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2.2.1 条件概率 课件(人教A选修2-3)

2.2.1 条件概率 课件(人教A选修2-3)


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100件产品中有93件产品的长度合格,90件产品的质

量合格,85件产品的长度、质量都合格.
令A={产品的长度合格},B={产品的质量合格},AB ={产品的长度、质量都合格}. 问题1:试求P(A)、P(B)、P(AB).
93 90 85 提示:P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= . 100 100 100

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问题2:任取一件产品,已知其质量合格(即B发生), 求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率.
提示:事件 A|B 发生,相当于从 90 件质量合格的产 85 品中任取 1 件长度合格,其概率为 P(A|B)= . 90

问题3:试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系.
93 90 85 提示:P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= . 100 100 100

P?AB? 提示:P(A|B)= . P?B?

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1.条件概率
P?AB? 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 为 P?A?

在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. P(B|A)读作

A发生的条件下B发生的概率



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2.条件概率的性质 (1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都 在0和1之间,即 0≤P(B|A)≤1 .

(2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) .

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(1)由条件概率的定义可知, P(B|A)与 P(A|B)是不同的. 另 外,在事件 A 发生的前提下,事件 B 发生的概率不一定是 P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等. (2)在条件概率的定义中,要强调 P(A)>0.当 P(A)=0 时, P(B|A)=0. P?AB? (3)P(B|A)= 可变形为 P(AB)=P(B|A)· P(A), 即只要 P?A? 知道其中的两个值就可以求得第三个值.

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[例1] 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的 点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB). (2)当蓝色骰子的点数为3或6时,两枚骰子的点数之和 大于8的概率是多少?
[ 精解详析] 设 x 为掷红骰子得的点数, y 为掷 蓝骰子得的点数,则所有可能的事件与(x,y)建立对 应关系,由题意作图(如图所示). (1)P(A)= P(AB)= 12 1 10 5 = ,P(B)= = , 36 3 36 18

5 . 36

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5 P?AB? 36 5 (2)法一:P(B|A)= = = . 1 12 P?A? 3 n?AB? 5 法二:P(B|A)= = . n?A? 12 [一点通] 计算条件概率的两种方法: (1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率, 事件AB所含基本事件的个数 即 P(B|A)= ; 事件A所含基本事件的个数 (2)在原样本空间 Ω 中,先计算 P(AB),P(A),再按公式 P?AB? P(B|A)= 计算求得 P(B|A). P?A?

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1.把一枚硬币投掷两次,事件 A={第一次出现正面}, B={第二次出现正面},则 P(B|A)= 1 A. 4 1 C. 6 1 B. 2 1 D. 8 ( )

1 1 1 解析:P(AB)= ,P(A)= ,∴P(B|A)= . 4 2 2

答案:B

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2.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件 下,他在周六晚上值班的概率为________.
解析:设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六值 C1 1 P?AB? 1 6 班”, 则 P(A)= 2, P(AB)= 2, 故 P(B|A)= = . C7 C7 P?A? 6
1 答案: 6

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3.一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,
已知这个家庭有一个是女孩,问这时另一个小孩是男孩 的概率是多少?
解:设事件 A 为“其中一个是女孩”,事件 B 为“另一个小 孩是男孩”, Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}, A={(男,女),(女,男),(女,女)},n(A)=3, B={(男,男),(男,女),(女,男)}, AB={(男,女),(女,男)},n(AB)=2. n?AB? 2 由题意知 P(B|A)= = . 3 n?A?

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补充例题
[例2]一批产品中有4%的次品,而合格品中一等品占45%,

从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.
解:设 A 表示“取出的产品为合格品”,B 表示“取出 的产品为一等品”, 则 P(B|A)=45%,P( A )=4%, 从而 P(A)=1-P( A )=1-4%=96%. 所以 P(B)=P(AB)=P(A)· P(B|A)=96%×45%=43.2%.

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4.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个 红球.现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从 2号箱中随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多 少?
解:记 A={从 2 号箱中取出的是红球}, B={从 1 号箱中取出的是红球}, 4 2 则 P(B)= = , 2+ 4 3
3 +1 4 3 1 1 P( B )= 1- P(B)= ,P(A|B)= = ,P(A | B ) = = , 3 8 +1 3 8 +1 9 P(A)= P(AB∪ A B )=P(AB )+P(A B ) 4 2 1 1 11 =P( A|B )P(B)+ P(A| B )P( B )= × + × = . 9 3 3 3 27

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掌握好条件概率应注意以下几点
(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与 没有这个附加条件的概率是不同的. (2)所谓的条件概率,是试验结果的一部分信息已知( 即在原随机试验的条件上,再加上一定的条件),求另一

事件在此条件下发生的概率.

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(3)已知 A 发生,在此条件下 B 发生,相当于 AB 发生, 求 P(B|A)时,可把 A 看成新的基本事件空间来计算 B 发生 的概率,即 n?AB? n?AB? n?Ω? P?AB? P(B|A)= = = . n?A? n?A? P?A? n?Ω?

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[例2]

(10分)将外形相同的球分装三个盒子,每盒10

个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字 母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有 红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒 子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒

子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第
三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则试 验成功.求试验成功的概率.

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[思路点拨]

设出基本事件,求出相应的概率,再

用基本事件表示出“试验成功”这件事,求出其概率.
[精解详析] 的球}, B={从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}, R={第二次取出的球是红球}, W={第二次取出的球是白球},? 7 3 则容易求得 P(A)= ,P(B)= , 10 10 (2 分) 设 A={从第一个盒子中取得标有字母 A

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1 1 4 P(R|A)= ,P(W|A)= ,P(R|B)= , 2 2 5 1 P(W|B)= .? 5 RB 互斥,? 所以由概率的加法公式得 P(RA∪RB) =P(RA)+P(RB) =P(R|A)· P(A)+P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 59 = × + × = .? 2 10 5 10 100

(5 分)

事件“试验成功”表示为 RA∪RB,又事件 RA 与事件 (7 分)

(10 分)

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[一点通]

若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+

P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把
它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件,求出这些简单 事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概 率.

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