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2.3.2平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)

2.3.2平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)


2.3.2 平面与平面垂直的判定定理

复 习 回 顾

1.在平面几何中"角"是怎样定义的? 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

2.在立体几何中,“异面直线所成的角”是怎样定义的? 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 (或直角)叫做异面 直线所成的角. 范围:( 0o, 90o ]. 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的? 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围:[ 0o, 90o ].

空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个平面相交,我们应从理论 上有进一步的认识.

?

? ?

? ?

? ?

两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的. 在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中,我们 将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角来刻画.接下来, 我们同样来研究平面与平面的角度问题.

我们常说“把门开大些”,是指哪个角开大一些, 我们应该怎么刻画二面角的大小?

一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做 半平面.

(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.

半 平 面

l

半 平 面

面? 面


?

l

(3) 二面角的画法和记法: 面1-棱-面2 ①平卧式: 二面角?- l- ?

点1-棱-点2

?

?

l
②直立式: A
二面角?-AB-?

? ?
C

l
二面角C-AB- D B

? ?
A

D

B

二面角画法
3、举出二面角的实例,并画出二面角。

直立式

平卧式

由上可知:各二面角的“张角”不同,那么如 何度量二面角的大小呢?

(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

如图, ? l , OB ? l ,则∠AOB成为二面角 ? ? l ? ? OA 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
? A' A
二面角的平面角必须满足: ①角的顶点在棱上

l
B' ?

O' B

O

②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱

质疑二:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上 任取的,那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置 有关系吗?

O? l
O

.
B’

? 二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无 ?AOB== ?A?O?B?

?

A’

A

关,只与二面角的张角大小有关。 等角定理:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行,并且方向相 结论:二面角是用它的平面角来度量的,一 同,那么这两个角相等。) 个二面角的平面角多大,就说这个二面角是 多少度的二面角。

B

二面角的取值范围一般规定为: [ 0o, 180o ]

10

(4) 二面角的平面角
? A A

l
O B

注1: ①当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°; ②平面角是直角的二面角叫做直二面角,此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.

二面角的范围为:[0。,180。]

O

?

B

?

(5) 二面角的平面角的作法:
①定义法

A

l
?
A
O B

? B

②垂线法

O

l

?

③作棱的垂面法

AB ? ? , A ? ? , B ?? 过A作AO ? l 连接OB, 则OB ? l

o

?
A
l

?
B

一个平面垂直于二面角 ?-l-? 的棱 l,

l

且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB,O 为垂足,则∠AOB 为二面角 ?-l-? 的平面角.
补充

练习: 指出下列各图中的二面角的平面角:
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A B B’ O C C’ A

B
E O C

D

二面角A--BC--D

(定义法)

(垂线法)

14

例1 在正方体AC1中,E为BC中点, 1、求二面角A—B1C—B的正弦值; 2、求二面角E—B1D1—C1的正切值。
D C
B A

D

C
E B

A

F
D1 A1

C1
B1 A1

D1

(1)

(2)

O H

C1
G B1

例2: 正方体ABCD—A1B1C1D1中, 45° 二面角B1-AA1-C1的大小为_____, 二面角B-AA1-D的大小为______, 90° 二面角C1-BD-C的正切值是_______. 2

练习

练1: 已知二面角?- l - ? ,A为面?内一点,A到? 的距离 为2 3,到l的距离为 4. 求二面角 ?- l - ? 的大小. 解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD,
则AD⊥ l . ??ADO就是二面角?- l - ?的平面角. A.

且AO ? 2 3, AD ? 4
在Rt△ADO中, AO ? 2 3 ∵sin∠ADO= AD 4 ∴ ∠ADO=60°. 即二面角 ?- l- ? 的大小为60 °.

?

D

O

l

?

练 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB,它与棱 l 所成 的角为45°,与平面β所成的角为30°,则这个二面角的大小是 45°或135° ________________.

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2: 如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB的中点,求二 面角A1-MC-A的正切值. 思路分析:①找基面 平面ABCD ②找基面的垂线 AA1 ③作平面角 作AH⊥CM交CM的延长 线于H,连结A1H
D1 A1

C1

B1

D M B

C

解:作AH⊥CM交CM的延长线于H,连 A 结A1H.∵A1A⊥平面AC,AH是A1H 在平面AC内的射影,∴A1H⊥CM, N ∴∠A1HA为二面角A1-CM-A的平面角.

H

设正方体的棱长为1.∵M是AB的中点,且AM∥CD,则在 直角△AMN中,AM = 0.5,AN= 1,MN = 5 . 2 AM ? AN 1 A1 A AH ? ? tan ?A1 HA ? ? 5 MN AH 5
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3:如图,山坡倾斜度是60度,山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少?
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线 段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G, 那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成 的二面角的平面角,所以∠DGH= 60 .
0

D
600
300

又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 30 .
? DH ? DG ? sin 60 0
? CD ? sin 30 0 ? sin 60 0 ? 100 sin 30 0 ? sin 60 0 ? 25 3 ? 43.3(m)

0

H B

A C

G

答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.

练习

一、计算二面角的关键是作出二面角的平面 角,其作法主要有: (1)利用二面角平面角的定义,即在棱上任取 一点,然后分别在两个面内作棱的垂线, 则两垂线所成的角为二面角的平面角. (2)利用棱的垂面,即棱的垂面与两个半平面 的交线所成的角是二面角的平面角. 二、求二面角的思路是 “一作、二证、三算”.

二、平面与平面垂直的判定
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

面面垂直的判定定理
文字语言:如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线,那么这两个平面 互相垂直 a 符号语言: a ? ? ? ? B 图形语言:

??? ? ? ? a ? ?? A

该定理作用:“线面垂直?面面垂直”

应用该定理,关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.

已知:a ? ?,a ? ? . 求证:? ? ?
证明: 设α∩β=CD,AB在α上,则B∈CD. ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD. 在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角, ∵AB⊥β,BE β, ∪ ∪
C β α a B D

A

E

∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角,∴α⊥β.

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例1: 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平 面于A,C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC⊥平面PBC
证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC
PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? BC ? AC PA ? AC ? A
C A
B

P

? BC ? 平面PAC
BC ? 平面PBC
O

? 平面PAC⊥平面PBC
练习

例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。

求证:平面PAC?平面PBD。
P

证明: 正方形ABCD中,A ? BD C

PA ? 平面ABCD? ? ? PA ? BD BD ? 平面ABCD ?
A

D

O
B C

? ? ? ? ? ? ?

? BD ? 平面PAC ? ? 平面PAC? 平面PBD。 ? BD ? 平面PBD ?

例3: ABCD是正方形,O是正方形的
中心,PO⊥平面ABCD , E是PC的中点,

求证:(1) PC⊥平面BDE;
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C

如图,已知AB ? 平面BCD, BC ? CD, 你能发现哪些平面互相 垂直,为什么?
A

B
C

D

2.如图所示:在Rt△ABC中,∠ABC=900 ,P为△ABC所在平 面外一点,PA⊥平面ABC,你能发现哪些平面互相垂直, 为什么? P
PA ? 面ABC ? ? ? 面PAC ? 面ABC PA ? 面PAC ?

PA ? 面ABC ? ? ? 面PAB ? 面ABC PA ? 面PAB ?

A B

C

P

CB ? 面PAB ? ? ? 面PBC ? 面PAB CB ? 面PBC ?

A B

C

作业1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证:平面ACC1 A ? 平面A BD 1 1
D1 A1 D A
2: 练

C1 B1 C B B

A D

E

C

如图,A是?BCD所在平面外一点,AB ? AD,?ABC ? ?ADC

? 90?,E是BD的中点.求证:平面AEC ? 平面ABD

1.如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D
是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面 体,使G1,G2,G3三点重合,重合后记为G- SEF,则四面体 S—EFG中必有( ). G3 F D G1 E G2 (A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面 (C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面 S

S

G3 F

D
G1 E G2

SG⊥△EFG所在平面.故选A.

变式1 在三棱锥P-ABC中,PA ? PB ? PC,?ABC=90?,求证 : 面PAC ? 面ABC.

法二:取AC的中点E,连接PE,往证PE ? 面ABC. ? PA ? PB, 点E为AC的中点, PE ? AC. ?
接下来往证PE ? BC,一般转化为另外一组线面垂直的问题. 如何较为快速地找出思路呢? (将已知条件AB ? BC和要证的结论PE ? BC当作条件, A
看看能推出哪个线面垂直?)
E

P

C
F

(BC垂直与两条直线PE,AB,但是PE和AB异面,得不出线面垂直结论.

? 通过找PE和AB的平行线,将二者平移至相交即可得到一组线面垂直关系.)

B

?取BC的中点F,连接EF,PF,则EF//AB, ?EF ? BC
(此时发现BC ? 面PEF这个结论是正确,接下来只要证明这个结论成立即可.)

又? PB=PC,F为BC的中点, PF ? BC ? 而? PF ? EF=F, BC ? 面PEF.? BC ? PE ? 故由PE ? AC,PE ? BC,AC ? BC=C, PE ? 面ABC. ? ? PE ? 面PAC, 面PAC ? 面ABC. ?
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练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=BB1=1, E为 C1D1的中点,求二面角 E-BD-C的大小.

D1 A1

E

C1
B1

D
M A

F B

C

back

3:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB = 2,BC = BB1 =1 , E为D1C1的中点,求二面角E-BD-C的大小. 思路分析:①找基面 平面BCD ②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
D1 A1 E C1

③作平面角 作FG⊥BD于G,连结EG

D
G

B1 F

C

解:过E作EF⊥CD于F, M A ∵ ABCD-A1B1C1D1是长方体, B ∴EF⊥平面BCD,且F为CD中点, 过F作FG⊥BD于G,连结EG,则EG⊥BD.(三垂线定理) 于是,∠EGF为二面角E-BD-C的平面角. 1 BC ? CD 1? 2 1 GF ? ? ? ? ∵BC = 1,CD = 2, ∴ 2 BD 2 5 5 EF tan ?EGF ? ? 5 而EF = 1,在△EFG中 GF
练习

4.已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值. 思路分析: ①找基面 平面ABC
②找基面的垂线 取AB的中点M,连结PM. 由己知AB2 = AC2 + BC2,∴∠ACB是直角. 连结CM,∴AM = BM = CM, ∵PA = PB = PC,∴△PAM≌△PCM. A ∵PM⊥AM,∴PM⊥CM, ∴PM⊥平面ABC
P

N M B

C

③作平面角 取AC的中点N,连结MN、PN.
∵MN∥BC,AC⊥BC,∴MN⊥AC,由三垂线定理知PN⊥AC. ∴∠MNP就是二面角P—AC—B的平面角

练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小?
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