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34[1].直线与圆锥曲线

34[1].直线与圆锥曲线


直线与圆锥曲线
【例题精选】 : 已知直线 y ? ax ? b(a ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1

例 1

(1) 问 a,b 满足什么条件,直线与圆有两个公共点? (2) 设这两个公共点为 M、N,且 OM、ON(O 为原点)与 x 轴正方向所成角为

?、?,求证: cos(? + ? ) ?

a2 ? 1 a2 ? 1

分析:第(1)问是求直线与圆什么时候有两个公共点, 因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小 于圆的半径,或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个 实数解,这里我们用后面的条件求解。 第(2)问(如图)中角 ?、? 可以看成是 OM、ON 的倾斜角,直接找 ? ? ? 较麻烦, 但是由圆的性质,取 MN 中点 P,连结 OP,可以知道 Lxop ? 也就可以得到 tg

? ??
2

, 只需求出 OP 的斜率,

? ??
2

的值,再根据三角公式,就可以计算出 cos(? ? ? ) 与 a 的关系了。

解 : (1) 由方程组

y ? ax ? b x2 ? y2 ? 1 消去y, 得

x 2 ? (ax ? b) 2 ? 1,即(1 ? a 2 ) x 2 ? 2abx ? b 2 ? 1 ? 0 ?? ? 4a 2 b 2 ? 4(1 ? a 2 )(b 2 ? 1) ? 4(1 ? a 2 ? b 2 ) ?1 ? a 2 ? b 2 ? 0时, 直线与圆有两个公共点 .
(2)、如图,取 MN 中点 P, 连结 OP,则< xop ?

???
2

?直线MN的斜率K MN ? a (a ? 0), 又op?MN , ?直线OP的斜率k op ? tg 由万能公式, 得 1 2 a2 ? a ?1 cos(? ? ? ) ? 1 a2 ?1 1? 2 a 1?

???
2

??

1 a

例 2 已 知 椭 圆 中 心 为 原 点 O, 焦 在 坐 标 轴 上 ,y=x+1 与该椭圆相交于 p、Q ,

PQ ?

34 ,求椭圆方程。 4

分析: 这个问题中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时, 可以设为 Ax 2 ? By 2 ? 1, 又这个问题中涉及弦 PQ 的长,因为 P、Q 在直线 y ? x ? 1上, 因此坐标满足方程 y ? x ? 1 , 所以若 P 、 Q 坐标分别为( x, y), (x2, y2) 的话,可推得

PQ ? 1 ? 1 x1 ? x2 , (我们称它为弦长公式,一般地为 1 ? k 2 x1 ? x 2 ).
由已知 OP ? OQ 我们一方面可以知道 OP 与 OQ 的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下), 一方面也可以知道 PQ 中点到原点 O 的距离等于 PQ 的一半, 因此本题可以得到以下两种一 般解法. 解法一: 设椭圆方程为 Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) 设 P ( x1, y1 ), Q( x2 , y2 )

? Ax 2 ? By 2 ? 1 ? 由?y ? x ?1

消去y , 得( A ? B ) x 2 ? 2 Bx ? B ? 1 ? 0

? 2B B ?1 , x1 ? x 2 ? A? B A? B 2A A ?1 y1 ? y 2 ? , y1 ? y 2 ? A? B A? B y ?y ?OP?OQ,? 1 2 ? ?1( B ? 1 ? 0时), x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? ? A ?1 ? ?1,即A ? B ? 2 B ?1 34 又 PQ ? 4 (1)

?

1 ? 1 ( x1 ? x 2 )2 ? 4 x1 x2 ?

34 4

4B2 B ?1 34 2[ ? 4? ]? 2 ( A ? B) A ? B 16 将(1)代入,得B 2 ? 2 B ? ? B? 15 ?0 16

5 3 或 B? 4 4 2 2 3x 5y 5x 2 3 y 2 椭圆方程 ? ?1 或 ? ? 1为所求 4 4 4 4

解法二: 同解法一, 得 (A ? B)x 2 ? 2Bx ? B ? 1 ? 0,

? 2B 2A , y1 ? y 2 ? 设 A ? B ? 2 (1) A? B A? B ?B A B A ?PQ中点M的坐标为( , )即(? , ) A? B A? B 2 2 x1 ? x 2 ?

1 34 PQ ? 2 8 B A 34 2 ?(? ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 2 8 17 ?B 2 ? A 2 ? ( 2) 8 3 ? 5 ? A? A? ? ? ? 4 或? 4 由( 1 )(2)解得? ? ?B ? 5 ?B ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ?OP?OQ,? OM ?
以下同解法一. 求过点 A(3,-1)被 A 平分的双曲线 x ? 4 y ? 4 的弦所在直线的方程.
2 2

例 3

2 2 解法一: 设过 A 点的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) 代入 x ? 4 y ? 4 消去 y, 得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? (24k 2 ? 8k ) x ? 4(9k 2 ? 6k ? 2) ? 0 当1 ? 4k 2 ? 0,且? ? 0时,设直线与双曲线的 两交点坐标分别为 p ( x, y ), Q( x 2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? 24k 2 ? 8k 4k 2 ? 1 24k 2 ? 8k 3 ? 6, k ? ? 2 4 4k ? 1

?PQ中点为A(3, ?1 ), ?

3 经验证k ? ? 满足1 ? 4k 2 ? 0且? ? 0 4 ?直线3 x ? 4 y ? 5 ? 0 为所求

解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为 p( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )
2 2 ? ? x1 ? 4 y1 ? 4 则? 2 2 ? ? x2 ? 4 y 2 ? 4

两式相减, 得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? PQ中点为A(3, ? 1), ? x1 ? x 2 ? 6 , y1 ? y 2 ? ?2 y ? y2 3 代入上式,得 1 ?? x1 ? x 2 4 ? 直线PQ 3 X ? 4Y ? 5 ? 0 为所求
说明: 本题解法二过程简单 , 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在承 认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点 A 坐标若改成

A? ( 2,1)或A?? (

3 1 , ), 2 2

用 此 法

可 以 得 出 相

应 的 斜



1 3 或K ?? ? ,从而得出直线x ? 2 y ? 0或 6 x ? 8 y ? 5 ? 0, 它们与双曲线都是设有交点的, 2 4 因此也是不合题意的。 K? ?
9 2 ) ? y 2 ? 16 y 2 ? ?4 x于点B、C,交圆 2

(x ? 例 4 过点 P(-2,1)的直线 l 交抛物线

9 (x ? ) 2 ? y 2 ? 16于点A、D,若 AB ? CD ,试求直线l的方程 2 (交点顺序依次为 A、B、C、D或B、A、D、C)。
分析: 由已知条件可以看出抛物线和圆都在 Y 轴左侧,且两线是相交的, 点 P(-2, 0)在两线的 内部,且在它们的对称轴上,因此直线 x ? ?2 是满足条件的一条直线 , 它是一条斜率不存在 的直线,当直线 l 的斜率存在时,可设出 l 的方程分别与抛物线方程,圆方程联立去求交点坐标, 但是若直接计算 AB ? CD 的等式,会比较麻烦, 由于题中给出四个交点的顺序,所以可以将

AB ? CD 的条件转化为 BC 与 AD 的中点是重合的去解,就会方便很多,但如果未给出交点
顺序, 应考虑四交点是否会出现如 B、A、C、D 的顺序,若能有此种顺序就不可以用中点重 合的方法了。 解 :过P (-2, 0) 点的直线 x+2=0 交抛物线于 B (-2, 2 2)、C( ? 2, ? 2 2) 交圆于 A( ?2,

39 39 )、D( ? 2, ? ), 2 2

? AB ? CD

? 直线x ? 2 ? 0为所求

设直线 l: y ? k ( x ? 2)代入y 2 ? ?4x



k 2 x 2 ? ( 4k 2 ? 4) x ? 4k 2 ? 0 2k 2 ? 2 2 , ym ? ? 2 k k ? AB ? CD , 且交点顺序为A、B、C、D或B、A、D、C, ? BC弦的中点M的坐标为x m ? ? ? 点M也是AD的中点 ? AD是圆的弦, ? 圆心N( ? ? 9 , 0)与M的连线垂直于直线l, 2

ym ? 0 ? k ? ?1 9 xm ? 2 2 ( ? ? 0) ? k k ? ?1 解得k ? ?2 2k 2 ? 2 9 ? ? k2 2 ? 直线方程y ? 2 x ? 4和y ? ?2 x ? 4 也为所求

例 5

已知直线 y ? mx ? m与双曲线( x ? 1)2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a ? 0)

(1) 实数 m,a 满足什么条件时,两线只有一个公共点? (2) 对任何实数 m,两线总存在公共点, 求实数 a 应满足什么条件? 分析: 第(1)小题中,应注意两线只有一个公共点包括两种情况,一种是直线与双曲线渐近 线平行时的情况, 一种是直线与双曲线相切的情况 解: (1) 由 ?

? y ? mx ? m
2 2 2 2 ?( x ? 1) ? a y ? a

消去y, 得
(? )

(1 ? a 2 m2 ) x ? ( 2a 2 m2 ? 2) x ? 1 ? a 2 m2 ? a 2 ? 0 当1 ? a 2 m2 ? 0时, x ? ?

a2 , ? 直线与双曲线有一个公共点 4 当1 ? a 2 m2 ? 0时, ? ? 4( a 2 m2 ? 1)2 ? 4(1 ? a 2 m2 )(1 ? a 2 m2 ? a 2 ) ? 4[4a 2 m2 ? a 2 ? a 4 m2 ] ? 0 ? a2 ? 0 ( 2) , ? 4 m2 ? 1 ? a 2 m2 ? 0 即 m2 ( a 2 ? 4) ? 1时直线与双曲线有一个公共点 当1 ? a 2 m2 ? 0时, 令? ? 4[4a 2 m2 ? a 2 ? a 4 m2 ] ? 0 即a 2 m2 ? 4m2 ? 1 ? 0
欲使此不等式对任何实数 m 都成立,只需 a ? 4 ? 0
2

? 实数a应满足 ? 2 ? a ? 2且a ? 0

例 6 是否存在圆锥曲线 C 同时满足下列两个条件:(1)原点 0 和直线 x-1 为它的焦点和 相应的准线; (2) 曲线 C 上两点 P1,P2 关于直线 x+y=0 对称, 且 p1 p2 ? 2 2 , 若存在求出该 曲线的方程,若不存在说明理由. 分析 : 由条件(1)可知, 如果能求出曲线 C 的离心率 e, 那么曲线 C 的方程就存在, 而 由条件(2)可知, P1P2 斜率应该为 1, 所以 P1P2 的方程可以设为 y ? x ? b , 这时此问题中出现 两个待定的常数 e 与 b,而根据对称点的性质及 p1 p2 ? 2 2 , 可以列出两个方程,如果能得 出解即可. 解 : 设圆锥曲线 C 的离心率为 e, 则由圆锥曲线定义可得

x2 ? y2 ? e, 化简为(1 ? e 2 ) x 2 ? y 2 ? 2e 2 x ? e 2 ? 0 x ?1 设直线p1 p 2的方程为y ? x ? b, 代入上述方程 ,得 (2 ? e 2 ) x 2 ? (2e 2 ? 2b) x ? b 2 ? e 2 ? 0 (?) 在e 2 ? 2, 且? ? 0时, p1 p 2中点M的坐标x M ? e2 ? b (1 ? b)e 2 ? b , y ? M e2 ? 2 e2 ? 2

? M在x ? y ? 0上, e 2 ? b (1 ? b)e 2 ? b ? ? 0,?b ? ?2 e2 ? 2 e2 ? 2 e2 ? 4 此时(?)方程可化简为x 2 ? 2 x ? 2 ?0 e ?2 由 p1 p 2 ? 2 2 , 得 ? 4(e 2 ? 4) ? 2 2 ?e ? 2 e2 ? 2 ?曲线C的方程为 3x 2 ? y 2 ? 8 x ? 4 ? 0, 是双曲线方程 . 1 ? 1 22 ?
【综合练习】:

1、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点P(2,1), 过 P 作一条直线交椭圆于 A、B,使线段 AB 9 4

中点是点 P,求出直线方程。
2 2 2、m 为何值时,直线 y ? mx ? 1 与双曲线 x ? 4 y ? 1 相交于两点?一点?相切?相离? 2 3 、直线 y ? (a ? 1) x ? 1 与曲线 y ? ax 恰有一个公共点,求实数 a 的值。 2 2 4、在椭圆 3x ? 4 y ? 12 上总有关于直线 y ? 4 x ? m 对称的相异两点,求 m 的取值

范围。 5、已知定点 A(-1,0) ,B (0,2) , 过点 A 且斜率为 K 的直线交曲线 C, y ? 于 P、Q 两点,线段 PQ 中点为 M,直线 MB 交 x 轴于 N 点。 (1)当点 N 分别位于 A 点的左侧、右侧时,求对应的 K 值。 (2)设曲线 C 的中心为 D,当 ?DPQ 为等边三角形时,求对应的 K 的值。

8x ? x 2

6、直线 kx-y-10=0 与双曲线 范围。 【答案】 :

x2 y2 ? ? 1 的两个交点都在双曲线的右支上, 求 k 的取值 20 5

1、提示:与例 3 类似可以用两种不同方法求解,对于椭圆, 点 P 在其内,用解法二 不会有问题,直线方程 8 x ? 9 y ? 25 ? 0 为所求。 2、由 ?

? y ? mx ? 1 ?x ? 4 y ? 1
2 2

消去 y 得 x 2 ? 4(mx ? 1) 2 ? 1 ? 0

即 : (1 ? 4m 2 ) x 2 ? 8mx ? 5 ? 0

? ? 64m 2 ? 20(1 ? 4m 2 ) ? 20 ? 16m 2 ?? 5 5 1 1 ?m? 且m ? ? 时相交于两点 , m ? ? 时相交于一点 2 2 2 2
(这里不包括相切的情况); m ? ?

5 5 5 时相切; m ? ? 或m ? 时相离. 2 2 2

3、若 a=0 时,曲线变为 y=0 与直线 y=x-1 恰有一个公共点; 若 a= -1 时,直线变为 y=-1 与曲线 y 2 ? ? x恰有一个公共点; 若a ? 0, a ? ?1时, 由 ? 得( a ? 1) y ? ay ? a ? 0, 令? ? 0, 得a ? ?
2

? y ? (a ? 1) x ? 1
2 ? y ? ax

消去 y,

4 , 此时两线恰有一个公共点. 5

? a的值为o,?1,?

4 5
2

4、设相异的两对称点坐标为 A( x1, y1 ), B( x2 , y ), 则
2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12 ? 2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12

两式相减, 得 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

又设 AB 中点坐标为 p( x 0 , y 0 ), 则x 0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2

y1 ? y 2 3x 1 ?? 0 ?? x1 ? x 2 4 y0 4 ? y 0 ? 3x 0 (1) ? 又y 0 ? 4 x 0 ? m, ? x 0 ? ? m, y 0 ? ?3m ? 点p应在椭圆内部 , ? 3x 0 ? 4 y 0 ? 12
2 2

即 3m 2 ? 4 ? 9m 2 ? 12, ? m的取值范围是 ?

m2 ?

4 13

2 13 2 13 ?m? 13 13

5、 由 ?

? ? y ? 8x 2 ? x 2 ? ? y ? k ( x ? 1)

消去 x , 得 (1 ? k ) x ? 2k x ? 8x ? k ? 0
2 2 2 2

4 ? k 2 5k , ) 点 M( 1? k 2 1? k 2

? y ? 0,?k ? 0, 且由? ? 0得0 ? k ? 设N ( x0, 0),?B, M , N三点共线,

4 , 3

5k ?0 2 2?0 ? 1 ? k2 ? , 4?k 0 ? x2 2 ?x 1? k 2 2(k ? 2) x0 ? ? 2k ? 1 2(k ? 2) 1 4 令 ? ?1, 得 ? k ? ? 2k ? 1 2 3 2(k ? 2) 1 令 ? ?1,得0 ? k ? ? 2k ? 1 2 ?N点分别位于A点的左侧、右侧时,对 应的K的值分别为 1 4 1 ?k ? ,0?k ? 2 3 2
又 当

?DPQ为等边三角形时,由点 D(4, 0)到PQ的距离为2 3,而求得K ?

2 39 13

6、提示:注意题中要求直线与双曲线的两个交点都在双曲线的右支上,因此, 在由

? y ? kx ? 10 消去 y 得关于 x 的二次方程。 ? 2 2 ? x ? 4 y ? 20

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 80kx ? 420 ? 0,应使此方程在[2 5, ? ?), 上有两个解, 可求得 K 的
取值范围是

1 21 ?k? . 2 2

参数方程与极坐标
【例题精选】 : 例 1 将下列参数方程化为普通方程

1 ? 2t ? x? ? ? 2?t (1) ? ? y ? 3t ? 4 ? 2?t ?

(t是参数 )

1 ? cos? ? x? ? ? sin ? (2) ? 1 ?y ? ? 1 ? cos? ?

(?为参数 )

5 ? x ? ?2 ? ? ? 2?t , 解 : (1)将方程变形 ? ? y ? 3 ? 10 ? 2?t ?

5 3? y ? x?2 ? 2?t 2 ? 2 x ? y ? 1 ? 0( 除点 ( ?2,3)) 为所求 ?
(2) x ?

1 ? cos? sin ? ?? , sin ? 1 ? cos? x 1 ? Sin? ? , Cos? ? 1 ? y y

两式平方相加 , 得

x 2 ( y ? 1) 2 ? ?1 y2 y2

1 1 即x 2 ? 2( y ? ) ( y ? )为所求 2 2 1 ? cos? ? 另法 : x ? ? ctg , sin ? 2 1 1 1 ? y? ? ? ? csc 2 ? 2 1 ? cos? 2 2 sin 2 2

? 2y ? x2 ? 1 1 1 即x 2 ? 2( y ? ) ( y ? ) 为所求 2 2
说明: 参数方程化为普通方程时,就是要消去参数,而消参数的方法很多,但是消去参数后, 应注意变量 x, y 的取值范围,比如上面第(1)小题中 x ? ?2, y ? 3, 第(2)小题中 x ? 0, y ? 例 2 将下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)

1 . 2

p sin(? ?

?
3

) ? 1;

(2)

?? ? 3? ?

?
3

???

解 : (1) 方程变形为 ? sin ? ? cos 将 ? ? sin? ? y,

?
3

? ? cos ? ? sin

?
3

?1

? ? cos? ? x代入, 得

y ? 3x ? 2 ? 0为所求
(2) 方程变形为 ? ( ? ? 3) ?

?
3

( ? ? 3) ? 0

( ? ? 3)(? ?

?

??3? 0 ? ???
3

)?0 3 化为x 2 ? y 2 ? 9

化为y ? ? 3x

说明: 极坐标方程与直角坐标方程的互化,是在两坐标系符合以下条件时,即极点与 原点重合,数轴与 x 轴正半轴重合,长度单位一致,另外,以上两题中 ? 的取值没有限制.

6? ? x ? 1 ? t sin ? ? 7 例 3 (1) 求直线 ? ? y ? 2 ? t cos ? ? 7 ?

(t为参数 ) 的倾斜角;

(2) 过点 p(1,-2)的直线交椭圆 x ? 2 y ? 8于A, B两点 , 若 PA ? PB ?
2

2 , 3

求直线的倾斜角.

分析 : 直线参数方程 ?

? x ? x0 ? t cos? (t为参数)中常数a如果在区间 ? y ? y 0 ? t sin ?

[0,? ]内, 则角?为 过 点 ( x0, y0 )直 线 的 倾 斜 ,若 角直 线 参 数 方 程 形 式 为
? x ? x0 ? at ? ? y ? y 0 ? bt
(t 为参数)时,则直线倾斜角的正切值为

b ( a ? 0), 此例第(1) a

小题最好用前者求直线倾斜角, 在前一种形式参数方程中,参数 t 的几何意义是 P0P 的数量 (其中 P0(x0,y0), P(x, y )分别是直线上的定点和动点) , 此例第 (2) 小题应设直线的参数方程, 利用 t 的几何意义去解。

? 9? ? x ? 1 ? t sin( ? ) ? 1 ? t ? cos ? ? 7 14 解: (1) 方程变形 ? ? y ? 2 ? t ? cos( ? ? ) ? 2 ? t ? sin 9? ? 7 14 ?
? 直线的倾斜角为
(2) 设直线方程为 ?

9? ; 14

? x ? 1 ? t cos? ? y ? ?2 ? t sin ?

(t为参数)

代入 x 2 ? 2 y 2 ? 8, 得

?cos

2

? ? 2 sin 2 ? ?t 2 ? ?2 cos? ? 8 sin ? ?t ? 1 ? 0
1 2 ? 2 cos ? ? 2 sin ? 3
2

设两根为 t2,t2 则 PA ? PB ? t1 ? t 2 ?

解得

Sin? ? ?

2 2

? 直线的倾斜解为 45?或 135?.
?x ? 2cos? (?为参数), 若A, B是C上关于坐标轴不对称的 ? y ? sin ?

例 4 已知曲线 C: ?

任意两点, 求 AB 的垂直平分线 l 在 x 轴上截距的范围. 解 : 设点 A(2 cos? ,sin ? ), 点B(2 cos ? ,sin ? ) 则 AB 的斜率为 k ?

sin ? ? sin ? . 2 cos ? ? 2 cos?

?直线l的斜率为k ? ? ?

2(cos? ? cos? ) sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? 2(cos? ? cos? ) 直线l的方程为y ? ?? [ x ? (cos? ? cos ? )] 2 sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos? ? cos ? 4(cos? ? cos ? )

?l与x轴的截距x0 ? ?

3 (cos? ? cos ? ) 4 ? ? 1 ? cos? ? 1, ? 1 ? cos ? ? 1, cos? ? cos ? 3 3 ?? ? x0 ? . 2 2
3 3 ? x0 ? 2 2

即直线 l 在 x 轴上截距的范围是 ?

例 5 (1) 求圆 ? ? 5 3 cos? ? 5 sin ? 的斗径及圆心的坐标。 (2) 直线 ? ?

1 与圆 ? ? 2C cos ? 相切的充要条件是什么? a sin ? ? b cos ?

解: (1)方程变形为 ? ? 10 cos(? ?

?

6

)

? 11? ? ?圆的半径为 5 ,圆心坐标为 ? 5, ? ? 6 ?
另法:方程变为 ? 2 ? 5 3? cos? ? 5? sin?

x 2 ? y 2 ? 5 3x ? 5 y ? 0
2 ? 5 3? 5? ? 即? x ? ? ? ? y ? ? ? 25 ? 2 ? 2? ? 2

? 5 3 ?5? ? 11? ? , ? 即 ? 5, ?圆的半径为5 ,圆心坐标为 ? ? ? 2 2? ? 6 ?
(注前者是在直角坐标系下的图心坐标) (2)将方程化为直角坐标系中的普通方程 直线 bx ? ay ? 1 圆

x 2 ? y 2 ? 2cx ? 0

圆心?c,0?半径为 c
bc ? 1 a 2 ? b2 ?c,

? 直线与圆相切的充要条件是

即 a c ? abc ? 1 ? 0
2 2

【综合练习】: 1、化下列参数方程为普通方程 (1) ?

?x ? 2 ? cos? ? y ? ? sin ?

(?是参数,

?
2

? 0 ? ?)

1? t ? x ? ? ? 1? t (2) ? ? y ? 3t ? 1 ? 1? t ?
(3) ?

(t是参数 )

? x ? a(tg? ? sec ? ) (?是参数) ? y ? a sec ?

2、已知方程 16x 2 ? 4 y 2 ? 32 x cos? ? 16 y sin 2 ? ? 4 sin 2 2? ? 0(0为参数) 求曲线系中各曲线中心的轨迹方程,并画出草图。 3、已知圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0, 过原点作圆的两条切线,切点为 T1,T2, 过原
2 2

点引一条直线交圆于 P1,P2,且与直线 T1T2 交于点 P, 求证

1 1 2 ? ? . op1 op2 op

4、 (1)求直角坐标系中点(-3,4)在相应极坐标系中的坐标; (2)极坐标方程 ? ? 4 sin(? ? ? ) 表示的曲线是什么? 5、求曲线 ? ? 0,? ?

2? ? ? ? 0?和? ? 3 所围成的图形面积。 3

【答案】 : 1、 (1) ? x ? 2? ? y 2 ? 1?2 ? x ? 3,?1 ? y ? 0?
2

(2) x ? y ? 2 ? 0? x ? ?1? (3)

x 2 ? 2 xy ? 2 ? 0

2 2 、 曲 线 中 心 坐 标 为 cos? ,2 sin ? , ? 化 为 直 角 坐 标 系 下 的 方 程 为

?

?

x2 ? ?

1 ? y ? 2?? ?1 ? x ? 1? ,草图略。 2

3、提示:设 op 的参数方程为 ?

? x ? t cos? ? ?? ? t是参数,0 ? ? ? ? 2? ? y ? t sin ? ?
? ? 4? 3?

将它代入圆及直线 T1T2 的方程,利用参数 t 的几何意义证明。 4、 (1)极坐标是 ? ?5,?arctg ? 或写成? 5, ? ? arctg ? ;

? ?

4? 3?

(2)表示的是圆心在 ? 2,

? ?

3? ? ? , 半径为 2 的圆。 2?

5、曲线分别是 x 轴正半轴,射线 y ? ? 3 x(y ? 0)及圆 x 2 ? y 2 ? 9. 所围成的图形是 一个扇形,其面积等于 3? 。



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