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高中数学人教A版必修4课件:1.3.2 三角函数的诱导公式(二)

高中数学人教A版必修4课件:1.3.2 三角函数的诱导公式(二)


第二课时

三角函数的诱导公式(二)

[提出问题] 如图所示,设 α 是任意角,其终边与单位 圆交于点 P1(x,y),与角 α 的终边关于直线 y =x 对称的角的终边与单位圆交于点 P2. 问题 1:P2 点的坐标是什么?

提示:P2(y,x).

π 问题2: -α的终边与角α的终边关于直线y=x对称吗? 2 它们的正弦、余弦值有何关系?
?π ? 提示:对称.sin?2-α?=cos ? ? ?π ? α,cos?2 -α?=sin ? ?

α.

[导入新知] 诱导公式五和公式六

[化解疑难] 诱导公式的巧记 π 诱导公式一~六可归纳为k· ± α的形式,可概括为“奇 2 变偶不变,符号看象限”: (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的. π (2)“奇”“偶”是对诱导公式k·± α中的整数k来讲的. 2

π π (3)“象限”指k· ± α中,将α看成锐角时,k· ± α所在的 2 2 象限,再根据“一全正,二正弦,三正切,四余弦”的符号 规律确定原函数值的符号. 例如,将cos
?π ? ? + α? ?2 ?

写成cos

? π ? ?1·+α? ? 2 ?

,因为1是奇数,则

π “cos”变为正弦函数符号“sin”,又将α看成第一象限角时, 2 +α是第二象限角,cos =-sin α.
?π ? ? + α? ?2 ?

符号为“-”,故有cos

?π ? ? + α? ?2 ?

[例1]

(1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是( B. 1-m2 1-m2 C.- m D.- 1-m2

)

1-m2 A. m

?π ? 1 ?π ? (2)已知sin?3-α?= ,求cos?6+α?的值. ? ? 2 ? ?

[解]

(1)B

?π ?π ?? ?π ? ? (2)cos?6+α?=cos? -?3-α?? ?? ? ? ?2 ? ? ?π ? 1 =sin?3-α?= . ? ? 2

[类题通法] 角的转化方法 (1)对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化 为正角的三角函数.若转化之后的正角大于360°,再利用诱 导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数. (2)当化成的角是90°到180°间的角时,再利用180°- α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数. (3)当化成的角是270°到360°间的角时,则利用360° -α及-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.

[活学活用]
?π ? 1 已知cos(π+α)=- ,求cos?2+α?的值. 2 ? ?
?π ? 解:若α为第一象限角,cos ?2 +α? =- ? ? ?π ? 象限角,cos?2 +α?= ? ?

3 ;若α为第四 2

3 . 2

[例2]
? 3π? sin?π-α?cos?2π-α?cos?-α+ 2 ? ? ? 已知f(α)= . ?π ? cos?2-α?sin?-π-α? ? ?

(1)化简f(α);
? 3π? 1 (2)若α为第三象限角,且cos?α- 2 ?= ,求f(α)的值; ? ? 5

31π (3)若α=- ,求f(α)的值. 3

[解]

sin αcos α?-sin α? (1)f(α)= =-cos α. sin αsin α 1 1 α= ,∴sin α=- . 5 5
2

? 3π? (2)∵cos?α- 2 ?=-sin ? ?

2 6 又∵α为第三象限角,∴cos α=- 1-sin α=- , 5 2 6 ∴f(α)= . 5 (3)f
? 31π? ? 31π? ?- ?=-cos?- ? 3 ? 3 ? ? ?

? 5π? 5π ? ? =-cos -6×2π+ 3 =-cos 3 ? ?

π 1 =-cos =- . 3 2

[类题通法] 化简求值的方法 解决此类问题时,可先用诱导公式化简变形,将三 角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变 形求解.

[活学活用]
?π ? sin?-α?cos?π+α?cos?2-α? ? ?

已知f(α)= . cos?π-α?sin?2π+α?tan?π+α? (1)化简f(α); 3 (2)若角α的终边在第二象限且sin α= ,求f(α). 5 4 答案:(1)-cos α (2) 5

[例3]

求证: tan?9π+θ?+1 = . tan?π+θ?-1

? 3 ? ? π? 2sin?θ-2π?cos?θ+2 ?-1 ? ? ? ?

1-2sin2θ

-2cos θ· sin θ-1 [证明] 左边= cos2θ-sin2θ -?sin θ+cos θ?2 = ?cos θ-sin θ??cos θ+sin θ? sin θ+cos θ tan θ+1 = = , sin θ-cos θ tan θ-1 tan θ+1 右边= ,所以原等式成立. tan θ-1

[类题通法] 三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从 左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变 更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的 代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选 择巧妙简捷的方法.

[活学活用] cos?2π-θ? 求证: ?π ? ?3π ?+ cos?π+θ?sin?2+θ?-sin? 2 +θ? ? ? ? ? cos?π-θ? 2 ? ?3 ? ?=sin2θ. cos θ?sin?2π-θ?-1? ? ? ? ?
-cos θ cos θ 证明:左边= + -cos θcos θ+cos θ cos θ?-cos θ-1? 1+cos θ+1-cos θ 1 1 = + = 1-cos θ 1+cos θ ?1-cos θ??1+cos θ? 2 2 = = 2 =右边,∴原式成立. 1-cos2θ sin θ

2.给值?式?求值问题的求解
5 (12分)若sin α= ,求 5 cos?3π-α? ?π ?? ?7π ? ?+ sin?2+α??sin? 2 +α?-1? ? ?? ? ? ?

[典例]

?5π ? sin? 2 -α? ? ? ?5π ? ?7π ?的值. cos?3π+α?sin? 2 +α?-sin? 2 +α? ? ? ? ?

[解题流程]

[规范解答] cos?3π-α? ?π ? ? ?7π ? ?+ sin?2+α? ?sin? 2 +α?-1? ? ? ? ? ? ?
?5π ? sin? 2 -α? ? ? ?5π ? ?7π ? cos?3π+α?sin? 2 +α?-sin? 2 +α? ? ? ? ?

[名师批注]
结合诱导公式的特点,可考 虑利用公式一、二、四将 cos(3π - α) 和 cos(3π + α) 化 简;利用公式一、五、六将 其他三角函数式化简.化简 过程中要牢记诱导公式,否 则极易搞错符号或三角函数 名称而导致解题错误.

cos[2π+?π-α?] = ? ? ? ?+ π cos α?sin?3π+2+α?-1? ? ? ? ?

? ?π ?? sin?2π+?2-α?? ? ? ?? ? ?π ?? ? ?π ?? cos?π+α?sin?2π+?2+α??-sin?3π+?2+α?? ? ? ?? ? ? ??

(3 分)

[规范解答]
-cos α cos α = + cos α?-cos α-1? -cos αcos α+cos α (6 分) 1 1 2 = + = 2 . 1+cos α 1-cos α sin α 5 ∵sin α= , 5 2 ∴ 2 =10,(11 分) sin α 即原式=10. (12 分) (9 分)

[名师批注]

此处应进行通分化 简, 要注意公式 sin2α +cos2α=1 的应用.

此处极易被忽视, 造成 解题步骤缺失而失分.

[活学活用] 已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,且 α 为第三象限角,
? ? 3π? ?3π sin?α+ 2 ?· sin? 2 -α?· tan2?2π-α?· tan?π-α? ? ? ? ? 求 的值. ?π ? ?π ? cos?2-α?· cos?2+α? ? ? ? ?

3 答案: 4

[随堂即时演练]

1.若

?π ? sin?2+θ?<0,且 ? ?

?π ? cos?2-θ?>0,则 ? ?

θ是

(

)

A.第一象限角 C.第三象限角
答案:B

B.第二象限角 D.第四象限角

2.已知

?π ? cos?2+φ?= ? ?

3 π ,且|φ|< ,则 tan φ=( 2 2 3 B. 3 D. 3

)

3 A.- 3 C.- 3

答案:C

? 3π? 3.化简:sin(-α-7π)·cos?α- 2 ?=________. ? ?

答案:-sin2α

4.sin21°+sin22°+sin23°+?+sin289°=________.
89 答案: 2

5.已知

?π ? cos?6-θ?=a(|a|≤1), ? ?

?5π ? ?2π ? 求证:cos? 6 +θ?-sin? 3 -θ?=-2a. ? ? ? ?
?π ? 2π ? 5π π ?π 证明:∵ +θ=π-?6-θ?, -θ= +?6-θ?, 6 3 2 ? ? ? ? ?5π ? ?2π ? ∴cos? 6 +θ?-sin? 3 -θ? ? ? ? ? ?π ?π ?? ? ?π ?? ? ? =cos?π-?6-θ??-sin?2+?6-θ?? ? ?? ? ? ?? ? ?π ? ?π ? =-cos?6 -θ?-cos?6-θ?=-a-a=-2a. ? ? ? ?

课时达标检测见课时达标检测(七)



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