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高二数学利用向量解决空间角问题

高二数学利用向量解决空间角问题


3.2 利用向量解决 空间角问题 空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法,解题 时,可用定量的计算代替定性的分析,从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题,也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。 题型一:线线角 ? ?? 异面直线所成角的范围: ? ? ? 0, ? ? 2? C D 思考: ? A ? B D1 ??? ? ??? ? ? CD, AB ? 与?的关系? ???? ??? ? ? DC, AB ? 与?的关系? 结论: cos ? ? ??? ? ??? ? | cos ? CD, AB ?| 题型一:线线角 例一:Rt? ABC中,?BCA ? 900 , 现将? ABC沿着 平面ABC的法向量平移到?A 1B 1C 1位置,已知 求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1 F1 取A1B1、AC 的中点D1、F1, BC ? CA ? CC1, 1 1 B1 D1 A1 A C B 题型一:线线角 解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz z 如图所示,设 CC1 ? 1 则: C A(1, 0, 0), B (0,1, 0), 1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2 ???? ? F1 1 B1 A1 A C D1 B y 1 ???? ???? ? ? ?1 AF1 ?BD1 cos ? AF1, BD1 ? ? ???? ???? ? ? 4 ? 30 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2 1 1 BD1 ? ( , ? ,1) 2 2 ???? ???? ? x 30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10 题型一:线线角 练习: 在长方体 ABCD ? A AB= 5,AD ? 8, 1B 1C1D 1 中, AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上, A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM . A1 (2)求AD与平面ANM 所成的角. B1 M z N D1 C1 D ???? ? ???? ? AM ? (5, 2, 4), A1D ? (0,8, ?4), ???? ? ???? ? AM ?A1D =0 ? A1D ? AM . A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4) A B y x C 题型二:线面角 题型二:线面角 直线与平面所成角的范围: ? ? [0, ] 2 A ? 思考: n ? ? B ? O ? ??? ? ? n, BA ? 与?的关系? 结论:sin ? ?| ? ??? ? cos ? n, AB ? | 题型二:线面角 例二: 在长方体 ABCD ? A AB= 5,AD ? 8, 1B 1C1D 1 中, AA1 ? 4, M为BC1上的一点,且B1M ? 2,点N在线段A1D上, A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角. A1 z N D1 ???? ? ???? AD ? (0,8,0), A1D ? (0,8, ?4), A(0,0,0), A1 (0,0, 4),


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