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2016-2017学年惠州市第一学期高一数学期末考试答案(最终版 )

2016-2017学年惠州市第一学期高一数学期末考试答案(最终版 )


惠州市 2016—2017 学年第一学期期末考试 高一数学试题参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 B 11 A 12 D

1. 【解析】∵集合 A ? {1,2} , B ? {2,3} ,∴ A ? B ? {1,2,3}

? 全集 U ? {1,2,3,4},∴ CU ( A ? B) ? {4} ,故选 A.
2. 【解析】? f ( x) ? a x 过定点 (0,1) ,? f ( x) ? a x ?1 过定点 (1,1) ,故选 D.

?2 x ? 3 ? 0 3 , x ? 且 x ? 2 ,故选 B. 2 ?x ? 2 ? ? 2? 4. 【解析】函数 y ? sin( x ? ) 的最小正周期是 T ? ? 8 ,故选 D. ? 4 2 4 ? ? 5. 【解析】函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象经过点 ( ,0) ,则 sin( ? ? ) ? 0 ,代入选项可得选 D. 3 3 ? ? 6. 【解析】 a ? b ? 2 ? 2m ? 1 ? 3 ? 2 ? m ? 3 ,故选 C.
3. 【解析】由题知 ? 7. 【解析】将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动 解析式为 y ? sin( x ?

?
10

? 个单位长度,所得函数图象的 10

) ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得 1 2

图象的函数解析式是 y ? sin( x ?

?
10

) ,故选 C.

8. 【解析】? ?ABC 是等边三角形,? ?B ? 又? BC ? 5 ,

?
3

, ? ? AB , BC ??

2? , 3

AB ? BC ? 5 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2? 5 ? AB ? BC ? AB ? BC cos ? AB, BC ?? 5 ? 5 cos ? ? ,故选 B. 3 2
9. 【解析】由于 f (? x) ? e? x ? e?( ? x ) ? e x ? e? x ? f ( x) ,故 f ( x) 是偶函数, 由于 g (? x) ? e? x ? e?( ? x) ? e? x ? ex ? ?(ex ? e? x ) ? ? g ( x) ,故 g ( x) 是奇函数, 故选 D.

高一数学试题答案

第 1 页,共 6 页

10. 【解析】若 f ( x) ? loga x ,对任意的 x ? 0, y ? 0 ,

f ( x ? y) ? loga xy ? loga x ? loga y ? f ( x) ? f ( y) ,故选 B.
11. 【解析】根据题意知 f ( x) 为偶函数,所以 f (lg x) ? f ( lg x ) , 又因为 x ?[0,??) 时, f ( x ) 在上减函数,且 f (lg x) ? f ( lg x ) ? f (1) , 可得所以 lg x ? 1 , ∴ ? 1 ? lg x ? 1 ,解得 12. 【解析】由函数 y ? x, y ? x 2 的图像知, 当 a ? 0 时,存在实数 b ,使 y ? b 与 y ? f ( x) ? x , x ? a 有两个交点;
2

1 ? x ? 10 .故选 A. 10

当 a ? 0 时, f ( x) 为单调增函数,不存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点;
2 当 0 ? a ? 1 时,存在实数 b ,使 y ? b 与 y ? f ( x) ? x , x ? a 有两个交点;

所以 a ? 1 且 a ? 0 ,故选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

3 3

14. 70

15.

3

16. ?

1 ?1? 5 或 2 2

13. 【解析】 tan( ?

7? 7? ? ? 3 . ) ? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? ? tan ? ? 6 6 6 6 3

14. 【解析】 ( 2 ? 3 3)6 ? log2 (log2 16) ? ( 2)6 ? ( 3 3)6 ? log2 4 ? 8 ? 9 ? 2 ? 70 . 15. 【解析】由题可得: a ? 2b ? (a ? 2b)2 ? (a) 2 ? 4a ? b ? (2b) 2

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?2 ? ? ?2 ? 1 a ? 4 a b cos ? 4 b ? 1 ? 4 ?1?1? ? 4 ? 3 . 3 2

16. 【解析】∵函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 1,0 ? x ? 1 , f (a ? 1) ? f (a) ? x ? 1, x ? 1

当 a ? ?1 或 a ? 1 ,时 f (a ? 1) ? f (a) ;
高一数学试题答案 第 2 页,共 6 页

当 ? 1 ? a ? 0 即 0 ? a ? 1 ? 1 时, 由 f (a ? 1) ? f (a) 得 ? (a ? 1)2 ? 1 ? ?a2 ? 1 , 解得 a ? ?

1 ; 2

当 0 ? a ? 1 即 1 ? a ? 1 ? 2 时,由 f (a ? 1) ? f (a) 得 (a ? 1) ? 1 ? ?a2 ? 1, 解得 a ?

1 ?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 . (舍去) ;综上: a ? ? 或 a ? , a? 2 2 2 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? sin( 2 x ? 由? 得?

?
3

), x? R ?

?
?
12 2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
3

?
2

? 2k? , k ? Z

---------3 分

5? ? k? , 12

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)? x ? [0,

?
12 ?

? k? , 2? 3

?
2

]

? ?

?
3

? 2x ?

?
3

5? ? k? ] , k ? Z . 12

---------5 分

---------7 分

? 由三角函数图象可得 ?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

----------9 分

? 3 ,1] . ? 当 x ? [0, ] , y ? g ( x) 的值域为 [? 2 2
18. (本小题满分 12 分)

---------------10 分

解: (Ⅰ) a / / b 则存在唯一的 ? 使 b ? ? a ,? e1 ? ? e2 ? ? ?2e1 ? e2 .

?

?

?

?

? ?

? ? ?

?

?? ?? ?

?

-----2 分

? 1 ? ?2? 1 -----------5 分 ?? ? ? ?? , ?? 2 ??? ? ?? ? ? 1 -----------------------------6 分 ? 当 ? ? ? 时, a / / b 2 ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? (Ⅱ) a ? b 则 a ? b ? 0 ,? ?2e1 ? e2 ? e1 ? ? e2 ? 0 ---------8 分

?

??
?? ?2

?

化简得 ?2e1 ? ? 2? ? 1? e1 ? e2 ? ? e2 ? 0 ,

?? 2

?? ?? ?

高一数学试题答案

第 3 页,共 6 页

?? ?? ? ? e1 , e2 是两个相互垂直的单位向量,? 解得 ? ? 2
所以当 ? ? 2 时, a ? b . 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题知 A ? 2 ,

-----------------11 分

?

?

------------------------12 分

?? ?
又?(

?

2? 2? ? ?2 T ?

T 5? ? ? ? ? ? ,则 T ? ? , 2 8 8 2

---------2 分 ---------3 分

8

,2) 在 函数 f ( x) 上,? 2 ? 2 sin( 2 ? ? ?) ? 1
--------4 分

?
8

? ?) ,

? sin( ?

?
4

?
4

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z , 即 ? ?

?
4

? 2k? , k ? Z

---------5 分 ---------6 分

又?

? ? ? ,? ? ?
?
4

?
4

, ? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

).

(Ⅱ)由 f ( x) ? 2sin(2 x ? 所以 2 x ? 即x??

) ? 1 ,得 sin(2 x ?

?
4

)?

?
4

?

?
6

? 2 k? 或 2 x ?

?
4

?

?

24

? k? 或 x ?

7? ? k? , k ? Z 24

5? ? 2k? , k ? Z 6

1 2

-------------9 分 ----------------11 分

实数 x 的集合为 ? x | x ? ? 20. (本小题满分 12 分)

?

24

? k? 或 x ?

7? ? k? , k ? Z ? 24

---------12 分

解: (Ⅰ)? f ( x) 为定义在 (?1,1) 上的奇函数,? f (0) ? 0 ,即

n ?0, 1

? n ? 0 ,? f ( x) ?

mx 1? x2

-------------2 分

m 1 2 2 又? f ( ) ? ,? 2 ? ,解得 m ? 1 1 5 2 5 1? 4

? m ? 1, n ? 0 .
(Ⅱ)由(1)可知 f ( x) ?

-------------4 分

x , x ? (?1,1) 1 ? x2

设任意的 x1 , x2 ,且 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1,
高一数学试题答案 第 4 页,共 6 页

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x2 ? 2 2 1 ? x1 1 ? x2
2 2 2 2

------------6 分

x ?xx ?x ?x x x ?x ?xx ?x x ? 1 1 2 2 2 22 1 ? 1 2 2 1 2 22 1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
? ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ( x2 ? x1 ) ( x1 ? x2 )(1 ? x1x2 ) ? 2 2 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )

---------8 分

? ? 1 ? x1 ? x2 ? 1,

? ? 1 ? x1 x2 ? 1, 1 ? x1x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0,
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数.
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知当 x ? 10 时, y ? 100x ? 575 ,

--------10 分

-------------12 分

当 x ? 10 时, y ? [100? 3( x ? 10)]x ? 575 ? ?3x 2 ? 130x ? 575 由?

?100 x ? 575 ? 0
2 ?? 3 x ? 130 x ? 575 ? 0

---------------3 分

解之得: 5.75 ? x ?

130 ? 1302 ? 12 ? 575 130 ? 10000 230 ? ? ? 38.3 6 6 6
---------------5 分

又? x ? N ,? 6 ? x ? 38 ∴所求表达式为 y ? ?

?100x ? 575,6 ? x ? 10, x ? N
2 ?? 3x ? 130x ? 575,10 ? x ? 38, x ? N

定义域为 x ? N 6 ? x ? 38?. (Ⅱ)当 y ? 100x ? 575, 6 ? x ? 10, x ? N 时, 故 x ? 10 时 ymax ? 425 当 y ? ?3x 2 ? 130x ? 575 ,10 ? x ? 38, x ? N 时

?

---------------6 分

---------------------------8 分

y ? ?3( x ?
高一数学试题答案

65 2 2500 ) ? , 3 3
第 5 页,共 6 页

-------------10 分

故 x ? 22 时 ymax ? 833 所以每张票价定为 22 元时净收入最多. 22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

-------------11 分 -------------12 分

1 1 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,假设 f ( x ) ? ? M , x x 1 1 ? ? 1 ,整理得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,此方程无实数解 由 x ?1 x

--------3 分

所以不存在 x ? (??,0) ? (0,??) ,使得 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) 成立,-----4 分 所以 f ( x ) ? (Ⅱ) f ( x ) ? lg

1 ?M x

-----------------------5 分 ---------6 分

a a 的定义域为 R , f (1) ? lg ,所以 a ? 0 x ?1 2
2 2

若 f ( x ) ? lg

a a a a ? M ,则存在 x ? R 使得 f ( x) ? lg ? lg 2 ? lg , 2 x ?1 2 ( x ? 1) ? 1 x ?1
2 2 2 2

整理得存在 x ? R 使得 (a ? 2a) x ? 2a x ? (2a ? 2a) ? 0
2 ①当 a ? 2a ? 0 ,即 a ? 2 时,方程化为 8 x ? 4 ? 0 ,

---------8 分

解得 x ? ?
2

1 ,满足条件; 2

---------9 分

②当 a ? 2a ? 0 时,即 a ? (0,2) ? (2,??) 时,令 ? ? 0 , 解得 a ?[3 ? 5,2) ? (2,3 ? 5 ] 综上: a ?[3 ? 5,3 ? 5 ] . -------------------------11 分 ----------------------12 分

高一数学试题答案

第 6 页,共 6 页



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