? x ? 4k ? 0 , 解得k 2 ? 3 ???5 分 1 2 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
(i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? y1 y 2

? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 4k 2

?

3 ? (4m ? 5)k 2 ? m2. 2 k ?3

????7 分

? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的 k ? 3 恒成立,
2 2 2

2

?1 ? m 2 ? 0 ? ?? 2 , 解得m ? ?1. ?m ? 4 m ? 5 ? 0 ?
当 m ? ?1时, MP ? MQ ,当直线 l 的斜率不存在时, 由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知结论也成立,综上,当 m =-1 时,

MP ? MQ.
(ii)? a ? 1, c ? 2,? x ?

????8 分

1 是双曲线的右准线 ????9 分 2 1 1 1 由双曲线定义得: | PA |? | PF2 |? | PF2 |, | QB |? | QF2 | , e 2 2
方法一:? ? ?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 2 | AB | 2 | y 2 ? y1 |
????10 分

?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? 1? 2 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

? k 2 ? 3,? 0 ?

1 1 1 3 ? ,故 ? ? ? , 2 3 2 3 k

????11 分

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |, 此时, ? ?

1 , 2

综上, ? ? ? ,

?1

?2

3? ? 3 ? ?

????12 分

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

2? ? , 过Q作QC ? PA, 垂足为C , 则?PQC ?| ? ? | , 3 3 2 | PQ | | PQ | 1 1 ????10 分 ?? ? ? ? ? ? 2 | AB | 2 | CQ | 2 sin ? 2 cos( ? ? ) 2 ?? ?


?

?
3

?? ?

?1 3 ? 2? 3 ?. 得, ? sin ? ? 1, 故? ? ? , 3 2 2 3 ? ? ?

????12 分

如图,若 F1 , F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点, P 在双曲线左支上,M 在 a2 b2
F1 M ? PO ? 0

右准线上,且满足 F1O ? PM , (Ⅰ)求此双曲线的离心率;

(Ⅱ)若此双曲线过点 N (2, 3 ), 求双曲线的方程; (Ⅲ)设(Ⅱ)中双曲线的虚轴端点为 B1 , B2 ( B1 在 y 轴的正半轴上) ,过 B2 点作直线 l 与双曲 线交于 A, B 两点,当 B1 A ? B1 B 时,求直线 l 的方程。 解: (Ⅰ)由 F1O ? PM 知四边形 PF1OM 是平行四边形, 又 F1M ? PO ? 0 ,四边形 PF1OM 是菱形 设焦半距为 c,则 OF1 ? PF1 ? PM ? c
? ? ? ? ?
? ?

????2 分

∴ PF2 ? PF1 ? 2a =c+2a, 由双曲线第二定义
?

????4 分

y
? e,即 c ? 2a ? e,? e ? 2 (6 分) c
F ∴c=2a
1

PF2
可知
?

P

M

PM

c (Ⅱ)∵e=2= a

O

F2

x

x2 y2 ∴双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a 3a
又∵双曲线过点 N(2, 3 ) ,∴

4 3 ? 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 2 a 3a
????8 分

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 3 9

(Ⅲ)由题意知 B1(0,3) 2(0,-3) ,B , 设直线 l 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则由 ? x 2

? y ? kx ? 3 ? y2 ? ?1 ?3 9 ?
2 2

消去 y 得 (3 ? k ) x ? 6kx ? 18 ? 0 ∵双曲线的渐近线为 y ? ? 3x , ∴当 k ? ? 3 时,直线 l 与双曲线只有一个交点,即 k ? ? 3

????9 分

????10 分

x ? x2 ?

? 6k 2 ? 18 , x1 x 2 ? 2 3?k 3?k2 ? 18 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 6 ? , y1 y 2 ? k 2 x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 9 ?12分 2 3?k
? ?

又∵ B1 A ? ( x1 , y1 ? 3), B1 B ? ( x 2 , y 2 ? 3) 而 x1 x2 ? y1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 9 ? 0 即 ????13 分

? 18 ? 18 ? 9 ? 3? ? 9 ? 0,? k ? ? 5 2 3?k 3?k2
????14 分

直线 l 的方程为 y ? ? 5 x ? 3

已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线为 l1、l2,过椭圆 a2 b a b

C 的右焦点 F 作直线 l,使 l ? l1 , 又l与l 2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A、B.(如图) (I)当 l1 与 l2 夹角为 60°,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程; (II)当 FA ? ? AP时, 求? 的最大值;

解: (1)∵双曲线的渐近线为

y??

b b x ,两渐近线夹角为 60°,又 <1 a a
??????3 分

∴∠POx=30°,即

3 b =tan30°= . ? a ? 3b 3 a

又 a2+b2=4, ∴a3=3,b2=1 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

??????5 分

a b a 2 ab (2)由已知 l : y ? ( x ? c),与y ? x解得P( , ) ????7 分 b a c c

a2 ab ?? c , c ) 由 FA ? ? AP得A( 1? ? 1? ? c???
将 A 点坐标代入椭圆方程得

??????9 分

(c 2 ? ?a 2 ) 2 ? ?2 a 4 ? (1 ? ? ) 2 a 2 c 2
∴ (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? )
2 2 2 2 2

????10 分

∴? ?
2

e4 ? e2 2 ? ?[( 2 ? e 2 ) ? ]?3 ? 3? 2 2 2 e ?2 2 ? e2
??????12 分

∴ ? 的最大值为 2 -1

[ 22.解: (Ⅰ)∵ f ?( x)在区间 1, e] 上是增函数,
∴最大值是

e2 1 ? 1,最小值是 . 2 2

??????2 分

(Ⅱ)设 F ( x) ? 则 F ?( x) ? x ?

1 2 2 x ? ln x ? x 3 2 3
??????4 分

1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) ? 2x 2 ? x x

∵x>1, ∴ F ?( x) ? 0 ,所以函数 F ( x)在区间(1,??) 上单调递减。 ????5 分 又 F (1) ? ? 即

1 ?0 6

∴ 在区间(1,??) 上, F ( x) ? 0 ,

1 2 2 x ? ln x ? x 3 2 3 2 3 x 的下方 ??????7 分 3

∴函数 f (x) 的图象在函数 g ( x) ?

(Ⅲ)当 n=1 时,不等式成立。 当 n≥2 时,

??????8 分

1 1 [h( x)] n ? h( x n ) ? ( x ? ) n ? ( x n ? n ) x x 1 1 n?2 1 1 1 2 n ? [C n ( x ? n?2 ) ? C n ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ?1 ( x n?2 ? n ] ????10 分 2 x x x ?2
由已知 x ? 0,h[( x)] ? h( x ) ? C n ? C n ? ? ? C n
n n 1 2 n ?1

? 2n ? 2 ,

∴ [h( x)] ? 2 ? h( x ) ? 2
n n

n

????????12 分



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