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2018年必修五《基本不等式》教学课件1

2018年必修五《基本不等式》教学课件1


3.4 基本不等式: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明 暗时它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。你能 在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗? “风车”中有哪些相等关系 和不等关系? S 直角三角形 1 ? ab 2 2 2 S正方形ABCD ? a ? b a ? b ? 2ab 2 2 S正方形ABCD ? 4S直角三角形 D a A b C B a= b 不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 a ? b ? 2ab 当且仅当a=b时,等号成立。 2 2 a ? b ? 2ab 证明: 2 2 如果a>0,b>0 ,用 a , b 分别代替a,b.我 们将得到什么结果? a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2 算术平均数 几何平均数 a?b ? ab 证明基本不等式: 2 (a ? 0, b ? 0) 要证: 只要证: a?b ? ab ① 2 a ? b ? 2 ab ② 要证②,只要证 a ? b ? 2 ab ? 0 ③ ④ 要证③,只要证 ( a ? b )2 ? 0 ④式显然成立.当且仅当a=b时, ④中的等号成立. 分析法:执果索因 在圆中,AB是圆的直径,点C是AB上一点, AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 a?b ? ab BD.你能利用这个图形,得出不等式 2 D 的几何解释吗? a?b 2 A ab C a O b B E 例 用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园,问这个 矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短篱 笆是多少? 解:设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100, 篱笆的长为2(x+y)m. 结论1:两个正 数积为定值,则 和有最小值. 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为 10m时,所用的篱笆 最短,最短的篱笆是40m. 例 一段长为 36m 的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩 形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面 积是多少? 解:设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2x+2y=36, 即x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2 结论2:两个正 数和为定值,则 积有最大值. 当且仅当x=y,即x=9,y=9时等号成立。 因此,这个矩形的长为 9m 、宽为 9m 时,菜园的面 积最大,最大面积是81 m2 。 例.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容 3 2 积为4800m ,深为3m,如果池底每1m 的造价为 150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设 计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元? 3 x y a ? b ? 2ab (a、b∈R+) 不等式 a ? b ? 2 ab 重要 2 2 结(1)两个正数积为定值,和有最小值。 论(2)两个正数和为定值,积有最大值。 应用要点:一正、二定 、三相等


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