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2015-2016学年河南省濮阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年河南省濮阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年河南省濮阳市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2≥6x},B={x|2x2﹣x﹣1>0,x∈Z},则(?UA)∩B( ) A.[1,6] B. (1,6) C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5} 2.若复数 z= +i(i 为虚数单位) ,则|z|=( )

A.

B.

C.

D. )

3.设 p:1<x<2,q:log2x>0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知等比例函数{an}满足 a1=2,a1+a3﹣a5=﹣10,则 a3+a5﹣a7=( A.﹣20 B.﹣30 C.﹣40 D.﹣60 5.设函数 f(x)= ,且 f(f(﹣3) )=﹣1,则 a=(





A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 6.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(



A.32+

B.32+

C.64+

D.64+ )

7.如图所示程序框图.若输人 x=2015,则输出的 y=(

第 1 页(共 21 页)

A.﹣

B.﹣

C.

D.

8.一条光线从点(﹣2,3)射出,经 x 轴反射后与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 )个单位后得到函数 g(x)的图象, ,则 φ=( )

9.将函数 f(x)=3sin2x 的图象向右平移 φ(0<φ<

若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=6 的 x1,x2,有|x1﹣x2|min= A. B. C. D.

10.△ABC 中,AC=BC=1,AC⊥BC,已知向量 , 满足 正确的是( ) A.| ﹣ |=1 B. ( ﹣ )⊥ C. ( ﹣ ) ? ( + )=

= ,

= + ,则下列结论

D. ( ﹣ )? =﹣2

11.设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与

C 两点, C 分别作 AC、 AB 的垂线, 双曲线的两条渐近线交于 B、 过 B、 两垂线交于点 D. 若 D 到直线 BC 的距离小于 2(a+ A. (1,2) B. ( ,2) ) ,则该双曲线的离心率的取值范围是( C. (1, ) D. ( , ) )

12.已知函数 f(x)=

,若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)十 b 有两个

零点,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,+∞) C. D. (﹣∞,0)∪(1,+∞) (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
第 2 页(共 21 页)

13. (x+y) (x﹣y2)5 展开式中,x4y4 的系数为



14.已知 x,y 满足约束条

,若 z=ax﹣3y 的最大值为 2,则 α=



15.在梯形 ABCD 中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将梯形 ABCD 绕 BC

所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 . 2 16. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1, {Sn﹣ (n+1) an}为常数列, 则 an= 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 =





a=1. (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若△ABC 的面积为 ,求 b. 18.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒) 的数据如下表所示: 1 月份 x y(万盒) 4 2 4 3 5 4 6 5 6

(1)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 =

+ ,根据表中数据已经正确计算出

=0.6,试求出 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数; (2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小 红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊, 后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均 存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ξ,求 ξ 的分布列 和数学期望. 19.如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC,BE⊥EC, AB=BE=EC=2,G 是线段 BE 的中点,点 F 在线段 CD 上且 GF∥平面 ADE. (Ⅰ)求 CF 长; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值.

20.已知点 P(x0,3)与点 Q(x0,4)分别在椭圆 (1)求抛物线的方程;

+

=1 与抛物线 y2=2px(p>0)上.

第 3 页(共 21 页)

(2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (y1≤0,y2≤0)是抛物线上的两点,∠AQB 的角平分 线与 x 轴垂直,求直线 AB 在 y 轴上的截距的取值范围. 21.已知 a∈R,函数 f1(x)=x2,f2(x)=aln(x+2) . (Ⅰ)令 f(x)= ,若函数 f(x)的图象上存在两点 A、B 满足 OA⊥OB

(O 为坐标原点) ,且线段 AB 的中点在 y 轴上.求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g(x)=f1(x)+f2(x)存在两个极值点 x1、x2,求证:g(x1)+g(x2)>2. 请考生在第(22)、 (23)、 (24)三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。 [选 修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A,B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C, 点 G 为弧 中点,连接 AG 分别交⊙O,BD 于点 E,F,连接 CE. (1)求证:CE∥DG; (2)求证: = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的参 数方程为 φ 为参数) , 直线 l 的极坐标方程为 2π]. ρcosθ+ρsinθ=﹣5, θ∈[0,

(1)求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 截直线 l 所得的弦长. [选修 4 一 5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|. (1)解不等式:f(x)≤4; (2)对? x∈R,a2﹣|a|≤f(x) ,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年河南省濮阳市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2≥6x},B={x|2x2﹣x﹣1>0,x∈Z},则(?UA)∩B( ) A.[1,6] B. (1,6) C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 补集与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:x(x﹣6)≥0, 解得:x≥6 或 x<0,即 A=(﹣∞,0)∪[6,+∞) , ∴?UA=[0,6) , 由 B 中不等式变形得: (2x+1) (x﹣1)>0,x∈Z, 解得:x<﹣ 或 x>1,x∈Z,即 B=(﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) (x∈Z) , 则(?UA)∩B=(1,6) ,x∈Z={2,3,4,5}, 故选:D.

2.若复数 z=

+i(i 为虚数单位) ,则|z|=(



A.

B.

C.

D.

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】根据复数的四则运算进行化简,结合复数的模长公式进行计算即可. 【解答】解:z= +i= +i= +i= = + i,

则|z|= 故选:B

=



3.设 p:1<x<2,q:log2x>0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】 根据对数函数的性质求出关于 q 的 x 的范围, 结合集合的包含关系, 得到答案即可. 【解答】解:∵p:1<x<2, 而 q:log2x>0,故 q:x>1, 则 p 是 q 成立的充分不必要条件,
第 5 页(共 21 页)

故选:A. 4.已知等比例函数{an}满足 a1=2,a1+a3﹣a5=﹣10,则 a3+a5﹣a7=( A.﹣20 B.﹣30 C.﹣40 D.﹣60 )

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由已知得 2+2q2﹣2q4=﹣10,从而得 q2=3,由此能求出 a3+a5﹣a7 的值. 【解答】解:∵等比例函数{an}满足 a1=2,a1+a3﹣a5=﹣10, ∴2+2q2﹣2q4=﹣10, 解得 q2=3,或 q2=﹣2(舍) , 2 4 6 a a a =2q 2q 2q =6 ∴ 3+ 5﹣ 7 + ﹣ +18﹣54=﹣30. 故选:B.

5.设函数 f(x)= A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2

,且 f(f(﹣3) )=﹣1,则 a=(



【考点】函数的值. 【分析】由分段函数的定义得到 f(﹣3)=2,从而 f(f(﹣3) )=f(2)=22﹣1﹣a=﹣1,由 此能求出 a. 【解答】解:∵f(x)= ,且 f(f(﹣3) )=﹣1,

∴f(﹣3)=

=2,

f(f(﹣3) )=f(2)=22﹣1﹣a=﹣1, 解得 a=3. 故选:A. 6.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A.32+

B.32+

C.64+

D.64+

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体是一个组合体:上面是一个半球,半径为 2;下面是棱长为 4 的正方体,由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体: 上面是一个半球,半径为 2;下面是棱长为 4 的正方体,
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∴该几何体的体积 V=4×4×4+ 故选:C.

=64+



7.如图所示程序框图.若输人 x=2015,则输出的 y=(



A.﹣

B.﹣

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图的流程,写出前几次循环得到的结果,直到不满足判断框中的条件, 结束循环,进而利用三角函数诱导公式,特殊角的三角函数值即可计算得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 x=2015, 执行循环体,x=2015﹣504=1511, 满足条件 x≥0,执行循环体,x=1511﹣504=1007, 满足条件 x≥0,执行循环体,x=1007﹣504=503, 满足条件 x≥0,执行循环体,x=503﹣504=﹣1, 不满足条件 x≥0,退出循环,y=sin(﹣ 故选:A. 8.一条光线从点(﹣2,3)射出,经 x 轴反射后与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 )=﹣ ,

【考点】两条直线垂直的判定;与直线关于点、直线对称的直线方程. 【分析】由题意可知:点(﹣2,﹣3)在反射光线上.设反射光线所在的直线方程为:y+3=k (x+2) ,利用直线与圆的相切的性质即可得出. 【解答】解:由题意可知:点(﹣2,﹣3)在反射光线上. 设反射光线所在的直线方程为:y+3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k﹣3=0. 由相切的性质可得: =1,化为:12k2﹣25k+12=0,
第 7 页(共 21 页)

解得 k= 或 . 故选:D.

9.将函数 f(x)=3sin2x 的图象向右平移 φ(0<φ<

)个单位后得到函数 g(x)的图象, ,则 φ=( )

若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=6 的 x1,x2,有|x1﹣x2|min= A. B. C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用三角函数的最值,求出自变量 x1,x2 的值,然后判断选项即可. 【解答】解:因为将函数 f(x)=3sin2x 的周期为 π,函数的图象向右平移 φ(0<φ< 个单位后得到函数 g(x)的图象. 若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=6 的可知,两个函数的最大值与最小值的差为 6,有|x1﹣ x2|min= 不妨 x1= 时 φ=﹣ x1= φ= , ,x2= ,即 g(x)在 x2= ,取得最小值,sin(2× ﹣2φ)=﹣1,此 )

,不合题意, ,x2= ,即 g(x)在 x2= ,取得最大值,sin(2× ﹣2φ)=1,此时

,满足题意.

故选:B. 10.△ABC 中,AC=BC=1,AC⊥BC,已知向量 , 满足 正确的是( ) A.| ﹣ |=1 B. ( ﹣ )⊥ C. ( ﹣ ) ? ( + )= = , = + ,则下列结论

D. ( ﹣ )? =﹣2

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得 AB= ,即有| |= ,| + |=1,且 ?( + )= ×1× =1,

求得 ? =1﹣2=﹣1,| |=1,再由向量的平方即为模的平方,计算可得 A,B,C 不正确, D 正确. 【解答】解:由 AC=BC=1,AC⊥BC,可得 AB= , 即有| |= ,| + |=1, 且 ?( + )= ×1× =1,

即 2+ ? =1,可得 ? =1﹣2=﹣1, 由| + |=1,可得 2+2 ? + 2=1, 可得 2=1﹣2+2=1,即| |=1,
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则| ﹣ |=

=

=



则 A 不正确; ( ﹣ )? = ? ﹣ 2=﹣1﹣1=﹣2,则 B 不正确; ( ﹣ )?( + )= 2﹣ 2=2﹣1=1,则 C 不正确; ( ﹣ )? = ? ﹣ 2=﹣1﹣1=﹣2,则 D 正确. 故选:D.

11.设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与

C 两点, C 分别作 AC、 AB 的垂线, 双曲线的两条渐近线交于 B、 过 B、 两垂线交于点 D. 若 D 到直线 BC 的距离小于 2(a+ A. (1,2) B. ( ) ,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) D. ( , ) )

C. ,2) (1, 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上,设 D(x,0) ,则由 BD⊥AB 得

?

=

﹣1,求出 c﹣x,利用 D 到直线 BC 的距离小于 2(a+ 曲线离心率的定义,即可得出结论. 【解答】解:由题意可得 D 为△ABC 的垂心, 即有 AD⊥BC,即 D 在 x 轴上, 令 x=c,可得 y2=b2( ﹣1) ,

) ,建立不等式关系,结合双

解得 y=± 可设 B(c,

, ) ,C(c,﹣ ) ,

由 BD⊥AC,可得 kBD?kAC=﹣1, 由题意,A(a,0) , 设 D(x,0) ,则由 BD⊥AB 得 ? =﹣1,

∴c﹣x=



∵D 到直线 BC 的距离小于 2(a+

)=2(a+c) ,

∴c﹣x=|

|<2(a+c) ,

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<2(c2﹣a2)=2b2,

∴( )2<2, 则 b2<2a2, 即 c2﹣a2<2a2, 则 c2<3a2, c< a, 即 1<e< , 则曲线的离心率的取值范围是(1, 故选:C

) ,

12.已知函数 f(x)=

,若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)十 b 有两个

零点,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,+∞) C. 0 1 D 1 ∞ ∞ ∞ (﹣ , )∪( ,+ ) . (﹣ ,﹣ )∪(2,+∞) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】如图所示,令 h(x)=x3﹣x2﹣2x=x(x﹣2) (x+1)=0,解得 x=0,﹣1,2.可得: ①a=﹣1 时,f(x)= ,进而判断出此时函数 f(x)至多有一个零点,

故可排除 C.②a=﹣2 时,f(x)=

,同理可排除 A,D.进而得出答案.

【解答】解:如图所示, 令 h(x)=x3﹣x2﹣2x=x(x﹣2) (x+1)=0,解得 x=0,﹣1,2. 可得:①a=﹣1 时,f(x)= ,

此时 x3≤﹣1,x2+2x>﹣1,可得:x3+1≤0,x2+2x+1>0,
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此时函数 f(x)至多有一个零点. 因此,不存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)十 b 有两个零点,可排除 C. ②a=﹣2 时,f(x)= ,

此时 x3≤﹣8,x2+2x≥﹣1.可得:x3+1≤﹣7,x2+2x+1≥0, 此时函数 f(x)至多有一个零点. 因此,不存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)十 b 有两个零点,因此可排除 A,D. 综上可得:可排除 A,C,D. 故选:B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (x+y) (x﹣y2)5 展开式中,x4y4 的系数为 ﹣10 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (x﹣y2)5 展开式中,Tr+1=(﹣1)r T3=



x5﹣ry2r.令 5﹣r=3,2r=4,解得 r,可得:

x3y4;令 5﹣r=4,2r=3,r 无解,舍去.即可得出. x5﹣r(﹣y2)r=(﹣1)r x3y4; x5﹣ry2r.

【解答】解: (x﹣y2)5 展开式中,Tr+1= 令 5﹣r=3,2r=4,解得 r=2,可得:T3= 令 5﹣r=4,2r=3,r 无解,舍去.

综上可得: (x+y) (x﹣y2)5 展开式中,x4y4 的系数为 故答案为:﹣10.

=﹣10.

14.已知 x,y 满足约束条

,若 z=ax﹣3y 的最大值为 2,则 α= 1 .
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【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=ax﹣3y 为 由图可知,当直线 即 2a=2,∴a=1. 故答案为:1.

, 过 A(2,0)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 2,

15.在梯形 ABCD 中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将梯形 ABCD 绕 BC

所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 8π . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】确定将梯形 ABCD 绕 BC 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一 个底面半径为 ,高为 3 的圆锥,与一个底面半径为 ,高为 2 的圆柱,挖去一个底面半 径为 ,高为 1 的圆锥,利用体积公式,即可得出结论. 【解答】解:由题意,梯形的高为 2cos30°= , 将梯形 ABCD 绕 BC 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 ,高为 3 的圆锥,与一个底面半径为 ,高为 2 的圆柱,挖去一个底面半径为 ,高 为 1 的圆锥, ∴几何体的体积为 故答案为:8π.
2 16. an}为常数列, 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1, {Sn﹣ (n+1) 则 an=

=8π.



【考点】数列递推式. 【分析】根据{Sn﹣(n+1)2an}为常数列的性质:连续两项的差为零列出式子,利用当 n≥2 时 an=Sn﹣Sn﹣1 化简,得到数列{an}的递推公式,利用累积法和 a1=1 求出 an. 【解答】解:∵{Sn﹣(n+1)2an}为常数列, ∴当 n≥2 时,[Sn﹣(n+1)2an]﹣[Sn﹣1﹣(n﹣1+1)2an﹣1]=0, ∴an﹣(n+1)2an+n2an﹣1=0,
第 12 页(共 21 页)

∴n2an﹣1=n(n+2)an,则









,…,





以上 n﹣1 个式子相乘得,



又 a1=1,则 an= 故答案为: .



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1. (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若△ABC 的面积为 ,求 b. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (I)利用正弦定理与余弦定理即可得出; (II)利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出. 【解答】解: (I)∵ = , = ,

∴(a﹣b) (sinA+sinB)=(a﹣c)sin(A+B)=(a﹣c)sinC, ∴(a﹣b) (a+b)=(a﹣c)c, 2 2 化为 a +c ﹣b2=ac, ∴cosB= = ,B∈(0,π) .

∴B= (II)∵ ∴

. sinB= sin = , ,解得 c=4. =13,

由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB=1+42﹣2×1×4× ∴b= .

18.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒) 的数据如下表所示: 1 2 3 4 5 月份 x
第 13 页(共 21 页)

y(万盒)

4

4

5

6

6

(1)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 =

+ ,根据表中数据已经正确计算出

=0.6,试求出 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数; (2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小 红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊, 后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均 存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ξ,求 ξ 的分布列 和数学期望. 【考点】离散型随机变量及其分布列;线性回归方程;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)由线性回归方程过点( , ) ,得 = ﹣ ,而 , 易求,且 =0.6,从而 可得 的值,把 x=6 代入回归方程可得 6 月份生产的甲胶囊产量数; 1, 2, 3, P P P ξ=0, (2) 利用古典概型的概率计算公式可得 P (ξ=0) 、 (ξ=1) 、 (ξ=2) 、 (ξ=3) , 从而可得 ξ 的分布列,由期望公式可求 ξ 的期望; 【解答】解: (1) = =3, (4+4+5+6+6)=5,

因线性回归方程 = x+ 过点( , ) , ∴ = ﹣ =5﹣0.6×3=3.2, =0.6×6+3.2=6.8.

∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: (2)ξ=0,1,2,3,

P(ξ=0)=

=

,P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=

=



其分布列为 ξ 0 1 P 所以 Eξ=

2

3

= .

19.如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC,BE⊥EC, AB=BE=EC=2,G 是线段 BE 的中点,点 F 在线段 CD 上且 GF∥平面 ADE. (Ⅰ)求 CF 长; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)以 E 为原点,EC 为 x 轴,EB 为 y 轴,过 E 作平面 BEC 的直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系,由此利用向量法能求出 CF. (Ⅱ)求出平面 AEF 的法向量和平面 AFG 的法向量,利用向量法能求出平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值. 【解答】解: (Ⅰ)以 E 为原点,EC 为 x 轴,EB 为 y 轴, 过 E 作平面 BEC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C(2,0,0) ,G(0,1,0) ,A(0,2,2) , D(2,0,2) ,E(0,0,0) ,设 F(2,0,t) , (0≤t≤2) , 则 =(0,2,2) , =(2,0,2) , =(2,﹣1,t) , 设平面 ADE 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1,1,﹣1) ,

=2﹣1﹣t=0,解得 t=1, ∵GF∥平面 ADE,∴ ∴CF=t=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 F(2,0,1) , =(2,0,1) , =(2,﹣1,1) , =(0,2,0) , =(0,1,2) , 设平面 AEF 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1,0,﹣2) ,

设平面 AFG 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 c=1,得 =(﹣ ,﹣2,1) ,

设平面 AEF 与平面 AFG 的夹角为 θ,

则 cosθ=|cos<

>|=

=

=



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20.已知点 P(x0,3)与点 Q(x0,4)分别在椭圆

+

=1 与抛物线 y2=2px(p>0)上.

(1)求抛物线的方程; (2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (y1≤0,y2≤0)是抛物线上的两点,∠AQB 的角平分 x AB y 线与 轴垂直,求直线 在 轴上的截距的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)分别代入 P,Q 的坐标,解方程求得 P 即可点到抛物线的方程; (2)根据条件判定直线 QA、QB 的斜率关系,求出直线 AB 的斜率,再设出直线 AB 的方 程,和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程,由判别式大于 0,且 y1y2≥0,求得 直线 AB 在 y 轴上的截距的取值范围. 【解答】解: (1)由题意可得 + =1,

解得 x0=2(﹣2 舍去) , Q 2 4 即有点 ( , )分别在抛物线 y2=2px 上, 即有 16=4p, 解得 p=4,则有抛物线的方程为 y2=8x; (2)由(1)知点 Q 的坐标为(2,4) , 由∠AQB 的角平分线与 x 轴垂直, 可得 QA、QB 的倾斜角互补,即 QA、QB 的斜率互为相反数, 设 QA 的斜率为 k,则 QA:y﹣4=k(x﹣2) ,k≠0, 与抛物线方程联立,可得 y2﹣ y﹣16+ 方程的解为 4、y1, 由韦达定理得:y1+4= ,即 y1= ﹣4, 同理 y2=﹣ ﹣4, 又 y12=8x1,y22=8x2,
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=0,

∴kAB=﹣1, 设 AB:y=﹣x+b,与抛物线方程联立可得 y2+8y﹣8b=0, 由韦达定理得:y1+y2=﹣8,y1y2=﹣8b, ∵△=64+32b>0? b>﹣2,y1?y2=﹣8b≥0? b≤0, ∴﹣2<b≤0, 即直线 AB 在 y 轴上的截距的取值范围是(﹣2,0]. 21.已知 a∈R,函数 f1(x)=x2,f2(x)=aln(x+2) . (Ⅰ)令 f(x)= ,若函数 f(x)的图象上存在两点 A、B 满足 OA⊥OB

(O 为坐标原点) ,且线段 AB 的中点在 y 轴上.求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g(x)=f1(x)+f2(x)存在两个极值点 x1、x2,求证:g(x1)+g(x2)>2. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)不妨设 A(t,aln(t+2) ) ,B(﹣t,t2) ,利用 OA⊥OB,再分离参数,即可 求 a 的取值集合; (Ⅱ)函数 g(x)=f1(x)+f2(x)存在两个极值点 x1、x2,g′(x)=0,即 2x2+4x+a=0 在 (﹣2,+∞)上存在两个不等的实根,可得 0<a<2,x1+x2=﹣2,x1x2= ,表示出 g(x1) +g(x2) ,确定其单调性,即可证明 g(x1)+g(x2)>2. 【解答】解: (Ⅰ)由题意,不妨设 A(t,aln(t+2) ) ,B(﹣t,t2) (t>0) ∴OA⊥OB, ∴﹣t2+at2ln(t+2)=0, ∴a= ,

∵ln(t+2)∈(ln2,+∞) , ∴a 的取值集合为(0, ) ;

(Ⅱ)g(x)=f1(x)+f2(x)=x2+aln(x+2) , ∴g′(x)= ,

∵函数 g(x)存在两个极值点 x1、x2, ∴g′(x)=0,即 2x2+4x+a=0 在(﹣2,+∞)上存在两个不等的实根, 令 p(x)=2x2+4x+a, ∴△=16﹣8a>0 且 p(﹣2)>0, ∴0<a<2, ∵x1+x2=﹣2,x1x2= , ∴g(x1)+g(x2)=x12+aln(x1+2)+x22+aln(x2+2) =(x1+x2)2﹣2x1x2+aln[x1x2+2(x1+x2)+4]=aln ﹣a+4 令 q(x)=xln ﹣x+4,x∈(0,2) ,

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∴q′(x)=ln <0, ∴q(x)在(0,2)上单调递减, ∴2<aln ﹣a+4, ∴g(x1)+g(x2)>2. 请考生在第(22)、 (23)、 (24)三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。 [选 修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A,B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C, 点 G 为弧 中点,连接 AG 分别交⊙O,BD 于点 E,F,连接 CE. (1)求证:CE∥DG; (2)求证: = .

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (1)连接 AB,由圆周角定理,及 G 为弧 中点,求出∠BDG=∠BCE,从而证出 直线平行; (2)可得∠GAD=∠FCE,∠CEF=∠ABC=90°,进而得到△CEF∽△AGD,根据相似三角 形对应边成比例. 【解答】证明: (1)已知 AD 为⊙M 的直径,连接 AB, 如图示:

∵点 G 为弧 中点, ∴∠BAG=∠BDG,而∠BCE=∠BAG, ∴∠BDG=∠BCE, ∴CE∥DG; (2)由(1)得: ∠BCE=∠BAE,∠CEF=∠ABC=90°, 由点 G 为弧 BD 的中点可知∠GAD=∠BAE=∠FCE, 故△CEF∽△AGD,
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所以有:

=



[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的参 数方程为 φ 为参数) , 直线 l 的极坐标方程为 2π]. ρcosθ+ρsinθ=﹣5, θ∈[0,

(1)求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 截直线 l 所得的弦长. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)用 x,y 表示出 cosφ,sinφ,根据同角三角函数的关系消去参数得到普通方程, 将 ρcosθ=x,ρsinθ=y 代入直线 l 的极坐标方程得到直线 l 的普通方程. (2)求出曲线 C 的半径和弦心距,利用垂径定理求出弦长. 【解答】 解: (1) ∵曲线 C 的参数方程为 ∴曲线 C 的普通方程为( )2+( sinφ= (φ 为参数) , ∴cosφ= , )2=1,即 x2+(y﹣1)2=16. x+y+5=0. =3. ,

将 ρcosθ=x,ρsinθ=y 代入直线 l 的极坐标方程得

(2)曲线 C 是以(0,1)为圆心,以 4 为半径的圆,点 C 到直线 l 的距离 d= ∴曲线 C 截直线 l 所得的弦长为 2 =2 .

[选修 4 一 5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|. (1)解不等式:f(x)≤4; (2)对? x∈R,a2﹣|a|≤f(x) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)利用零点法,去除绝对值符号,解相应的不等式,最后综合讨论结果,可得答 案; (2)先利用绝对值三角不等式求 f(x)的最小值,进而利用零点分段法,可得实数 a 的取 值范围. 【解答】解: (1)当 x<1 时,不等式 f(x)≤4 可化为:4﹣2x≤4,解得:x≥0, ∴0≤x<1; 当 1≤x≤3 时,不等式 f(x)≤4 可化为:2≤4,恒成立; 当 x>3 时,不等式 f(x)≤4 可化为:2x﹣4≤4,解得:x≤4, ∴3<x≤4, 综上可得:原不等式的解集为:[0,4]; (2)∵f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|=|1﹣x|+|x﹣3|≥|1﹣x+x﹣3|=2. 若对? x∈R,a2﹣|a|≤f(x) , 则 a2﹣|a|≤2, 当 a≥0 时,即 a2﹣a﹣2≤0,解得:﹣1≤a≤2, ∴0≤a≤2, 当 a<0 时,即 a2+a﹣2≤0,解得:﹣2≤a≤1,
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∴﹣2≤a<0, 综上可得实数 a 的取值范围为:[﹣2,2].

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2016 年 8 月 13 日

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