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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第44课 递推数列求通项(1) 文

(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第44课 递推数列求通项(1) 文


第 44 课
【补充题型】 1.递推公式形如 a n ?1 ?

递推数列求通项(1)

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr, r ? 0, a1 ? ? ) ra n ? h r

方法:作特征方程 x ?

px ? q ,解出. rx ? h
13an ? 25 . an ? 3

【例 1】已知数列 {a n } 满足:对于 n ? N, 都有 an ?1 ? (1)若 a1 ? 5 ,求 an ; 【解析】作特征方程 x ?

(2)若 a1 ? 3 ,求 an .

13x ? 25 2 ,∴ x ? 10 x ? 25 ? 0 ,∴ x ? 5 . x?3 13an ? 25 8(an ? 5) ?5 ? ∴ an ?1 ? 5 ? . an ? 3 an ? 3 (1)∵ a1 ? 5 ,∴ an ? 5 . 8( an ? 5) a ?3 a ?5?8 1 1 1 ? n ? n ? ? , (2)∵ an ?1 ? 5 ? ,∴ an ?1 ? 5 8(an ? 5) 8(an ? 5) an ? 5 8 an ? 3
∴数列 ? ∴

? 1 ? 1 1 1 ? ? 为首项,以 为公差的等差数列, ? 是以 a1 ? 5 2 8 ? an ? 5 ?

1 1 1 n?5 1 ? ? ? (n ? 1) ? ? 0 ,∴ n ? 4 , , ∵ an ? 5 2 8 8 an ? 5

∴数列 {a n } 从第 5 项开始都不存在,∴当 n ? 4 , n ? N 时, an ? 【变式】已知数列 {a n } 满足性质:对于 n ? N , an ?1 ? 式. 【解析】作特征方程 x ?

5n ? 17 . n?5

an ? 4 ,且 a1 ? 3 ,求 {a n } 的通项公 2an ? 3

x?4 2 ,∴ x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? 1 . 2x ? 3 a ?4 ?a ? 1 ?(an ? 1) a ?4 5(an ? 2) ?1 ? n ? ?2? ∴ an ?1 ? 1 ? n , an ?1 ? 2 ? n , 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3 a ? 1 ?(an ? 1) 1 a ?1 ? ? (? ) ? n ∴ n ?1 , an ?1 ? 2 5(an ? 2) 5 an ? 2
∴数列 ? ∴

? an ? 1 ? a1 ? 1 2 1 ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列, ? 是以 a1 ? 2 5 5 ? an ? 2 ?

an ? 1 2 1 ?2 n n ? ? (? )n ?1 ? ,∴ (?5) an ? (?5) ? ?2an ? 4 , an ? 2 5 5 (?5) n

∴ an ?

( ?5) n ? 4 . (?5) n ? 2
1

2.递推公式形如 an? 2 ? pan?1 ? qan 方法:①设 an ? 2 ? san ?1 ? t (an ?1 ? san ) , ②解出 s , t 的值,其中 s , t 满足 ?

?t ? s ? p , ? st ? q

③再用换元法转化为等比数列求解. 【例 2】 (2011 汕头质检)已知数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 1 , an ? 2 ? 5an ?1 ? 6an ,求 a n . 【解析】设 an ? 2 ? san ?1 ? t (an ?1 ? san ) ,∴ an? 2 ? (t ? s)an?1 ? stan . ∴?

?t ? s ? 5 ? s ? ?3 ? s ? ? 2 ? s ? ?3 ?? 或? ,取 ? ,则 an ? 2 ? 3an ?1 ? 2(an ?1 ? 3an ) , ? st ? ?6 ?t ? 2 ?t ? 3 ?t ? 2

∴ {a n ?1 ? 3a n } 是以首项为 a2 ? 3a1 ? ?2 ,公比为 2 的等比数列,

a n ?1 3a n 1 ? ? , n ?1 n 2 2 2?2 a a 3 a 1 ∵ n ?1 ? 1 ? ( n ? 1) ,又 1 ? 1 ? ? , n ?1 n 2 2 2 2 2 a 3 1 ∴数列 { n ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2 an 1 3 n ?1 ∴ n ? 1 ? ? ( ) , a n ? 2 n ? 3 n ?1 . 2 2 2 2 1 【变式】已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ? an?1 ? an ,求 a n . 3 3 【解析】设 an ? 2 ? san ?1 ? t (an ?1 ? san ) , ∴ an? 2 ? (t ? s)an?1 ? stan .
∴ an ?1 ? 3an ? ?2 ? 2n ?1 ? ?2n .∴

2 ? 1 ? s ? ?1 ? ? s ? ?1 ?t ? s ? 3 ? ?s ? ? ? ?? ∴? 3 或? 1 ,取 ? 1, ?t ? 1 ?t ? ? 3 ?t ? ? 3 ? st ? 1 ? ? ? ? 3 ? 1 则 an ? 2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ) , 3 1 ∴ {an ?1 ? an } 是以首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ? 的等比数列, 3 1 ∴ an ?1 ? an ? (? )n ?1 . 3 1 1 ? (? )n ?1 1 0 11 1 n?2 3 ∴ an ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ??? ? (? ) ? , 1 3 3 3 1? 3 7 3 1 n?1 又由 a1 ? 1 得 an ? ? ? (? ) . 4 4 3

2

【课时作业】 1. (2011 广东高考)设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

求数列 {an } 的通项公式; 【解析】∵ an ?

nban ?1 a ban ?1 n 1 n ?1 1 ,∴ n ? , ∴ ? ? ? . an ?1 ? n ? 1 an b an ?1 b n an ?1 ? n ? 1 n n ?1 n ? ? 1 ,则 { } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 . an an ?1 an

① 当 b ? 1时,



n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,即 an ? 1 . an
n 1 1 n ?1 1 ? ? ( ? ). an 1 ? b b an ?1 1 ? b

② 当 b ? 0 且 b ? 1时,

当 n ? 1 时,

n 1 1 ? ? , an 1 ? b b(1 ? b)

∴{

n 1 1 1 ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 1 ? b b(1 ? b) b



n 1 1 1 ? bn n 1 1 1 ? ? ? ? ? ( ) n .∴ ? . an (1 ? b)b n 1 ? b (1 ? b)b n an 1 ? b 1 ? b b
n

? n(1 ? b)b n ,  b ? 0且b ? 1 n(1 ? b)b ? ∴ an ? . 综上所述: an ? ? 1 ? b n . n 1? b ?1,   b ? 1    ?

3

2. (2012 全国高考)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 .定义数列 { xn } 如下: x1 ? 2 , xn ?1 是过两点
2

P(4,5) , Qn ( xn , f ( xn )) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标.
(1)求 xn , xn?1 的关系; (2)求数列 { xn } 的通项公式.

【解析】 (1)∵ f (4) ? 5 ,∴点 P(4,5) 在函数 f ( x) 的图象上, ∴由所给出的两点 P(4,5) , Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在. ∴直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) , xn ? 4

令 y ? 0 ,则 ?5 ?

2 xn ? 2 xn ? 3 ? 5 ( xn ?1 ? 4) , xn ? 4

∴ xn ?1 ? 4 ?

4x ? 3 ?5 ,∴ xn ?1 ? n . xn ? 2 xn ? 2

(2)由 xn ?1 ?

4 xn ? 3 4x ? 3 得到该数列的一个特征方程 x ? , xn ? 2 x?2

即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,
2

∴ xn ?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n , ① xn ? 2 xn ? 2

xn ?1 ? 1 ?

4 xn ? 3 5( xn ? 1) ?1 ? ,② xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ? ?? , ? ? ,而 1 x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

∴数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列, 3 5 ? xn ? 1 ?



xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? ? ? ? ( ) n ?1 ,故 xn ? . n ?1 xn ? 1 3 5 3? 5 ?1 3 ? 5n ?1 ? 1

4



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