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2015届高考数学一轮复习讲义:第二章

2015届高考数学一轮复习讲义:第二章


一轮复习讲义

函数的奇偶性与周期性

沿河民族中学





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要点梳理
1.奇、偶函数的概念

忆一忆知识要点

一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A, 都有 f(-x)=f(x) ,那么称函数 y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数 y =f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内,
①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶函数;

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要点梳理

忆一忆知识要点

②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使 得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称 函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 4.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x) 关于直线 x=a 对称.

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[难点正本

疑点清源]

1.函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于函 数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)(或 f(- x)=-f(x)),那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函数).其 中包含两个必备条件: ①定义域关于原点对称, 这是函数具有奇偶性的必要不 充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决 问题; ②判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性 的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)+ f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

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2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶, 内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)=0,定义域是关 于原点对称的任意一个数集).

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函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 9-x + x -9;(2)f(x)=(x+1) 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3
2 2

1-x ; 1+x

确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点 对称. 若对称, 再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x)± f(x) =0 是否成立.

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2 ? ?9-x ≥0 (1)由? 2 ? ?x -9≥0

,得 x=± 3.

∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
?1-x ? ≥0 (2)由?1+x ? ?1+x≠0 ,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

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2 ? ?4-x ≥0 (3)由? ? ?|x+3|-3≠0

,得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x . (x+3)-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.

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变式训练 1
判断下列函数的奇偶性. 1-x 2+x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=(x-1) ; 1+x 2-x 2 ? ?x +x (x>0), lg(1-x2) (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= 2 . ? |x -2|-2 ?x -x (x<0);
1-x 解 (1)由 >0?-1<x<1,定义域关于原点对称. 1+x ?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 又 f(-x)=lg =lg? =-lg =-f(x), ? 1 + x 1-x 1+x ? ? 故原函数是奇函数.

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2+x (2)由 ≥0 且 2-x≠0?-2≤x<2, 2-x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. (3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. 2 ? ?1-x >0, (4)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对 ? ?|x -2|-2≠0 lg(1-x2) lg(1-x2) 称,∴f(x)= =- . x2 -(x2-2)-2 lg[1-(-x)2] lg(1-x2) ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 2 x (-x)
∴f(x)为偶函数.

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函数的单调性与奇偶性
例 2 定义在(-1,1)上的函数 f(x). (ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f
? x+y ? ? ? ?1+xy?; ? ?

(ⅱ)当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由;

利用函数奇偶性、单调性的定义判断.根据条件,恰当赋值, 变换出符合定义的条件.

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(1)令 x=y=0?f(0)=0,令 y=-x,

则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇 函数. (2)设 0<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) ? x1-x2 ? ? =f? ?1-x x ?, 1 2? ? ? x1-x2 ? x1-x2 ? ? 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? <0?f? >0, ? 1-x1x2 ?1-x1x2?
即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减.

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变式训练 2
函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数, 且当 x∈(0, +∞)时是增函数, 1 若 f(1)=0,求不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2
解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2 1 ? ?x(x-2)>0 1 则? ,即 0<x(x- )<1, 2 ?x(x-1)<1 2 ? 1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 主页

1 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2 1 ? ?x(x-2)<0 则? ?x(x-1)<-1 2 ? 1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2
∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4

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函数的奇偶性与周期性
例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011).

(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式, 进而 求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和.

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(1)证明

∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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(3)解

∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0.

探究提高
判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数 是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性 质综合命题,是高考考查的重点问题.

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1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- ,当 f(x)

变式训练 3

2.5 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________.
解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f(x+2) - f(x)
故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5.

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答题规范
等价转换要规

(16 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1, x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞) 上是增函数,求 x 的取值范围.

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学生解答展示

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审题视角
(1)从 f(1)联想自变量的值为 1,进而想到赋值 x1=x2=1. (2)判断 f(x)的奇偶性,就是研究 f(x)、f(-x)的关系.从 而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+f(x).(3)就 是要出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解.

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规范解答 解 (1)令 x1=x2=1, [2 分] 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. [10 分]

[8 分]

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由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 [16 分]

(*) [12 分]

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批阅笔记
数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低,取决 于每步等价转换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确 的、规范的,那么这个解题过程就一定是规范的.等价转化要 做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形 为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式 (*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64) ?|(3x+1)(2x-6)|≤64, 且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x -6)≠0,则这个转化就不等价了.

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方法与技巧
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或 偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便 于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或 应用定义的等价形式: f(- x)= ± f(x)? f(- x)± f(x)= 0? f(-x) =± 1(f(x)≠0). f(x) 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对 称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画 法,也可以利用它去判断函数的奇偶性

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失误与防范
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于 原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一 个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均 有 f(-x)=-f(x), 而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0). 对 于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否 定函数在整个定义域上的奇偶性.

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)= f(x) ,那么函数f(x)就叫 个x,都 有_______________ 做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=-f(x) 个x,都 有_______________ ,那么函数f(x)就叫 做奇函数.

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要点梳理

忆一忆知识要点

2. 函数奇偶性的判定

?定义法 ①考查函数定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立; ③作出结论.
f ( x) f ( x ) ? f (? x ) ? 0, ? ?1. f (? x )

?图象法:画出函数图象

?利用性质
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3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点 ?一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. ?一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内 ?奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ?偶×偶=偶;奇×奇=偶;偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.
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要点梳理

忆一忆知识要点

4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表 示成一个奇函数与一个偶函数的和. ( 1 )设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 , 判断 下列函数的奇偶性:
f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x ) ② G( x ) ? ① F ( x) ? 2 2 f ( x) ? f (? x ) f ( x) ? f (? x) (2) f ( x ) ? ? 2 2

0 5. 对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__. 6. 若f(x)为偶函数,则 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |).
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2 ? 2, 3

此时应有

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【 例 3 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m (m >0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

-8 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

w.w .w.k .s. 5 .u .c.o.m

y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

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例1.判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x ) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

解:函数的定义域为{-1, 1}, ? f (?1) ? f (1) ? ? f (1) ? 0.

∴ f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|
解: f ( ? x)

? ? f ( x). 所以函数 f(x) 为奇函数.
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?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1| ?| x ? 1| ? | x ? 1|

y
2 -1

o
-2

1

x

2 ? ? ?1 ≤ x ≤ 1, ? 1 ? x ≥ 0, 解:(1)由 ? ?? ? ?1 ≤ x ≤ 1, 且x ? 0. ? ? x ? 2 ? 2 ? 0. ? x ? 0, 且x ? ?4.

lg(1 ? x 2 ) (3) f ( x ) ? | x ? 2 | ?2

∴定义域为[-1,0)∪(0,1].
2 2 1 ? x 1 ? x (2) ? f ( x ) ? ? , ( x ? 2) ? 2 x
2 1 ? ( ? x )2 1 ? x f (? x ) ? ?? , ?x x



即f(-x)= - f(x). 所以函数 f(x) 为奇函数. 点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是 否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.
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例2.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0 的 a 的取值范围. 2 2 f (1 ? a ) ≤ ? f (1 ? a ). 解:由f(1-a)+f(1-a )≤0, 得 ∵ f (x)是奇函数, ? f (1 ? a 2 ) ≤ f (a ? 1). ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,

? ?1 ≤ 1 ? a 2 ≤ 1, ? ? ? ?1 ≤ a ? 1 ≤ 1, ? 1 ? a 2 ≤ a ? 1. ?
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? 0 ≤ a 2 ≤ 2, ? ?? 0 ≤ a ≤ 2, ?( a ? 2)( a ? 1) ≥ 0, ?

? ? 2 ≤ a ≤ 2, ? ? ? 0 ≤ a ≤ 2, ? a ≤ ?2, 或a ≥ 1. ?

? 1 ≤ x ≤ 2.
? -2 ? 2 ? ? ? ? 2

0

1

?

2

故 a 的取值范围为 [1, 2].
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例5 已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2- 2x,求当 x<0时,f(x)的解析式,并画出此函数 y f(x)的图象.
解: ∵当x≥0时,f(x)=x2-2x, ∴当x<0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 即 -f(x)= (x2+2x), ∴ f(x)=-x2-2x.
2 ? x ? 2 x, x ≥ 0, ? 故f ( x ) ? ? 2 ? ? ? x ? 2 x , x ? 0.

o

x

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已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,当x>0 时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式.
y

? x ? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ) ? ?0, x ? 0, 2 ?? ? x ? x ? 1, x ? 0.
2

o

x

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已 知 f (x) 是 偶 函 数 ,g(x) 是 奇 函 数 , f ( x) x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式 g( x ) ? 0

( ?1, 0) (1, 3) 的解集是_______________.
y
-3 -1

o

1

3

x

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f(x)是R上偶函数, 且在[0,+∞)上是增
函数, f(0.5)=0,则不等式 f (log 4 x ) ? 0 的解集
1 ? x ? 2. 为__________. 2

f (| log4 x |) ? f ( 1 ), 2 1 1 ? ? log4 x ? , 2 2

1 | log4 x |? , 2
?1 2

log4 4

? log4 x ? log4 4 ,
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1 2

【 1】

①③
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? f ( x ),

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