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高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(二)

高中数学 人教A版必修4    第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(二)


2.4.1(二) 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 【学习要求】 本 课 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 时 栏 【学法指导】 目 开 引进向量的数量积以后,考察一下这种运算的运算律是非常必要 关 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 的.向量 a、b 的数量积 a· b 虽与代数中数 a、b 的乘积 ab 形式相 似,实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比 到向量的数量积上来.例如,a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0;a· b =b· c a=c;(a· b)· c=a· (b· c)也未必成立. 填一填·知识要点、记下疑难点 2.4.1(二) 1.向量的数量积(内积) 本 课 时 栏 目 开 关 |a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积), _______________ 记作 a· b. |a||b|cos〈a,b〉._________ |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上 即 a· b=_______________ |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 的投影,_________ 2.向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. |a|cos〈a,b〉 (1)a· e=e· a=_____________ ; 0 且 a· 0 ?a⊥b; (2)a⊥b?a· b=__ b=__ 填一填·知识要点、记下疑难点 2 a (3)a· a=___或|a|=______; a· b |a||b| ; (4)cos〈a,b〉=______ 2.4.1(二) |a|2 本 课 时 栏 目 开 关 ≤ |a||b|. (5)|a· b|_____ 3.向量数量积的运算律 b· a (交换律); (1)a· b=______ λ(a· b) =______ a· (λb) (结合律); (2)(λa)· b=______ a· c+b· c (分配律). (3)(a+b)· c=_________ 研一研·问题探究、课堂更高效 2.4.1(二) 探究点一 本 课 时 栏 目 开 关 向量数量积运算律的提出 类比实数的运算律,向量的数量积是否具有类似的特 问题 1 征?先写出类比后的结论,再判断正误(完成下表): 运算律 交换律 结合律 分配律 实数乘法 ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc 向量数量积 判断 正误 a· b=b· a (a· b)c=a(b· c) (a+b)· c=a· c+b· c 正确 错误 正确 b=b· c(b≠0)?a=c 错误 消去律 ab=bc(b≠0) ?a=c a· 研一研·问题探究、课堂更高效 2.4.1(二) 问题 2 在上述类比得到的结论中,对向量数量积不再成立的 有哪些?试各举一反例说明. 本 课 时 栏 目 开 关 答 (a· b)c=a(b· c)不成立, 因为(a· b)c 表示一个 与 c 共线的向量,而 a(b· c)表示一个与 a 共线 的向量, c 与 a 不一定共线, 所以(a· b)c=a(b· c), 一般情况下不会成立. a· b=b· c(b≠0)?a=c 不成立,如图所示. 显然 a· b=b· c,且 a≠c. 研一研·问题探究、课堂更高效 2.4.1(二) 探究点二 向量数量积的运算律 已知向量 a,b,c 和实数 λ,


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