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江西省吉安一中2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷(解析版).doc

江西省吉安一中2016-2017学年高二上学期期中考试数学文试卷(解析版).doc


2016-2017 学年江西省 吉安一中高二(上)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (2016?厦门模拟) 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知 某“堑堵”的三视图如图所示, 俯视图中虚线平分矩形的面积, 则该“堑堵”的侧面积为 ( )

A.2

B.4+2

C.4+4

D.6+4

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱, 由三视图求出几何元素的长度, 由面积公式求出几何体的侧面积. 【解答】解:根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱 ABC﹣A′B′C′, 底面是一个直角三角形,两条直角边分别是 且侧棱与底面垂直,侧棱长是 2, ∴几何体的侧面积 S= 故选:C. 【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查 空间想象能力. =4+4 , 、斜边是 2,

2. (2012?浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】简易逻辑. 【分析】 运用两直线平行的充要条件得出 l1 与 l2 平行时 a 的值, 而后运用充分必要条件的知 识来解决即可. 【解答】解:∵当 a=1 时,直线 l1:x+2y﹣1=0 与直线 l2:x+2y+4=0, 两条直线的斜率都是﹣ ,截距不相等,得到两条直线平行, 故前者是后者的充分条件, ∵当两条直线平行时,得到 解得 a=﹣2,a=1, ∴后者不能推出前者, ∴前者是后者的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】 本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题, 考查两条直线平行时要满足的条件, 本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式, 不要漏掉截距不等的条件, 本题是一个基 础题. ,

3. (2015?赫章县校级模拟)在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 AE:EB=AF:FD=1:4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则( A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 【考点】棱锥的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知得 EF∥BD.由此能证明 EF∥平面 BCD.由已知条件推导出 HG∥BD.HG ∥EF.EF≠HG.从而得到四边形 EFGH 为梯形. 【解答】解:如图所示,在平面 ABD 内,∵AE:EB=AF:FD=1:4, ∴EF∥BD. 又 BD? 平面 BCD,EF?平面 BCD, )

∴EF∥平面 BCD. 又在平面 BCD 内, ∵H,G 分别是 BC,CD 的中点, ∴HG∥BD.∴HG∥EF. 又 ,∴EF≠HG.

在四边形 EFGH 中,EF∥HG 且 EF≠HG, ∴四边形 EFGH 为梯形. 故选:B.

【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时发注意空间思维能力的培养.

4. (2013?济南二模)已知圆 x2+y2﹣2x+my﹣4=0 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对称,则 圆的半径为( A.9 ) B.3 C .2 D.2

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】求出圆的圆心,代入直线方程即可求出 m 的值,然后求出圆的半径. 【解答】解:因为圆 x2+y2﹣2x+my﹣4=0 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对称, 所以直线经过圆的圆心,
2 2 圆 x +y ﹣2x+my﹣4=0 的圆心坐标(1,﹣ ) ,

所以 2×1﹣ =0,m=4. 所以圆的半径为: 故选 B =3

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,求出圆的圆心坐标代入直线方程,是解题的关键.

5. (2016 秋?青原区校级期中)命题“? x∈R,x2+2x﹣1<0”的否定是( A.? x∈R,x2+2x﹣1≥0 B.? x∈R,x2+2x﹣1<0 C.? x∈R,x2+2x﹣1≥0 D.? x∈R,x2+2x﹣1>0 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;简易逻辑. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.



【解答】解:由全称命题的否定为特称命题可知:? x∈R,x2+2x﹣1<0 的否定为? x∈R, x2+2x﹣1≥0, 故选:C. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.

6. (2014?湖北模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( A.x=l B.x=2 C.x=﹣1 D.x=﹣2 )

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由于直线过其焦点且斜率为﹣1,可得方程为 y=﹣ .与抛物线的方程联立,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系和中 点坐标公式可得 P,即可得到抛物线的准线方程. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由于直线过其焦点且斜率为﹣1,可得方程为 y=﹣ .

联立



化为 ∴x1+x2=3p=2×3,



解得 p=2. ∴抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故选:C. 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式,属于基 础题.

7. (2014?陕西)已知底面边长为 1,侧棱长为 该球的体积为( A. ) B.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则

C.2π

D.

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半 径 R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积. 【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 ∴正四棱柱体对角线的长为 =2 ,

又∵正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=1
3 根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π.

故选:D. 【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的 性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题.

8. (2016 秋?青原区校级期中)若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面, 则下列命题中正确的是( )

A.若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线 B.若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线 C.已知 α、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β D.若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行

【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】对应思想;分析法;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】A,平行于同一平面的两条直线可能相交,也可能平行; B,垂直于同一平面的两条直线一定平行; C,α、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β 或 n? β; D,m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行或相交, 【解答】解:对于 A,平行于同一平面的两条直线可能相交,也可能平行,故错; 对于 B,垂直于同一平面的两条直线一定平行,故正确; 对于 C,α、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β 或 n? β,故错; 对于 D,m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行或相交,故错, 故选:B. 【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系,属于中档题.

9. (2014?东湖区校级模拟)a,b 是方程 mx2+nx﹣2=0 的两个不等的实数根,且点 M(m, n)在圆 C:x2+y2=1 上,那么过点 A(a,a2)和 B(b,b2)的直线与圆 C 的位置关系( A.相离 C.相交 B.相切 D.随 m,n 的变化而变化 )

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】a,b 是方程 mx2+nx﹣2=0 的两个不等的实数根,利用韦达定理表示出两根之和, 再由 A 和 B 的坐标,利用直线斜率的公式求出直线 AB 的斜率,利用平方差公式化简约分 后得到结果,将两根之和代入表示出斜率,由 A 和斜率写出直线 AB 的方程,利用点到直 线的距离公式表示出圆心到直线 AB 的距离 d,整理后得到 d=r,可得出直线 AB 与圆相离. 【解答】解:∵a,b 是方程 mx2+nx﹣2=0 的两个不等的实数根,
2 ∴a+b=﹣ ,ma +na﹣2=0,

∵A(a,a2)和 B(b,b2) , ∴直线 AB 的斜率为 =b+a=﹣ ,

2 2 ∴直线 AB 的方程为 y﹣a =﹣ (x﹣a) ,即 nx+my﹣ma ﹣na=0,

由圆 x2+y2=1,得到圆心(0,0) ,半径 r=1, ∵圆心到直线 AB 的距离 d= ∴直线 AB 与圆的位置关系是相离. 故选:A. 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,韦达定理,涉及的知识有:直线的两点式方程, 点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小来判断,当 d>r 时,直线与圆 相离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交(d 为圆心到直线的距离,r 为 圆的半径) . =2>r,

10. (2016?厦门模拟)已知点 M(1,0) ,A,B 是椭圆

+y2=1 上的动点,且

=0,



?

的取值是(

) B.[1,9] C.[ ,9] D.[ ,3]

A.[ ,1]

【考点】圆锥曲线与平面向量;平面向量数量积的运算;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;规律型;转化思想;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用 =0,可得 ? = ?( ﹣ )= ,设 A(2cosα,sinα) ,可得

=(2cosα﹣1)2+sin2α,即可求解数量积的取值范围. 【解答】解:∵ 设 A(2cosα,sinα) , 则 =(2cosα﹣1)2+sin2α=3cos2α﹣4cosα+2=3(cosα﹣ )2+ , 的最小值为 ;cosα=﹣1 时, 的最大值为 9, =0,可得 ? = ?( ﹣ )= ,

∴cosα= 时, 故选:C.

【点评】本题考查椭圆方程,考查向量的数量积运算,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.

11. (2016 秋?榕城区校级期中)焦点在 x 轴上的椭圆方程为

+

=1(a>b>0) ,短轴的

一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 该三角形内切圆的半径为 , 则椭圆的离心率为 ( A. ) B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的性质 AB=2c,AC=AB=a,OC=b,根据三角形面积相等求得 a 和 c 的关 系,由 e= ,即可求得椭圆的离心率. 【解答】解:由椭圆的性质可知: AB=2c,AC=AB=a,OC=b, SABC= SABC= ∴ AB?OC= ?2c?b=bc, (a+a+2c)?r= ?(2a+2c)× = =bc,a=2c, ,

由 e= = , 故答案选:C.

【点评】 本题主要考察椭圆的基本性质, 考察三角形的面积公式, 离心率公式, 属于基础题.

12. (2016?广东模拟)如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 在线段 BB1 和线段 A1B1 上移动,∠EAB=θ,θ∈(0, ) ,过直线 AE,AD 的平面 ADFE 将正方体分成两部 ) 的大致图象是 ( )

θ∈ 分, 记棱 BC 所在部分的体积为 V (θ) , 则函数 V=V (θ) , (0,

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件求出 V=V(θ)的表达式,即可得到结论. 【解答】解:当 时,BE=tanθ,则三棱柱的体积为 ,

当 θ∈(



)时,AE=tan(

﹣θ)=cotθ, ﹣θ) , 对称,

则棱 BC 所在部分的体积为 V(θ)=1﹣ tan( 则函数 V=V(θ) ,θ∈(0, 故选:C. )的图象关于点

【点评】 本题主要考查函数图象的识别和判断, 利用条件求出体积的表达式是解决本题的关 键.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 13. (2016 秋?青原区校级期中)抛物线 x=4y 的准线方程是 x=﹣



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】抛物线方程化为标准方程形式求出 p,再根据开口方向,写出其准线方程.
2 2 【解答】解:抛物线 x=4y ,化为 y =

x,

∴2p= , ∴p= ,开口向右, ∴准线方程是 x=﹣ 故答案为 x=﹣ . 的值, .

【点评】 根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程, 一定要先化为标准形式, 求出 再确定开口方向,否则,极易出现错误.

14. (2014?开封一模)椭圆 的大小为 120° . 【考点】椭圆的简单性质.

的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|,再利用余弦定理,即可求得结论. 【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=4, ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2. 在△F1PF2 中,cos∠F1PF2= ∴∠F1PF2=120° . 故答案为:120° 【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用,考查学生 的计算能力,属于基础题. =﹣ ,

15. (2010?韶关模拟)如果点 P 在平面区域

2 2 上,点 Q 在曲线 x +(y+2) =1

上,那么|PQ|的最小值为 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;数形结合.



【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=|PQ|表示圆上的点到可行 域的距离,只需求出圆心到可行域的距离的最小值即可. 【解答】解:根据约束条件画出可行域 z=|PQ|表示圆上的点到可行域的距离, 当在点 A 处时, 求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离 ∴当在点 A 处最小,|PQ|最小值为 故答案为 . , ,

【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

16. (2013 秋?聊城期末)如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一 点,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, 下列四个命题中: ①BC⊥面 PAC; ③EF⊥PB; ②AF⊥面 PBC; ④AE⊥面 PBC. . (请写出所有正确命题的序号)

其中正确命题的是 ①②③

【考点】直线与平面垂直的判定. 【分析】根据已知中,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,AE ⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判 定,即可得到答案. 【解答】解:∵PA⊥⊙O 所在的平面, ∴PA⊥BC,

又∵AB 是⊙O 的直径 ∴AC⊥BC,由线面垂直的判定定理,可得 BC⊥面 PAC,故①正确; 又由 AF? 平面 PAC ∴AF⊥BC,结合 AF⊥PC 于 F, 由线面垂直的判定定理,可得 AF⊥面 PBC,故②正确; 又∵AE⊥PB 于 E,结合②的结论 我们易得 EF⊥平面 PAB 由 PB? 平面 PAB,可得 PB⊥EF,故③正确; 由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误; 故答案为:①②③ 【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,其中熟练掌握线面垂直的判定定理, 是解答本题的关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2016 春?随州期末)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R) . (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【考点】直线的截距式方程;确定直线位置的几何要素;过两条直线交点的直线系方程. 【专题】待定系数法. 【分析】 (1)先求出直线 l 在两坐标轴上的截距,再利用 l 在两坐标轴上的截距相等 建立 方程,解方程求出 a 的值,从而得到所求的直线 l 方程. (2)把直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2,由题意得 求得 a 的范围. 【解答】解: (1)令 x=0,得 y=a﹣2. 令 y=0,得 ∵l 在两坐标轴上的截距相等,∴ ∴所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2.∵l 不过第二象限, (a≠﹣1) . ,解不等式组

,解之,得 a=2 或 a=0.



,∴a≤﹣1.∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣1].

【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,用待定系数法求直线的方程,以及确定直 线位置的几何要素.

18. (12 分) (2016 秋?青原区校级期中)已知直线

经过椭圆

的一个顶点 E 和一个焦点 F. (1)求椭圆的标准方程; (2)求过 与椭圆相切的直线方程.

【考点】直线与椭圆的位置关系. 【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由椭圆 坐标轴的交点坐标,则 焦点在 x 轴上,求得直线
2 2 2 ,c=2,a =b +c =10,即可求得椭圆的标准方程;



(2)方法一:由(1)可知椭圆



在椭圆上,求导



整理得:y′=﹣ 椭圆切线方程;

,由切线的几何意义可知:k=y′=﹣

,由直线的点斜式方程即可求得

方法二:由椭圆上点(x0,y0)的切线方程为: 求得椭圆切线方程. 【解答】解: (1)依题意可知:椭圆

,将

代入即可

焦点在 x 轴上,

直线 ∴ ∴

与坐标轴的交点为: (0, ,F(2,0) , ,c=2,

) , (2,0) ,

a2=b2+c2=10,

∴椭圆的标准方程为



(2)方法一:由(1)可知椭圆



在椭圆上,

求导

,整理得:y′=﹣

, 切线方程的斜率 k=y′(x= ,y= )=﹣

由导数的几何意义可知:椭圆在 , 则直线的切线方程为:y﹣ ∴过 =﹣ (x﹣

) ,整理得: .

, .

与椭圆相切的直线方程为

方法二:由(1)可知椭圆



在椭圆上,

由椭圆上点(x0,y0)的切线方程为:



代入即可求得:切线方程为 过 与椭圆相切的直线方程为

, .

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,考查椭圆的切线方程的应用,考查导数的几何意 义,属于中档题.

2 19. (12 分) (2016 秋?浦城县期中)设命题 p:函数 f(x)=lg(ax ﹣x+

)的定义域为 R;

x x 命题 q:不等式 3 ﹣9 <a 对一切正实数 x 均成立.如果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命

题,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;命题的真假判断与应用;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】利用对数函数的定义域是 R 求得 p 真,不等式 3x﹣9x<a 对一切正实数 x 均成立, 求出 q 真时 x 的范围,再由真值表作出解答即可.
2 【解答】解:∵命题 p:函数 f(x)=lg(ax ﹣x+ a)的定义域为 R,

2 ∴ax ﹣x+ a>0 恒成立,?

解得 a>1; ∵命题 q:不等式 3x﹣9x<a 对一切正实数 x 均成立,令 g(x)=3x﹣9x,
x x x 2 ∵g(x)=3 ﹣9 =﹣(3 ﹣ ) + <0,

∴a≥0. ∵“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题, ∴命题 p 与命题 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则 a∈?; 若 p 假 q 真,即,则 0≤a≤1. 综上所述,实数 a 的取值范围:[0,1]. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,求得分别求得 p 真与 q 真时 x 的范围是关键,突 出考查函数恒成立问题,属于中档题.

20. (12 分) (2016 秋?青原区校级期中)已知点 M(3,1) ,直线 ax﹣y+4=0 及圆(x﹣1)
2

+(y﹣2)2=4.

(1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax﹣y+4=0 与圆相切,求 a 的值. 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1) 根据圆的切线到圆心的距离等于半径, 可得当直线的斜率不存在时方程为 x=3, 符合题意.而直线的斜率存在时,利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算,得 到切线方程为 3x﹣4y﹣5=0,即可得到答案. (2)根据圆的切线到圆心的距离等于半径,利用点到直线的距离公式建立关于 a 的方程, 解之即可得到 a 的值. 【解答】解: (1)∵圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=4, ∴圆心 C(1,2) ,半径 r=2, ①当过 M 点的直线的斜率不存在时,方程为 x=3, 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3﹣1=2=r 知,此时直线与圆相切.

②当直线的斜率存在时,设方程为 y﹣1=k(x﹣3) ,即 kx﹣y+1﹣3k=0. 根据题意,可得 ﹣4y﹣5=0 综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x﹣4y﹣5=0. (2)由题意,直线 ax﹣y+4=0 到圆心的距离等于半径, 可得 ,解之得 a=0 或 . =2,解得 k= ,此时切线方程为 y﹣1= (x﹣3) ,即 3x

【点评】本题给出直线与圆相切,求切线的方程与参数 a 的值.着重考查了圆的方程、点到 直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.

21. (12 分) (2016?揭阳校级模拟)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,D、 E 分别为 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 (Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ) 在棱 AC 上是否存在一个点 G, 使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1: 15,若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由. .

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (I)取 AB 的中点 M,根据 ,得到 F 为 AM 的中点,又 E 为 AA1 的中点,

根据三角形中位线定理得 EF∥A1M,从而在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1DBM 为平行四边 形,进一步得出 EF∥BD.最后根据线面平行的判定即可证出 EF∥平面 BC1D. (II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设在棱 AC 上存在一个点 G,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1:15,再利用棱柱、棱锥的体积公式,求出 AG 与 AC 的比值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.

【解答】证明: (I)取 AB 的中点 M,∵ 又∵E 为 AA1 的中点,∴EF∥A1M

,∴F 为 AM 的中点,

在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,M 分别为 A1B1,AB 的中点, ∴A1D∥BM,A1D=BM, ∴A1DBM 为平行四边形,∴AM∥BD ∴EF∥BD. ∵BD? 平面 BC1D,EF?平面 BC1D, ∴EF∥平面 BC1D. (II)设 AC 上存在一点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1:15, 则 ,



=

= ∴ ∴AG= ,∴ . ,

所以符合要求的点 G 不存在.

【点评】本题考查线面平行,考查棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,解题的关键是利用线面 平行的判定证明线面平行,属于中档题.

2 22. (12 分) (2016 秋?青原区校级期中)已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为

的直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x1<x2)两点,且 (1)求该抛物线的方程;



(2)过抛物线上的一个点 M(1,2)作两条垂直的直线 MP,MQ 分别交抛物线于 P,Q 两 点,试问:直线 PQ 是否过定点,如果过,请求出来,不过,请说明理由. (3)求原点 O 到直线 PQ 的最大距离为多少? 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【专题】方程思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2 0) 【分析】 (1) 由) 抛物线 y =2px (p>0) 焦点 F (﹣ , , 则直线 AB 的方程是

, ,即可求

代入抛物线方程,由韦达定理求得 得 p 的值,求得该抛物线的方程; (2)设 , ,则

,则

=(

﹣1,y1﹣2) ,

=(

﹣1,y2

﹣2) ,由

,求得 y1y2+2(y1+y2)+20=0,直线 PQ 的方程,整理得:

,直线 PQ 必过 定点 B(5,﹣2) ; (3)由(2)可知原点 O 到直线 PQ 的最大距离为 d= .

2 【解答】解: (1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点在 x 轴的正半轴,焦点 F(﹣ ,0) ,

∴直线 AB 的方程是





2 2 ,整理得:4x ﹣5px+p =0,

由韦达定理可知: ∴ ∴p=2, ∴抛物线方程为 y2=4x;

, ,

(2)设







=(

﹣1,y1﹣2) ,

=(

﹣1,y2﹣2) ,









∴(y1﹣2) (y2﹣2)[(y1+2) (y2+2)+16]=0,即 y1y2+2(y1+y2)+20=0,

直线 PQ 的方程:



∴ 故直线 PQ 必过定点 B(5,﹣2) . (3)由(2)可知原点 O 到直线 PQ 的最大距离为 d= .



【点评】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查向量数量积的坐标运 算,考查直线方程的应用,点到直线的距离公式,考查计算能力,属于中档题.



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