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2013年数学高考总复习重点精品课件:4-1角的概念的推广与任意角的三角函数 74张

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

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第四章

三角函数与三角形

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●课程标准 一、任意角的三角函数 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数 () 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 1 定义.

第四章

三角函数与三角形

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() 借 单 圆 的 角 数 推 出 导 式 2 助位中三函线导诱公 的弦余、切 正、弦正

π ( ±α,π±α 2

), 画 能 出 y=s x,y=cs x,y=tn x的 n i o a 图

象了三函的期. ,解角数周性 () 借 图 理 正 函 、 弦 数 3 助象解弦数余函在
? π π? 在 ?-2,2? 上 性 的质 ? ?

[2 π], 切 数 0 , 正函 x轴 点 交

(如 调 、 大 最 值 图 与 单性最和小、象

等). () 理 同 三 函 的 本 系 : 4 解角角数基关式 s x n i a cs x=tn x. o
第四章 三角函数与三角形

s 2x+cs 2x=1, n i o

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() 结合具体实例,了解y=As ( x +φ)的实际意义;能借 5 n ω i 助计算器或计算机画出y=As ( x +φ)的图象,观察参数A, n ω i ω,φ对函数图象变化的影响. () 会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是 6 描述周期变化现象的重要函数模型.

第四章

三角函数与三角形

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二、三角恒等变换 1.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的 内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

第四章

三角函数与三角形

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三、解三角形 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦 定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题.

第四章

三角函数与三角形

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●命题趋势 从近几年的各省高考试卷看,试题内容主要有以下几种类 型:一是重点考查两域(定义域、值域)四性(单 、 偶 周 调奇、 期、对称),尤其是图象变换、周期、单调性与最值,题型多为 选择题、填空题,但也出现中低档的解答题;二是考查三角函 数式的恒等变形,利用公式求值,解决简单综合问题,难度为 中等或易题;三是简单的应用正、余弦定理判断三角形的形状 的选择、填空题,一般为容易题;四是将三角函数的图象与性 质,三角恒等变换,平面向量及不等式等融合在一起,有一定 的综合性的大题.但总体上来看,大题的难度明显降低.
第四章 三角函数与三角形

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角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行.对求 角的集合的交、并等计算技能的考查,有一定综合性,涉及 的知识点较多,不过多比较浅显.三角函数的意义与三角函 数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考 查. 三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、周期 性、单调性、有界性、对称性及图象的平移和伸缩变换等, 多以小而活的选择题和填空题的形式出现,有时也会出现以 函数性质为主、结合图象的综合题.尤其是y=As ( x +φ) n ω i 的图象与性质考查较多.
第四章 三角函数与三角形

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三函的简值最问,要查角角数 角数化求及值题主考同三函 的本系,角数诱公,、、、、积 基关式三函的导式和差倍半和 互公在三函值的用考利三公进恒 化式求角数时应,查用角式行 等形技,及本算能,别出理法考 变的能以基运的力特突算方的 查 . 解角主考应正余定对知进变、 三形要查用、弦理已式行形 求或定角的状 值判三形形.

第四章

三角函数与三角形

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近年高考命题强调以能力立意,加强对知识综合性和应用 性的考查,跨学科应用是三角函数的一个鲜明特点、与不等 式、平面向量、数列、解析几何、立体几何等都可能结合起 来,重点仍是与平面向量的结合.

第四章

三角函数与三角形

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●备考指南 1.任意角的三角函数和三角恒等变换的复习,要立足于 教材,弄清公式的来龙去脉及适用条件,掌握基本的三角变 换,要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训练,以增强变 换的意识;同时,要归纳解题思路及解题规律,如在三角函数 求值问题中,一般是用基本公式,把未知角变换为已知角来 解;在求最值、周期问题中,其思路是合理运用公式把已知表 达式化为一个角的一种三角函数式来求解,由于新课标对三角 变换的要求降低了很多,因此复习时选题不宜太难,注重通性 通法,要重视对有关结论的掌握,不要刻意追求特别技巧.
第四章 三角函数与三角形

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2.解三角形的复习应弄清应用正弦定理和余弦定理解决 三角形问题的基本题型与思路,会应用面积公式,注意解的 讨论. 体会如何用代数方法解决几何问题,学习将实际问题中 的长度、角度看成三角形中的边和角,将实际问题转化为解 三角形的问题,并注意边角关系与解析几何、立体几何的联 系问题. 注意加强化简、求值或判断三角形的形状等问题的训练 和立体几何中的计算、与向量的结合等方面的练习.
第四章 三角函数与三角形

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3.本章试题多以选择题、填空题的形式出现,因此复习 中要重视选择题、填空题的一些特殊解题方法训练,如:数 形结合法、代入检验法、特殊化法、待定系数法、排除法 等.另外,在求有关三角函数的最值问题时,有时可用换元 法将问题转化为一元二次函数的最值来解决,这也是常用的 方法

第四章

三角函数与三角形

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4.三角函数是以实数为自变量的函数,复习时要注意函 数思想的应用,新教材突出了应用问题的地位,今后的高考 会继续体现,而对三角的综合考查将继续向三角形问题中伸 展及与平面向量综合,或与不等式、复数、解析几何、立体 几何相联系,故应注意这方面的训练.与概率知识的交汇应 予以关注. 5.注意单位圆在三角函数复习中梳理知识,探寻解法等 应用.

第四章

三角函数与三角形

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第四章
第 节 一 角 概 的 广 任 角 三 函 的 念 推 与 意 的 角 数

第四章

三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第四章

第一节

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基础梳理导学

第四章

第一节

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重点难点

引领方向

重点:1.终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法; 2.角度数与弧度数的换算; 3.三角函数的定义; 4.各三角函数值在每个象限的符号; 5.特殊角的三角函数值. 难点:1.三角函数定义及符号. 2.弧度制.

第四章

第一节

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夯实基础

稳固根基

1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到

逆 另一个位置所成的图形,按____时针方向旋转所形成的角叫 顺 做正角,按____时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条
射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.

第四章

第一节

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2.象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴 非 半 重 的负轴

终边 合.角的_____落在第几象限,就说这个角是第几象限角.
3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合{| =α+k6° β 30 · ,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z},前者α用

角度制表示,后者α用弧度制表示.

第四章

第一节

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4.弧度制

半径 把长度等于_____长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.以
弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号 是rd , 常 去 写 度 弧 的 算 系 下 a 通略不.与度换关如: 180° π a1 =___rd° , π =180rdrd a1 ,a 180 =( π ) ° .

5.弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 2lr |α|· r 扇形弧长l=______,扇形面积S=_____.

第四章

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6.任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x, y x y),P到原点的距离是r(r>0),那么s α= r ,cs α= r ,tn α= n i o a y (x≠0)分别叫做角α的 弦 余 、 切 正、弦正. x

第四章

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7.正 、 弦 正 函 的 义 弦余、切数定域 三函 角数 y=s α n i y=cs α o y=tn α a 定域 义 R R π {α|α≠kπ+2,k∈Z}

第四章

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8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示:

三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ两切,Ⅳ余 弦.

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疑难误区

点拨警示

1. 入 度 后 角 表 要 采 弧 制 要 采 引弧制,的示么用度,么用 角度制,两者不可混用. 2.() 相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定 1 相 ,边 同 等终 相 的 角 无 个它 之 相 有 数 ,们 间 差 360° 整 倍解 的数.

三角方程时,一定要注意终边相同的角.

第四章

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() 角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴的 2 π 负半轴上的角的集合可以表示为{x|x=2kπ-2,k∈Z},也可 3π 以表示为{x|x=2kπ+ ,k∈Z}等. 2 3. 三 函 中 角 三 函 值 对 关 是 对 , 在 角 数 ,和 角 数 的 应 系 多 一 即给定一个角,它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外);反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和 它对应.

第四章

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4. 切 数 正函 不是 R.

y=tn x 的 义 是 a 定域

π {x∈R|x≠kπ+ ,k∈Z}, 2

5. 断 角 数 的 号 , 特 注 角 在 限 判三函值符时应别意所象的 确定,不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况. 6.下列概念应注意区分 小于 90° 的角;锐角;第一象限的角;0° ~90° 的角. 7.三角函数定义中,角 α 的三角函数值仅仅与角 α 的终 边位置有关,而与终边上点 P 的位置无关.

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思想方法技巧

第四章

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一、构造思想 [例1]
? π? 已知:α∈?0,2?,求证:s n i ? ?

α<α< α. a tn

分析:构造单位圆,利用单位圆中的三角函数线及三角 形和扇形的面积来证明.

第四章

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证 : 设 α与 位 交 明 角 单圆于 如所, 图示

P,则 MP=s α,AT=tn α, n i a

PA 的 l=α.连 AP. 长 结

1 1 △P A 的 积 O 面 = 2OA· MP=2s α. n i 1 1 扇 OP 的 积 形 A 面 = 2l· OA=2α. 1 1 △OT 的 积 A 面 = OA· AT= a α. tn 2 2 ∵S△PA <S 扇 形 O
O A P

<S△O A T

1 1 1 , s α< α< tanα. 即 n i 2 2 2

∴s α<α< α. n i a tn
第四章 第一节

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二、解题技巧 1. 用 角 数 定 解 问 , 般 在 的 边 利三函的义决题一可角终上 任取一点或取某个特殊点. 2. 简 三 不 式 常 利 单 圆 的 角 数 解单角等通是用位中三函线 求解. α α 3.利用单位圆判断 2α、3α、2、3所在象限问题.

第四章

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[例 2]

已 角 α 是第 n(n=1、2、3、4)象 的 , 知 限角问

α 是 2

第几象限的角?

第四章

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解析:如 : 单 圆 各 限 圆 都 图把位在象的弧 分母),从∠A B 开 逆 针 次 上 O 始时依标

α 2 等分(2 是 的 2 1、2、3、4, 循 一 再环

α 遍,直到填满为止,则有标号 n 的就是 所在象限数. 2 α 如 n=4,2是第二或第四象限的角.用同样的方法也可求 α α 3,4所在象限.

第四章

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α α 上图左是求3的方法,上图右是求4的方法.

第四章

第一节

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一 地要 定 般 ,确

θ 所 的 限可 把 个 限 在 象 ,以 各 象 都 n

n 等分,

从 x 轴的非负半轴起,按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环 标上号码 1、2、3、4,则标号是几的区域,就是 θ 为第几象 θ θ 限的角时, 终边落在的区域, 所在的象限就可直观地看出. n n

第四章

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考点典例讲练

第四章

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终边相同的角与角所在象限的判断

[例1] ( )

(01 21·

广州模拟)已知cs θ· θ<0, 么 o a tn 那 角 θ是

A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角

第四章

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解析:∵cs θ· θ=s θ<0,cs θ≠0. o a tn n i o ∴θ为第三、四象限角,故选C.

答案:C

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若s θ<o θ, s θ· θ<0, θ在( n cs i 且 n cs i o 则 A. 一 限 第象 C. 三 限 第象 B. 二 限 第象 D. 四 限 第象

)

第四章

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解析:由条件可知:cs θ>> o 0s n i 故选D.

θ,则θ为 四 限 , 第象角

答案:D

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任意角的三角函数的定义

[例2]

(文)若一个角α的终边上有一点P(-4,a),且 )

3 s α· α= ,则a的值可能为( n cs i o 4 A.4 3 B.± 3 4 3

C.-4 3 D .

第四章

第一节

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解析:依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a) 3 3 在其终边上且s α· α= 4 ,易得tn α= 3或 3 , n cs i o a 4 3 则a=-4 3或- 3 .

答案:C

第四章

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(理)α是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且cs α o 2 = 4 x,则s α的值为( n i 10 A. 4 B . 2 C. 4 6 4 )

10 D.- 4

第四章

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x 2 解析:∵OP= x +5,∴cs α= 2 o = x, x +5 4
2

又因为α是第二象限角,∴x<0,得x=- 3, 5 10 ∴s α= 2 n i = 4 ,故选A. x +5

答案:A

第四章

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已 角 α的 边 过 知 终经点 为____ ____ .

P( s n i

7 π 7 π ,cs o ), s α+cs α的值 则n i o 4 4

第四章

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2 2 解 : 已 P(- , ),∴r=1, 析 知 2 2 2 2 ∴s α= 2 ,cs α= 2 ,∴s α+cs α=0 n i o - n i o .

答案:0

第四章

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三角函数值的符号的判断

[例3]

() 若θ是 二 限 , 断 1 第象角判 -s6 n) i 的号 符.

s ?cs θ? n o i 的符号; cs ?s2 θ? o n i

() 确定l(o 2 gs c6

分析:确定符号,关键是看角所在象限.

第四章

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π 解析:() ∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z), 1 2 ∴-1cs <o θ<4 kπ+π2 θ<4kπ+2π, 0 , <

-1≤s2 θ<0, n i ∴s(o ns ic θ)0 ,cs2 < on ( s i θ)0 >.

s ?cs θ? n o i s ?cs θ? n o i ∴ <. ∴ 0 的符号是负号. cs ?s2 θ? o n i cs ?s2 θ? o n i

第四章

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() ∵6为第四象限的角 2 ∴cs> o0 6 ∵(o cs 6 ,s60 n< i -s6 n) i
2

,故cs -s60 o 6 n> i =1-26o scs n6 i =1-s1> n21 i

(2 是第四象限的角) 1 ∴cs 6-s61 o n> i ∴l(o gs c6 -s6 n) i ,∴l(o gs c6 -s60 n) . i>

的号正. 符为号

点评:此题主要考查三角函数在各象限内的符号,当用 弧度表示的角不好判定所在象限时,可转化成角度来表示.

第四章

第一节

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点P(21° s04 n i

,tn04 a21° )

位于(

)

A.第一象限 C.第三象限

B. 二 限 第象 D.第四象限

第四章

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解析:∵2014° =360° ×5+214° 为第三象限角, ∴tn040 a21° > ,s21° n040 i < ,∴点P在第二象限.

答案:B

第四章

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弧长公式的应用

[例4] 1c 0 m

已一形中角 知扇的心是

60° ,所在圆的半径R=

,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.

第四章

第一节

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π 解析:设弧长为l,弓形面积为S弓,因为α=60° ,R= = 3 10 10,所以l= 3 πm () c ,

1 10 1 S弓=S扇-S△= × π×10- ×102s6° n0 · i 2 3 2 π 3 =50(3- 2 )m ( c
2

).

第四章

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点评:涉及弧长和扇形面积的计算,可用的公式有用角 度和弧度表示的两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记 好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示. 1 2 弧长和扇形面积公式:l=|α|r,S= |α|r . 2

第四章

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(文)点 P 从(0 1) , 2 π 动3弧 到 长达

出,单圆 发沿位

x2+y2=1 按 时 方 运 逆针向 ____ ____ .

Q点 则 Q点 坐 为 , 的标

第四章

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解析:由三角函数的定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x 2π 2π 1 3 =cs 3 ,y=s 3 ,故 Q 点坐标为(-2, 2 ). o n i

1 3 答案:(-2, 2 )

第四章

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(理)一扇形的周长为 20, 这 扇 的 积 大 , 形 当 个 形 面 最 时扇 的中心角为________rad.

第四章

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解析:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20. 即 l=20-2r(< r<0 .① 0 1) 1 1 扇形的面积 S=2lr,将①代入,得 S=2(0 -2r)r=-r2 2 +10r=-(r-5)2+25, 所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25. l 此时 l=20-2×5=10,α= =2. r 所以当 α=2d r a
答案:2
第四章 第一节

时扇的积最值 ,形面取大.

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课堂巩固训练

第四章

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一、选择题 1.(文)角 α 的 边 过 终经点 5 A. 5 5 C.- 5 2 5 B. 5 2 5 D.- 5 P(-1,2),则 s α=( n i )

[答案]

B

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[解析]

由角数定 三函的义

知, x=-1, y=2, r= x2+y2

y 2 5 = 5,∴s α= = n i . r 5

第四章

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( 理 )02 ( 1· 2 P(4° s0 n i

河南洛阳统考 ,锐 则角

) 已知锐角 α 等于( )

α 的终边上一点

,1+cs0 o° 4)

A.8° 0B C.2° 0D

.70° .10°

[答案]

B

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1+cs0 o° 4 [解析] a α= tn s4° n0 i 所以锐角 α=7° 0 .

cs0 o° 2 = s2° n0 i

s7° n0 i = cs0 o° 7

=tn0 a7°



第四章

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2.(文)若 s2 α>0 且 cs α<0,则 α 是( n i o A.第二象限角 C.第三象限角 B. 一 第 象 角 第或三限 D.第二或第三象限角

)

[答案]

C

第四章

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[解析]

∵s2 α=2 αcs α>0,cs α<0,∴s α<0,∴α n i s n i o o n i

为第三象限角.

第四章

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(理)设 0≤θ<π ,如果 s θ>0 且 cs θ>0,则 θ 的取值范 2 n i o 2 围是( )

3π π 3π A.0<θ< 4 B.0<θ<4或 4 <θ<π 3π C. <θ< π 4 3π 5π D. <θ< 4 4

[答案]

B

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[解析]

∵0≤θ<π ,且 s θ>0,∴0<θ<. 2 n i π

π π 又由 cs θ>0 得,2kπ-2<2θ<2kπ+2, o 2 π π 即 kπ- <θ<kπ+ (k∈Z).∵0<θ<π, 4 4 π 3π ∴θ 的取值范围是 0<θ<4或 4 <θ<. π

第四章

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3.(03 21·

浙江金华一中 12 月月考)△ABC 的 角 A 满足 内 )

a A-s A<0,s A+cs A>0,则角 A 的取值范围是( tn n i n i o π A.(0,4) π 3 C.( , π D ) 2 4
[答案] C

π π B.(4,2) 3 .( π,π) 4

第四章

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走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学

[解 ] 析 角排 ,除 C. [点 ] 评

由 a A-s A<0 及 A 为△ABC 的 角 , A 为 tn n i 内知 钝 3 π s A+cs A>0 知 A< 4 , 除 n i o , 排 D, 选

A、B; 由 再

①可 特 检 , 取值验取

π 2 π A=3, 3 , 除 A、B、D; 排

②可 用 位 中 三 函 线 解 利单圆的角数求.

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二、填空题 4. 知 已点 P( α,cs α)在 三 限 则 a tn o 第象,角 α 的终边在第

________象限.

[答案]



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[解析]

∵点 P 在 三 限 第象,

?a n ?t ∴? ?cs ?o

α<0, α<. 0

∴角 α 的终边在第二象限.

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