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2017版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第四节基本不等式AB卷文

2017版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第四节基本不等式AB卷文


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 7 章 不等式、推理与证 明 第四节 基本不等式 AB 卷 文 新人教 A 版

1 2 1.(2015·湖南,7)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为(

a b

)

A. 2 C.2 2 解析

B.2 D.4 1 2 1 2 由 + = ab,知 a>0,b>0,由于 + ≥2 2 ,∴ ab≥ 2 2 ,∴ab≥2 2.

a b

a b

ab

ab

故选 C. 答案 C 2.(2015·福建,5)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( A.2 C.4 B.3 D.5

x y a b

)

1 1 b a ?1 1? 解析 由题意 + =1,∴a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥4,当且仅当 a=b=2 时,取

a b

?a b?

a b

等号.故选 C. 答案 C 3.(2015·陕西,10)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? +f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q 解析 ∵0<a<b,∴ ) B.q=r>p D.p=r>q

?a+b?,r=1(f(a) ? 2 ? 2 ?

a+b
2

> ab,

又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数, 故 f?

?a+b?>f( ab), ? ? 2 ?

1 1 即 q>p.又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b) 2 2 1 1 1 = ln a+ ln b=ln(ab)2=f( ab)=p. 2 2
1

故 p=r<q.选 C. 答案 C 4.(2014·重庆,9)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3 )

解析 因为 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b=ab,且
? ?3a+4b>0, 4 3 4b 3a ?4 3? ? 即 a>0,b>0,所以 + =1(a>0,b>0),a+b=(a+b)? + ?=7+ + ≥7 a b a b a b ? ? ?ab>0, ?

+2

4b 3a 4b 3a · =7+4 3,当且仅当 = 时取等号,选择 D.

a

b

a

b

答案 D 5.(2014·福建,9)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 )
3

解析 设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体的容积 2×4? 4 ? 3 为4m, 高为 1 m, 所以长方体的底面矩形的宽为 m, 依题意, 得 y=20×4+10?2x+ ?

x

?

x ?

? 4? =80+20?x+ ?≥80+20×2 ?
x?

x· =160(当且仅当 x= ,即 x=2 时取等号).所以该 x x

4

4

容器的最低总造价为 160 元.故选 C. 答案 C 6.(2013·山东,12)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0.则当 取得最小值时,x +2y-z 的最大值为( A.0 C.2 ) B. D. 9 8 9 4
2 2

z xy

解析

z x2-3xy+4y2 x 4y = = -3+ ≥2 xy xy y x
2

x 4y · -3=1,当且仅当 x=2y 时等号成立. y x

此时 z=2y , ∴x+2y-z=2y+2y-2y =-2(y-1) +2,
2 2

2

∴当 y=1,x=2,z=2 时,x+2y-z 取得最大值 2. 答案 C 7.(2012·陕西,10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则( A.a<v< ab C. ab<v< ) B.v= ab 2 D.v=

a+b

a+b
2

2 2ab 解析 v=- = (a<b),所以 a<v< ab.故选 A. 1 1 a+b +

a b

答案 A 8.(2015·天津,12)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为________时,log2a·log2(2b) 取得最大值. log2a · log2(2b) = log2a · (1 + log2b)≤ ? 2

解析

?log2a+1+log2b? = ?log2ab+1? = ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

2

2

?log28+1? =4,当且仅当 log a=1+log b,即 a=2b 时,等号成立,此时 a=4,b=2. ? 2 ? 2 2 ? ?
答案 4

x ,x≤1, ? ? 9.(2015·浙江,12)已知函数 f(x)=? 6 则 f(f(-2))=________,f(x)的 x+ -6,x>1, ? ? x
最小值是________.

2

x ,x≤1 ? ? 解析 因为 f(x)=? 6 x+ -6,x>1, ? ? x
1 2 ∴f(-2)=(-2) =4,∴f[f(-2)]=f(4)=- .当 x≤1 时,f(x)min=f(0)=0.当 x>1 2 6 时,f(x)=x+ -6≥2 6-6,当且仅当 x= 6时“=”成立.∵2 6-6<0,∴f(x)的最

2

x

小值为 2 6-6. 1 答案 - 2 6-6 2 10.(2015·山东,14)定义运算“?”:x?y=

x2-y2 (x,y∈R,xy≠0),当 x>0,y>0 时, xy

x?y+(2y)?x 的最小值为________.

3

x2-y2 (2y)2-x2 x2+2y2 2 x2·2y2 解析 由题意,得 x?y+(2y)?x= + = ≥ = 2,当且仅 xy 2yx 2xy 2xy
当 x= 2y 时取等号. 答案 2
2 2 2

11.(2014·浙江,16)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =1,则 a 的最大值 是________. 解析 由 a+b+c=0,得 a=-b-c, 则 a =(-b-c) =b +c +2bc≤b +c +b +c =2(b +c ), 又 a +b +c =1,所以 3a ≤2, 解得- 6 6 ≤a≤ . 3 3 6 . 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 amax= 答案 6 3

1 |a| 12.(2013·天津,14)设 a+b=2,b>0,则 + 的最小值为________. 2|a| b

a+b
解析 因为 a+b=2,所以 2

a+b

2 1 |a| |a| a b |a| a =1, + = + = + + ≥ + 2 2|a| b 2|a| b 4|a| 4|a| b 4|a|

b |a| a · = +1, 4|a| b 4|a|

当且仅当 b=2|a|时,等号成立,

a 5 1 |a| 5 当 a>0 时, +1= ,故 + ≥ ; 4|a| 4 2|a| b 4 a 3 1 |a| 3 当 a<0 时, +1= , + ≥ . 4|a| 4 2|a| b 4
3 综上可得最小值为 . 4 答案 3 4

4



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