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新课标人教A版数学必修4全部课件:正弦函数、余弦函数的图象和性质

新课标人教A版数学必修4全部课件:正弦函数、余弦函数的图象和性质


正弦函数、余弦函数的图象和性质

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?

y
1
P
T

正弦线MP

o

M

1

A

x

余弦线OM 正切线AT

三角问题

几何问题

4.8 正弦函数 .余弦函数的图象和性质 4.7 两倍角的正弦、余弦、正切
能否利用正弦线作出正弦函数的图像?

几何画板课件

在作函数 y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图像中起关键作用的点有哪些?

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
五点作图法
y
1-

? 图象的最高点 ( ,1) 2
与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
?
2

-1

o
-1 -

? 6

?

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

-

图象的最低点 ( 3?
2

,?1)

正弦曲线
y=sinx x?[0,2?]
终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z
f ( x ? 2k? ) ? f ( x) 利用图像平移

y=sinx x?R

y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

函数y=sinx, x?R的图象

正弦曲线

由正弦曲线作出余弦曲线
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x ?R 余弦函数的图象
1 -4? -3? -2? -?

?

正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同

2

y 余弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
在作函数 y ? cos x, x ?[0,2? ] 的图像中起关键作用的点有哪些?
y
-

图象的最高点 (0,1) (2? ,1)
与x轴的交点
3? (? , 0 ) ( 2 2 ,0)

1-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

图象的最低点 (? ,?1)

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解:(1 2)列表
x
sin cosx x sin x ?x 1 ? cos
0
? ? 2 2

描点作图
? 0 -1 11
3 ? 3 ? 2 2

2 2? ?

yy
2-

10 1 -1

01 02

?1 0 00

1 0 1 -1

1 1oo ?1 - ? 1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? 2?

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
(1) y

x

正弦、余弦函数的 正弦、余弦函数的图像
1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法

五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系

y
1
? ? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

正、余弦曲线
1.正弦曲线 y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

2.余弦曲线

y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

作业:
? 课本46页1(1)

1.4.2 正、余弦函数的性质

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4? -3? -2? -? -1
? ( ,1)
2

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

o y
(0,1) 1

( ? ,0) ?

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( ,-1) 2

x

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

3? ( ,0)

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

?

2

( ? ,-1)

x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (二)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期. 注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

周期公式:

函数y ? A sin(? x ? ? )和y ? Acos(? x ? ? ),x ? R的周期T ?

2? |? |

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期:

1) y ? 3cos x 2) y ? sin 2 x 1 ? 3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

练习:
? 求下列函数的周期:

3 (1) y ? sin x, x ? R 4 (2) y ? cos 4 x, x ? R 1 (3) y ? cos x, x ? R 2 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R 3 4

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性(复习)
一般地,
?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x,都有f(- x )= f( x ),那么 就说f( x )是偶函数(图像关于y轴对称) ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x,都有f(- x )= -f( x ),那 么就说f( x )是奇函数(图像关于原点对称)

结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶 函数

1.4.3 正切函数 的图象和性质

复习回顾
一.正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作简图

二.周期性:
2? 函数y ? A sin(? x ? ? )和y ? Acos(? x ? ? ),x ? R的周期T ? |? |

三.奇偶性:

y ? sin x为奇函数,图像关于原 点对称; y ? cos x为偶函数图像关于 y轴对称。

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4?

复习回顾
5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

四.单调性:
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

?

余弦函数在区间 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z)上是单调递增 , 从 ? 1到1 : 在区间 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z)上是单调递减 , 从1到 ? 1

2

? 2k? ,

3? ? 2k? ](k ? Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5?

复习回顾
6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:

y ? sin x : 定义域为R,值域[?1,1] 最大值1,此时x ?

?

2 y ? cos x : 定义域为R,值域[?1,1]

? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? ?

?
2

? 2 k? ;

最大值1,此时x ? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? 2k? ? ? ;

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

六.对称轴和对称点:
y ? sin x的对称轴:x ? k? ?

?
2

, 对称点: (k? ,0);

y ? cos x的对称轴:x ? k? , 对称点: (k? ?

?
2

,0);

正弦、余弦函数的图像和性质
函数 图像 定义域 y=sinx y=cosx

R

R [-1,1]
当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ+π(k∈Z)时ymin=-1

[-1,1]
值域 当x=2kπ+ 2 (k∈Z)时ymax=1
? 当x=2kπ+32 (k∈Z)时ymin=-1

?

周期性

T=2π

T=2π

奇偶性

奇函数

偶函数

正弦、余弦函数的图像和性质
函数

y=sinx

y=cosx

图像
增区间 : [2k? ?

?

单调性

,2k? ? ](k ? Z ) 2 2

?

增区间: [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z )

? 3? 减区间 : [2k? ? ,2k? ? ](k ? Z ) 2 2

减区间: [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z )

对称中心 :(k? ,0)(k ? Z )
对称性

对称中心 :( ? k? ,0)(k ? Z ) 2
对称轴:x ? k? (k ? Z )

?

对称轴 :x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

例 2 : 求下列函数的最大值和最小 值,并写出取最大值、最小值时自变 量x的集合。 (1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.

例4 比较下列各组数的大小:
? ( 1)

sin(?

?
18

)与 sin( ?
?
10 ??

?
10

)

解: -

?
2

??

?
18

?0

? ? ? 正弦函数y ? sin x在区间 ?- ,0? 上是增函数 ? 2 ?

? sin(?

?
18

) ? sin(?

?
10

)

23? 17 ? (2) cos(? )与 cos(? ). 5 ?
解:

例4、观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的区间:

(1)sinx>0

解:

(2k? , ? ? 2k? )(k ? Z )

(2) cosx<0
解:

3? ( ? 2k? , ? 2k? )( k ? Z ) 2 2

?

例5 、求函数

1 ? 解: 令z ? x? 2 3 ? ? [ ? ? 2 k ? , ? 2k? ] 函数y ? sin z的单调增区间 2 2

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

1 ? y ? sin( x ? )的单调增区间. 2 3

?



5? ? ? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3

1 ? 故: 函数y ? sin( x ? )的单调增区间 2 3 5? ? 为[? ? 2k? , ? 4k? ](k ? Z ) 3 3

?课本的例5怎么做?



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