9299.net
大学生考试网 让学习变简单
相关文档
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第8讲 函数与方程课件 理 新人教A版

【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第8讲 函数与方程课件 理 新人教A版


第8讲

函数与方程

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联

系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似 解.

1个熟记口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,

中值计算两边看,同号去,异号算,零点落在异号间.周而复
始怎么办?精确度上来判断. 2项必须防范 1. 函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点. 2. 若函数f(x)在(a,b)上有零点,不一定有f(a)·f(b)<0.

3种必会方法 1. 直接法:令f(x)=0,则有几个解就有几个零点. 2. 零点存在性定理法:要求函数在[a,b]上是连续的曲

线,且f(a)· f(b)<0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能
确定函数有多少个零点. 3. 图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画两个 函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个 不同的值,就有几个不同的零点.

课前自主导学

1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使________的实数x叫做函数y= f(x)的零点.

(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函 数y=f(x)有零点.

上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题

时有什么作用?

(1)y = 2x - 1 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 及 其 零 点 分 别 是
________. (2)函数f(x)=ax-b有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax 的零点是________.

2. 零点存在定理 如果函数y=f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)f(a)·f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在区间[a,

b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0
呢?

(1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是________.

①(-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2).
(2)函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则 a的取值范围是________.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布
根的分布 (m<n<p 为常数) 图象 满足条件

x1<x2<m

?Δ>0 ? b ?-2a<m ? ?f?m?>0 ?Δ>0 ? b ?-2a>m ? ?f?m?>0
f(m)<0

m<x1<x2

x1<m<x2

根的分布 (m<n<p为常数)

图象

满足条件

m<x1<x2<n

?Δ>0 ? ?m<- b <n 2a ? ?f?m?>0 ?f?n?>0 ? ?f?m?>0 ? ?f?n?<0 ?f?p?>0 ? ?Δ=0 ? 或f(m)· f(n)<0 ? b m<- <n ? 2a ?

m<x1<n<x2<p

只有一根在 (m,n)之间

(1)若关于x的方程x2 +mx+1=0有两个不相等的实数根,

则实数m的取值范围是__________.
(2)关于x的方程x2+mx-2=0,其中一个根小于1,而另一 个根大于1,则m的取值范围________.

4.二分法 (1)二分法的定义

对于在区间[a,b]上连续不断且________的函数y=f(x),
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________,使区间的两 端点逐步逼近________,进而得到零点的近似值的方法叫做二 分法.

(2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证________,给定精确度ε;

第二步:求区间(a,b)的中点c;
第三步:计算f(c) ①若f(c)=0,则c就是函数的零点;

②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零

点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.

能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点?

用二分法研究函数f(x)=x3 +3x-1的零点时,第一次经计 算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次 应计算________.

1. f(x)=0

想一想:提示:由于三者之间有等价关系,因此,在研究
函数零点、方程的根及图象交点问题中,当从正面研究较难入 手时,可以转化为其等价的另一易入手的问题处理,如研究含 有绝对值、分式、指数、对数等较复杂的方程问题,常转化为 两熟悉函数图象的交点问题研究.

1 1 填一填:(1)(2,0);2 (2)-1,0 提示:b=3a,∴g(x)=3ax2+3ax=0,∴x= -1,或x=0. 2. 想一想:提示:不一定.由图(1)、(2)可知.

在区间[a,b]上的连续函数,若f(a)· f(b)>0则f(x)在[a,b] 上定无零点(×) 填一填:(1)② 1 1 (2)a>5或a<-1 提示:令f(-1)· f(1)<0,得a>5或a<-1. 3.填一填:(1)m<-2或m>2

(2)m<1 提示:f(1)=m-1<0,m<1. 4.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 f(a)·f(b)<0

想一想:提示:不能.看一个函数能否用二分法求其零点
的依据是函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右 函数值异号. 填一填:(0,0.5) f(0.25)

核心要点研究

例1

(1)[2012·天津高考]函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内

的零点个数是(
A.0 C.2

)
B.1 D.3

2 (2)[2013· 汕头模拟]函数f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的 x 大致区间是( A.(1,2) C.(3,4) ) B.(2,3) D.(4,5)

[审题视点]

(1)把求函数f(x)的零点个数问题转化为函数y1

=2x-2与y2 =-x3 的图象在区间(0,1)内的交点个数问题,作出

函 数 图 象 结 合 区 间 端 点 值 即 可 判 断 结 果 . (2) 直 接 利 用
f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点.

[解析]

(1)解法一:函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零

点个数即为函数y1 =2x -2与y2 =-x3 的图象在区间(0,1)内的交

点个数.作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点,故排除
C、D项;当x=0时,y1=-1<y2=0,当x=1时,y1=0>y2=- 1,因此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所以A项错误,故选 B.

解法二:因为f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+13-2= 1,故f(0)· f(1)<0,又函数f(x)在(0,1)内单调,故f(x)在(0,1)内 的零点个数是1. 2 (2)∵f(3)=ln1-3<0, 1 f(4)=ln2-2=ln2-ln e>0, ∴f(3)· f(4)<0,故选C.
[答案] (1)B (2)C

奇思妙想:本例(1)改为f(x)=2x +x3 -m在区间(0,1)内有零 点,求m的范围,如何解答?

解:∵f(x)在(0,1)上单调递增,
∴ 在 (0,1) 上 有 零 点 等 价 于 f(0)·f(1) = (1 - m)(3 - m)<0 , ∴1<m<3.

判断函数的零点或方程的根所在区间时,通常有两种方

法,一是利用零点存在性定理进行判断;二是画出相应函数的
图象,由图象及单调性进行直观判断.

[变式探究]

(1)[2012· 湖北高考]函数f(x)=xcos2x在区 )

间[0,2π]上的零点的个数为( A.2 C.4 B.3 D.5

(2)[2011· 课标全国]在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 A.(- ,0) 4 1 1 C.( , ) 4 2 ) 1 B.(0, ) 4 1 3 D.( , ) 2 4

答案:(1)D (2)C
解析:(1)令f(x)=xcos2x=0,得x=0或cos2x=0,故x π kπ π =0或2x=kπ+ ,k∈Z.即x=0或x= + ,k∈Z.又x∈ 2 2 4 [0,2π],故k可取0,1,2,3,故零点的个数有5个.

1 1 (2)∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的,且f( )=e + 4 4

1 1 1 1 1 1 4×4-3=e4-2<0,f(2)=e2+4×2-3=e2-1>0,∴f(x)在 1 1 ( , )内存在唯一零点. 4 2

例2

[2012·济南模拟]若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正

数零点附近的函数值的部分参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.375)≈-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.4375)≈0.162 f(1.25)≈-0.984 f(1.40625)≈-0.054

那么方程x3 +x2 -2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ________. [审题视点] [解析] 根据函数零点的存在性定理和用二分法求方 由 参 考 数 据 知 f(1.4375)>0 , f(1.40625)<0 , , 且 精 确 到 0.1 时 ,

程近似解的方法解决.

f(1.4375)·f(1.40625)<0

1.4375≈1.4,1.40625≈1.4,所以函数f(x)的一个零点的近似值是 1.4,也就是方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根.

[答案] 1.4

用二分法求函数零点近似值,借助于计算器一步步求解即 可,我们可以借助于表格或数轴清晰地描写逐步缩小零点所在

区间的过程,而运算终止的时候就在区间长度小于精确度ε的时
候.

[变式探究]

用二分法求方程10x=x+2在[0,1]上的近似解

时,取区间中点c=0.5,下一个有根区间是________.

答案:[0,0.5]
解析:令f(x)=10x-x-2,f(0)=-1<0,f(1)=7>0, f(0.5)= 10-2.5>0,由于f(0)f(0.5)<0,故下一个有根区间是 [0,0.5].

例3

[2013·怀化模考]函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个 )

为正实数的零点,则实数m的取值范围是(

A.(-∞,1]
C.(-∞,0)∪(0,1] [审题视点]

B.(-∞,0]∪{1}
D.(-∞,1)

函数中的二次项系数是个参数,要先对其分

类讨论,再结合一次函数、二次函数的图象列不等式解决.

[解析]

1 当m=0时,x= 为函数的零点;当m≠0时, 2

若Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显 然函数x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实 数零点等价于方程mx2-2x+1=0有一个正根和一个负根, 即mf(0) <0,即m<0.故选B.
[答案] B

分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重考查的两种数 学思想,它们在本题的求解过程中体现得淋漓尽致,还要注意

函数的零点有变号零点和不变号零点,如本题中的x=1就是函
数的不变号零点,对于不变号零点,函数零点的存在性定理是 不适用的,因此在解决函数的零点问题时要注意这一点.

[变式探究] [2013· 青岛模拟]设f(x)与g(x)是定义在同一 区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b] 上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函 数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与 g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为 ( ) 9 A.(- ,-2] 4 C.(-∞,-2] B.[-1,0] 9 D.(-4,+∞)

答案:A

解析:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-3x+4-(2x+m)=x2- 5x+4-m,则由题意知F(x)=0在[0,3]上有两个不同的实数 ?F?0?≥0 ? 根,因而 ?F?3?≥0 ?Δ=52-4?4-m?>0 ? 9 得- <m≤-2,故选A. 4 ?4-m≥0 ? ?-2-m≥0 ,即 ? 9 ? ?m>-4 ?

,解之

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 [2013· 成都联考]设函数f(x)= f(x)( ) 1 3 x-lnx(x>0),则y=

1 A.在区间( ,1),(1,e)内均有零点 e 1 B.在区间( e,1),(1,e)内均无零点 1 C.在区间(e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 1 D.在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 e

x-3 1 1 [规范解答] 由题得f′(x)= 3 - x = 3x (x>0),令 f′(x)>0得x>3;令f′(x)<0得0<x<3;令f′(x)=0得x=3,故 函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函 数,在x=3处有极小值1-ln3<0. 1 e 1 1 又f(1)=3>0,f(e)=3-1<0,f(e)=3e+1>0,故选D.
[答案] D

【备考· 角度说】 No.1 角度关键词:错因分析 由零点存在定理,可知在区间(1,e)内存在零点,但是 1 在( e ,1)内的零点状况无法由零点存在定理作出判断,这是 本题易错原因之一.

No.2

角度关键词:备考建议

对函数的零点除掌握好常规的考向外,在备考中还应关注 以下几个问题:

(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合
问题. (2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题. (3)与导数的应用综合在一起考查,由极值的正负确定零点 的个数.

经典演练提能

1.[2012· 北京高考]函数f(x)= ( ) A. 0 C. 2



?1? ? ? x的零点个数为 ?2?

B. 1 D. 3

答案:B

解析:函数f(x)= 为方程

? 1? -?2?x的零点个数即 ? ?

?1? = ?2? x的根的个数,因此可以利 ? ?

用数形结合,在同一坐标系内画出函数y =
?1? 和函数y= ?2? x的图象,两图象的交点个数即为f(x)= ? ?

?1? -?2?x的零点个数,如图所示,其零点个数为1. ? ?

2.[2013· 合肥模拟]已知a是函数f(x)=2x- 点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( A.f(x0)=0 C.f(x0)>0 ) B.f(x0)<0 D.不确定

x的零

答案:B

解析:f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(a)=0,所以 f(x)=0,只有一个实根,当0<x0<a时,恒有f(x0)<0. 另解:x=a为y=2x与y= 时2x0< x0,∴2x0- x0<0, x的交点横坐标,∴0<x0<a

∴f(x0)<0.

1 3.用二分法求方程lnx= 在[1,2]上的近似解,取中点c x =1.5,则下一个有根区间是________.

答案:[1.5,2]

1 1 解析:令f(x)=lnx- x ,则f(1)=-1<0,f(2)=ln2- 2 = 2 2 1 ln >ln1=0,f(1.5)=ln1.5- = (ln1.53-2). 3 3 e 1 1 3 因为1.5 =3.375,e >4>1.5 ,故f(1.5)= (ln1.5 -2)< 3 3
3 2 3

(lne2-2)=0, 所以f(1.5)· f(2)<0,故下一个有根区间是[1.5,2].故填 [1.5,2].

4.[2011·山东高考]已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且
a≠1) . 当 2<a<3<b<4 时 , 函 数 f(x) 的 零 点 x0∈(n , n + 1) , n∈N*,则n=________. 答案:2 解 析 : 因 为 2<a<3 , 所 以 loga2<1 = logaa<loga3 , 因 为

3<b<4 , 所 以 b - 2>1>loga2 , b - 3<1<loga3 , 所 以 f(2)·f(3) =
(loga2+2-b)(loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所 以n=2.

5.用二分法求方程x2 =2的正实根的近似解(精确度0.001) 时,如果我们选取初始区间[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少 需计算的次数是________.

答案:7
1.5-1.4 解析:设至少需计算n次,由题意知 <0.001即 2n 2n>100由26=64,27=128知n=7.



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com