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高考数学

高考数学


樊战胜资料

答疑电话:15129092181

数列典型例题选讲
1 .已知数列 {an } 为正项等比数列, a3

? 8, a5 ? 32, bn ? log2 an

(1)求 an 的通项公式; (2)设 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n
【解析】

(1)由a5 ? a3q2 ?32 ? 8q2 , q ? 2
? an ? a3q n?3 ? 2n (2)bn ? log 2 2n ? n Sn ? n(n ? 1) 2
? 1, Sn?1 ? 4an ? 2

2 .设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1

(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.
【解析】(I)由 a1

? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3

由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,...① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 .....② ②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4
3 .已知等比数列 {an } 中, a1 ? 3, a4 ? 81 (n ? N* ) .

(Ⅰ)若 {bn } 为等差数列,且满足 b2 ? a1 , b5 ? a2 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an ,求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . b b ? n n ?1 ?

【解析】(Ⅰ)在等比数列 {an } 中, a1 ? 3, a4 ? 81 .

所以,由 a4 ? a1q3 得 81 ? 3q3 ,即 q3 ? 27 , q ? 3

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因此, an ? 3 ? 3n?1 ? 3n 在等差数列 {bn } 中,根据题意, b2 ? a1 ? 3, b5 ? a2 ? 9 可得, d ?

b5 ? b2 9 ? 3 ? ?2 5?2 3

所以, bn ? b2 ? (n ? 2)d ? 3 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ? 1 (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an ,则 bn ? log3 3n ? n , 因此有
1 1 ? ? b1b2 b2 b3 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? bn bn ?1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 ? 1 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 3 4
5 .已知数列

1 1 1 n ?( ? ) ?1? ? n n ?1 n ?1 n ?1
且满足 Sn ? 2an ? n , (n ? 1, 2,3,.....)

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

( I ) 求 a1, a2 , a3 的值; (II) 求证数列 {an ? 1}是等比数列; ( III ) 若 bn ? nan , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
【解析】(I)因为 Sn

? 2an ? n ,令 n ? 1 , 解得 a1 ? 1,

再分别令 n ? 2, n ? 3 ,解得 a2 ? 3, a3 ? 7 (II)因为 Sn ? 2an ? n ,所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1) , 两个代数式相减得到 an ? 2an ?1 ? 1 所以 an ? 1 ? 2 (an ?1 ? 1 ) , (n ? 1, n ? N ) 又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1}构成首项为 2, 公比为 2 的等比数列 (III)因为 {an ? 1}构成首项为 2, 公比为 2 的等比数列,所以 an ? 1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1 因为 bn ? nan ,所以 bn ? n ? 2 ? n
n

(n ? 1, n ? N )

所以 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ......? (n ? 1)2n ?1 ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ... ? n) 令
1 2 Hn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?3 3 ? 2 ?. .n .? ( n? 1 1) ? n 2? n

2 (2)

(1)

2 ? Hn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? (n ?1)2n ? n ? 2n?1
(1) ? (2)得: ? H n ? 21 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2 ( 1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2

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因此 Hn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 所以
6 .已知

Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ?

n(n ? 1) . 2

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成 等 差 数 列 . 又 数 列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此 数 列 的 前 n 项 的 和 2 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) . (1)求数列 {an } 的第 n+1 项; x,
(2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an
f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2
2

【解析】(1)?

x,

f ( x) ?2 ? x ? 3 2

∴ f ( x) ? ( x ? 3) . ∵ S n ? f ( S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f ( S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3 ) 2 , ∴ Sn ?

Sn?1 ? 3, Sn ? Sn?1 ? 3,

∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列. ∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ? ∴ S n ? 3n (n ? N ? ).
2

S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,

∴ an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3.
2 2

(2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 an?1a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

7 .设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 bn

? 2 ? 2Sn ;数列 {an } 为等差数列,且 a5 ? 14, a7 ? 20 ?
7 ? 2

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n ? 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证 Tn ?

【解析】(1)由 bn ? 2 ? 2 S n , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? 2 S1 , 又S1 ? b1 , 所以b1 ?

2 3

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2 9 当n ? 2时,由bn ? 2 ? 2Sn , 可得bn ? bn ?1 ? ?2(Sn ? Sn ?1 ) ? ?2bn b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ), 则b2 ? bn 1 ? bn?1 3 即

2 1 1 所以?bn ? 是以b1 ? 为首项,为公比的等比数列,于是bn ? 2 ? n 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d ? (a7 ? a5 ) ? 3, 可得an ? 3n ? 1 2 1 从而 cn ? an ? bn ? 2(3n ? 1) ? n 3

1 1 1 1 ?Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? … ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? … ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 d 1 1 ? Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? … ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 3 3
从而 Tn ?

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 ? 2 2 3 3 2 1 n ?1 ) an ? n n 2

8 .在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

an ,求数列 {bn } 的通项公式(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn n a a 1 1 【解析】(I)由已知有 n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * 利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式 bn ? 2 ? n ?1 ( n ? N ) 2
(1)设 bn ? (II)由(I)知 an ? 2n ?
n n n n n k k , = S (2 k ? ) ? (2 k ) ? ? ? ? n ? n ?1 k ?1 k ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?
2

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

9 . a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列

?an ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,

且 Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

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【解析】(1)由 a2

? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn ?1 3

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 n? N? n 3

?

?

(2) c n ? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 ? , 3n 3n

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 ? n ?1 ? ? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? 1 9 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? ? n ?1 ? 1 3 3 3 ? 3 ? ?3 3 ? ?3 ? 3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 3n
在直线

? Sn ? 2 ?
10.已知数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,且 an 是 S n 与 2 的等差中项,数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,点 P?bn , bn?1 ?

x ? y ? 2 ? 0 上?
(Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项 an 和 bn ; (Ⅲ) 设 cn ? an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ?
【解析】(1)∵ an 是 S n 与 2 的等差中项,

∴ S n ? 2an ? 2 ? 解得 a 2

∴ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 解得 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? S 2 ? 2a2 ? 2 (2)? S n ? 2an ? 2

?4

S n?1 ? 2an?1 ? 2 又 S n ? S n?1 ? an n ? 2, n ? N ?

?

?

? an ? 2an ? 2an?1 又? an ? 0

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?

an ? 2, n ? 2, n ? N ? 即数列 ?an ? 是等比数列 an?1
又? 点 P?bn , bn?1 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,

?

?

? a1 ? 2 ? an ? 2n
?bn ? bn?1 ? 2 ? 0
(3)

? bn?1 ? bn ? 2 ,即数列 ?bn ? 是等差数列,又 b1 ? 1, ?bn ? 2n ? 1

cn=(2n ?1)2n ,
? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1 ? ? (2n ?1)2n ,

?Tn=a1b1 ? a2b2 ?

?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ?
因此由错位相减法得,∴

Tn ? (2n ? 3)2 n?1 ? 6 ?

11.已知在等差数列

?an ? 中, a3 ? 4, 前 7 项和等于 35,数列 ?bn ? 中,点 ?bn , Sn ? 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,其中

Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 ? n ? N * ? ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证数列 ?bn ? 是等比数列; (3)设 cn ? an ? bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn 并证明;

4 5 ? Tn ? ? 3 2

?a1 ? 2d ? 4 ?a1 ? 2 ? 【解析】(1)设数列 {an } 的公差为 d,则由题意知 ? 得? 7?6 7a1 ? d ? 35 ?d ? 1 ? ? 2
∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? n ?1 ? n ? 1. (2)∵点 (bn , Sn ) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ∴ bn ? 2Sn ? 2 ? 0 ----① , bn?1 ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 (n ? 2) ①-②得 bn ? bn?1 ? 2bn ? 0 ,∴ bn ? 又当 n ? 1 时, b1 ? ? -----②

1 b1 ? 1 2 2 1 ∴数列 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列? 3 3 2 1 n ?1 2 (3)由(2)知, bn ? ? (? ) ? n , 3 3 3

1 bn ?1 (n ? 2) , 3 2 ∴ b1 ? ? 0 3

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∴ c n ? a n ? bn ? (n ? 1) ?

2? 2 2?3 2? 4 2( n ? 1) ? 2 ? 3 ? ? -----------③ 3 3 3 3n 1 2? 2 2?3 2? 4 2n 2(n ? 1) Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 ------④ 3 3 3 3 3 3 2 2? 2 2 2 2 2(n ? 1) ? 2? 3? ? n ?1 ③—④得, Tn ? 3 3 3 3 3n 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 (n ? 1) n ?1 3 ∴ Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? =2? 3 ? n n 1 3 3 3 3 3 3 1? 3 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 = 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n = ? 2 3 3 2 2 ? 3n 5 2n ? 5 5 ? Tn ? ? 2 2 ? 3n 2 4 由③知 Tn 的最小值是 T1 ? 3 4 5 ∴ ? Tn ? 3 2 12.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 ? n= 1, 2, 3 Tn ?
(Ⅰ)求证数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ; (Ⅲ)设 bn ?

2 3n

{

}

?.

an ,求证 b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn

【解析】证明(Ⅰ)? S n+1

= 3S n + 2 ,

∴ S n+1 + 1 = 3(S n + 1) .
又? S1 + 1 = 3 ,

∴{S n + 1}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列且 Sn ? 3n ?1, n ? N* .
(Ⅱ) n = 1 时, a1 = S1 = 2 ,

n > 1 时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1)

? 3n?1 (3 ? 1) ? 2 ? 3n?1 .
故 an ? 2 ? 3n?1 , n ? N* . (Ⅲ)

2 ? 3n?1 2 ? 3n?1 1 1 bn ? n ? n?1 ? n?1 ? n , ? n ? 1? 2 n (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1

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? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

1 1 1 ? ? n ? 1. 2 2 3 ?1

【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式, 能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点 Sn 与 an 的关系(注意讨论); an ?1 ? kan ? b ;递推——猜 想——数学归纳法证明;迭加 an ?1 ? an ? f (n) ;迭乘 an ?1 ? f (n) ? an ;裂项求和;错位相减等;数列不等式 证明中注意放缩法的运用.
13.已知等差数列{an}的首项 a1

? 2, 公差d ? 0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一

项、第二项、第三项? (I)求数列{an}和{bn}的通项公式; (II)设数列{cn}对任意的 n ? N 均有
【解析】(I)由已知 (2 ? 2d )
2
?

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 ,求数列{cn}的前 n 项和? b1 b2 bn

? 2(2 ? 10d ) ? d ? 3 or d ? 0(舍)

数列{an}的通项公式 an ? 3n ? 1;数列{bn}的通项公式 bn ? 2h2n ? 1 (II)由

c c c1 c2 c c ? ? ? ? n ? an?1 , 1 ? 2 ? ? ? n?1 ), b1 b2 bn b1 b2 bn?1 cn ? an?1 ? an ? 3(n ? 2 ) bn

? an ?

cn ? 3 ? 22n?1 (n ? 2)
又 c1 ? b1 ? a2 ? 10

?10, (n ? 1) cn ? ? 2 n ?1 ?3 ? 2 , (n ? 2)
所以数列 {cn } 的前 n 项和 S n ? 10 ?
14 . 设 数 列

24(1 ? 4 n ?1 ) ? 2 ? 2 2 n?1 1? 4
在 2直 ) 线

{an } 的 首 项 a1 ? 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 点 (Sn?1 S ,n n )? ( N? n ?,

(2t ? 3) x ? 3ty ? 3t ? 0 ( t 为与 n 无关的正实数)上.
(Ⅰ) 求证数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ) 记数列 {an } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn ? f (

1 ) (n ? N? , n ? 2) . bn?1

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设 cn ? b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设 d n ? (1 ?
【解析】 (Ⅰ)因为点 ( Sn ?1 , Sn )

1 n ) (n ? N* ) ,证明 dn ? dn?1 . 3bn ? 1

(n ? N? , n ? 2) 在直线 (2t ? 3) x ? 3ty ? 3t ? 0 ( t 为与 n 无关的正实数)上,

所以 (2t ? 3)Sn?1 ? 3tSn ? 3t ? 0 ,即有 3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t (n ? N? , n ? 2) . 当 n ? 2 时, 3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t . 由 a1 ? 1 ,解得 a 2 ? 当 n ? 2时,有

a 2t ? 3 2t ? 3 ,所以 2 ? . 3t a1 3t

3tS n+1 ? (2t ? 3)S n ? 3t 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t

① ②

①-②,得 3tan+1 ? (2t ? 3)an ? 0 ,整理得

an?1 2t ? 3 . ? an 3t

综上所述,知

an?1 2t ? 3 (n ? N*) ,因此 {an } 是等比数列 ? an 3t
2?

1 ?3 bn ?1 1 2 2t ? 3 )? ? ? bn ?1 , (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 f (t ) ? ,从而 bn ? f ( 1 3t bn ?1 3 3? bn ?1
所以 bn ? bn?1 ?

2 (n ? N? , n ? 2) . 3

因此, {bn } 是等差数列,并且 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 所以, Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?

2 1 n? . 3 3

? cn ? b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ? b2n (b2n?1 ? b2n?1 )

? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ?

? ?2d (b2 ? b4 ?
8 4 ? ? n2 ? n 9 3

4 n(b ? b ) 4 ? b2 n ) ? ? ? 2 2 n ? ? ? 3 2 3

5 4n ? 1 n( ? ) 3 3 2

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? 1 n 1 ? ) ,则 d n ?1 ? ?1 ? (Ⅲ) 由(Ⅱ)知 d n ? (1 ? ? 2n ? 2 ? n ? 1? ?
将 d n ? ?1 ?

n ?1

.

? ?

1 ? ? 用二项式定理展开,共有 n ? 1 项,其第 k ? 1 项 ? 0 ? k ? n ? 为 2n ?
k

n

1 1 n ? n ? 1? ? n ? k ? 1? ? 1 ? Tk ?1 ? C ? ? ? k ? ? nk ? 2n ? 2 k !
k n

?

1 1 ? 1 ?? 2 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? 2k k ! ? n ?? n ?

? k ?1 ? ?1 ? ?, n ? ?
n?1

? 1 ? 同 理 , d n?1 ? ?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ?
U n?2 ? C
U k ?1 ?
由1 ?
n ?1 n ?1

用 二 项 式 定 理 展 开 , 共 有 n?2 项 , 第 n?2 项 为

? 1 ? ? ? ? 2 ? n ? 1? ?

n ?1

?0

,





n ?1









k ?1



? 0 ? k ? n?



1 1 ? 1 ?? 2 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? k 2 k ! ? n ? 1 ?? n ? 1 ?

? k ?1 ? ?1 ? ?, ? n ?1 ?
,1 ? k k ? 1? , k ? 2,3, n n ?1 ,n,

1 1 2 2 ? 1? ,1 ? ? 1 ? , n n ?1 n n ?1

得 Tk ?1 ? U k ?1 , k ? 2,3, ∴ dn ? dn?1
15.已知递增的等比数列

, n, 又 T1 ? U1 , T2 ? U2 ,U n?2 ? 0 ,

?an ?满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 , S n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使 Sn ? 42 ? 4n 成立的 n 的最小值.
【解析】(Ⅰ)设等比数列

?an ?的公比为 q ,依题意有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,

(1)

又 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,将(1)代入得 a3 ? 8 .所以 a2 ? a4 ? 20.

?a1 q ? a1 q 3 ? 20, 于是有 ? 2 ? a1 q ? 8,
解得 ?

a ? 32, ?a1 ? 2, ? ? 1 1 或? q ? . q ? 2 , ? ? 2 ?

又 ?an ? 是递增的,故 a1 ? 2, q ? 2

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所以 an ? 2 n (Ⅱ) bn ? log2 2 n?1 ? n ? 1 , S n ?

n 2 ? 3n 2

故由题意可得

n 2 ? 3n ? 42 ? 4n ,解得 n ? 12 或 n ? ?7 .又 n ? N ? , 2
1 1 1 ,且当 x ? 时,函数 f ( x) ? an x 2 ? an?1 x 取得极值? 2 2 2

所以满足条件的 n 的最小值为 13
16.已知数列 {an } 中, a1 ?

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)在数列 ?bn ?中, b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? log 2 a 2n?1 ,求 b21 的值
【解析】(Ⅰ) f ' ( x) ? a n x ? a n?1

由题意 f ' ( ) ? 0

1 2



a n?1 ?

又? a1 ?

1 ?0 2

所以 数列 ?a n ? 是公比为

(Ⅱ) 因为 所以 叠加得
17.已知数列

bn ?1 ? bn ? l o g 2 a 2 n ?1

1 的等比数列 所以 2 1 ?l og ? 1 ? 2n , 2 2 n ?1 2

1 an , 2 1 an ? n 2

b21 ? b20 ? ?39 , b20 ? b19 ? ?37 , b19 ? b18 ? ?35 ,……, b2 ? b1 ? ?1 b21 ? b1 ? ?4 0 0
把 b1 ? 1 代入得

b21 = ? 399

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 3? 2n?1 ? 2 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ?3n ? 2?an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .
【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 2 ? 3 ? 2 n?2 ? 2 ? 3 ? 2 n?2 即 an ? ?

?1?n ? 1?

n?2 ?3 ? 2 ?n ? 2?

;

(Ⅱ)当 n ? 1 时, T1 ? 1 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 0 ? 7 ? 3 ? 21 ? 10 ? 3 ? 2 2 ? ? ? ?3n ? 2? ? 3 ? 2 n?2

? 1 ? 3?4 ? 2 0 ? 7 ? 21 ? 10 ? 2 2 ? ? ? ?3n ? 2?2 n?2 ?
令 Gn ? 4 ? 2 0 ? 7 ? 21 ? 10 ? 2 2 ? ? ? ?3n ? 2?2 n?2

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利用错位相减法解得 Gn ? ?3n ? 5?2 n?1 ? 2 所以 Tn ? 3?3n ? 5?2 n?1 ? 7
18.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且

b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明对任意的 n ? N
?
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

bn ? 2 ( l o2g an ?
,不等式

1) n? (N ?

)

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

【解析】因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数

?

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像上.
时 ,







Sn ? b n ? r

,



n ?1

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以 r ? ?1 ,公 比为 b , an ? (b ?1)bn?1 (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n
2n ? 1 2n 2n ? 1 ? n ? 1 成立. 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ?1 3 5 7 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? bn 2n b1 b2 bn 2 4 6

下面用数学归纳法证明不等式

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6 ?

2k ? 1 ? k ?1 成 立 . 则 当 2k

n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6

2k ? 1 2k ? 3 ? 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 ? ? 2k ? 2 4(k ? 1)

4(k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? ( k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由① 、② 可得不等式恒成立.
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

19.已知数列{ an }的前 n 项的和为 Sn ,对一切正整数 n 都有 2Sn

? n2 ? an .

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(Ⅰ )求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ )当 n ? N ,证明
?

1 1 ? an ? 2 ?1 2 ? 2
an

?

1 2
an ?1

?

7 . 12

【解析】(Ⅰ )∵S n ?

2 a n 2 an (n ? 1 ) ? ,S n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 2 2

∴an?1 ? Sn?1 ? Sn ?

2n ? 1 an?1 an ? ? ,即an?1 ? an ? 2n ? 1 2 2 2

(n ? 1 ) ?? (an ? n) ∴an ?1 ?
令 bn

? an ? n ,则 bn?1 ? ?bn ,∴bn ? (?1)n?1b1

1 a 又a1 ? S1 ? ? 1 得a1 ? 1 ,∴b1 ? a1 ? 1 ? 0 2 2
∴bn ? 0,即an ? n (Ⅱ )证明 构造f (k ) ?

1 1 1 ? ? ? (k ? N*) k ?1 k ? 2 2k 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? f (k ) ? ( ? ? ? )?( ? ? k ?2 k ?3 2k ? 2 k ?1 k ? 2 1 1 ? ? ?0 2k ? 1 2k ? 2

?

1 ) 2k

∴ f (k )关于k是递增的, 又∵2 ? 2(n ? N *) ,∴ f (2
n

n

) ? f (2)

∴ f (2

n

)?

1 1 ? n ? 2 ?1 2 ? 2
n

?

1 1 1 7 的最小值为f (2) ? ? ? n ?1 2 3 4 12



1 1 ? n ? 2 ?1 2 ? 2
n

?

1 7 ? n ?1 2 12

20.已知数列{ an }中 a1 ?

1 ,点( n,2an?1 ? an )在直线 y ? x 上,其中 n ? 1, 2,3.... 2

(Ⅰ )令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项;

?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? (Ⅲ )设 S n、Tn 分别为数列?a n ? 、
若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由?

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数列? ? n ?

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【解析】(1)由已知得 a1 ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2

3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 1,

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1
公比的等比数列

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 3 1 2 2 ? 2 ? . ?{bn } 是以 ? 为首项 , 以 为 4 2 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

3 1 3 1 n ?1 3 1 3 1 ? ( ) ? ? ? n , ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 将以上各式相加得 2 2 2 2 3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn } 是等差数列. (3)解法一存在 ? ? 2 ,使数列 { n n 1 1 1 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n n(n ? 1) 2 2 ?? n ? ? 3. ? 3? ? ? 2n ? 3(1 ? n ) ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n n
(2)由(1)知, bn ? ? 即 Sn ? ?Tn ? An ? Bn,
2

又 Sn ? ?Tn ? ?

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2
2 ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { S n ? ?Tn } 为等差数列 n

? 当且仅当 1 ?
21.数列 {an } 中, a1

?

? 8, a4 ? 2, 且 an?2 ? 2an?1 ? an (n ? N*).

(1)求数列 {an } 的通项公式;

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(2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? (3)设 bn ?

? | an |, 求 S10 ;
? bn ,是否存在最大整数 m,使得对 ?n ? N * 有 Tn ?
m 成立?若 32

1 , Tn ? b1 ? b2 ? n(12 ? an )

存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由?
【解析】(1)由题意, an?2

? an?1 ? an?1 ? an ,

?{an } 为等差数列,设公差为 d?
由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2,? an ? 8 ? 2(n ?1) ? 10 ? 2n, …………………… (2)若 10 ? 2n ? 0, 则n ? 5.

S10 ? a1 ? a2 ?

? a5 ? a6 ? a7 ?

? a10

? (a1 ? a6 ) ? (a2 ? a7 ) ?
(3)

? (a5 ? a10 ) ? 5 ? (?5d ) ? 50 ……………………

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1
?( 1 1 1 1 n ? )?( ? )] ? n ?1 n n n ?1 2(n ? 1).
…………………………

1 1 1 1 1 1 ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 2 3 3 4

m n m * ? 对任意 n ? N * 成立, 对任意 n ? N 成立,即 32 n ? 1 16 n 1 (n ? N * ) 的最小值是 , 2 n ?1 m 1 ? ? ,?m 的最大整数值是 7? 16 2 m * 即存在最大整数 m=7,使对任意 (n ? N ) ,均有 Tn ? ? 32 n? 2 2 n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 22.数列 {an } 的通项 a n ? n (cos 3 3
若 Tn ? (1)求 S n ; (2)令 bn ?

S 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n ? 4n
2

【解析】由于 cos

n? n? 2n? ? sin 2 ? cos ,故 3 3 3

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S 3k ? (a1 ? a 2 ? a3 ) ? (a 4 ? a5 ? a 6 ) ? ? ? (a3k ? 2 ? a3k ?1 ? a3k ) 12 ? 2 2 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 2 2 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? [? ? (3k ) 2 ] 2 2 2 13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ? ??? ? , 2 2 2 2
S 3k ?1 ? S 3k ? a3k ? k ( 4 ? 9k ) , 2

S 3k ?2 ? S 3k ?1 ? a3k ?2 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6

n 1 ? n ? 3k ? 1 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) , n ? 3k ? 1 故 Sn ? ? 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?
(2) bn ?

(k ? N ? )

S 3n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n

Tn ?

1 13 22 9n ? 4 ( ? 2 ??? ), 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? (13 ? ? ? ? n ?1 ) , 2 4 4

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 n ? 9n ? 4 ) 3Tn ? (13 ? ? ? ? n ?1 ? ) ? ( 13 ? 1 2 4 2 4 4n 4n 1? 4 1 9n ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , 2 2
故 Tn ?

8 1 3n ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2

23.各项均为正数的数列 {an } , a1

? a , a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m , n , p , q 都有

a p ? aq am ? an ? ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

(2)证明对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有
【解析】(1)由

1

?

? an ? ? .

a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
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a1 ? an a2 ? an?1 , ? (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )
将 a1 ?

1 4 , a 2 ? 代入上式化简得 2 5

an ?

2a n ?1 ? 1 , a n ?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an?1 . ? ? 1 ? an 3 1 ? an?1 1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

故数列 {

1 ? an 3n ? 1 1 . ? n ,即 a n ? n 3 ?1 1 ? an 3
可验证, a n ?

3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

(2)由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , (1 ? a m )(1 ? a n )

则 bn?1 ?

a1 ? an a ? an . ? (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )
a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

考察函数 f ( x) ?

? 1 ?1 ? a , a ? 1 ? ?1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn?1 ? g (a) 恒成立.又 b2 n ? 注意到 0 ? g (a ) ?
?

2an ? g (a) , (1 ? an ) 2

1 ,解上式得 2

g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)

?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) ? an ? g (a) g (a)



??

1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ,即有 ? a n ? ? . ? g (a)
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24.设数列

?an ? 满足 a0 ? a, an?1 ? can ?1? c, c ? N * , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0
1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2
*

(Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ )设 a ?

(Ⅲ )若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1
【解析】 (1) 方法一

∵an?1 ?1 ? c(an ?1)
∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1?是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列?

∴an ?1 ? (a ?1)cn?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 ?当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式?
∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) ?
方法二 由题设得当 n ? 2 时, an ?1 ? c(an?1 ?1) ? c2 (an?2 ?1) ?

? cn?1 (a1 ?1) ? (a ?1)cn?1

∴an ? (a ?1)cn?1 ?1
n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式?
∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) ?
(2) 由(1)得 bn ? n(1 ? a)c
n ?1

1 ? n( ) n 2

1 1 1 ? 2( ) 2 ? ? n( ) n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 ∴ Sn ? ? ( ) ? ? ( ) ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2 2 2 2 2 2 2 Sn ? b1 ? b2 ? ? bn ?
(3) 由(1)知 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 若 0 ? (a ?1)c
n?1

? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)cn?1 ? 1
∴ 0 ? c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 1? a

∵0 ? a1 ? a ? 1,
由c
n ?1

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 ?下面证 c ? 1 ,用反证法
x
n ?1

方法一假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c

趋于无穷大

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∴cn ?1 ?

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾?∴ c ? 1 ? 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 n ?1 n ?1 方法二假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 (n ? N * ) 恒成立 即 n ? 1 ? log c (*) 1? a

∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴ c ? 1
∴0 ? c ? 1
25.已知曲线 Cn : x
2

? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2, ) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,

切点为 P n ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明 x1 ? x3 ? x5 ?
【解析】 ( 1) 设 直 线

? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

2 2 2 ln y ? k n ( x ? 1) ,联立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0,

2 2 2 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴k n ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 , 可 令 函 数 f ( x) ? x ? 2 sin x , 则 f ' ( x) ? 1 ? 2 c o s x ,令 ? 2n ? 1 1 ? xn

f ' ( x) ? 0 ,得 cos x ?

? ? 2 ' ,给定区间 (0, ) ,则有 f ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减, 4 4 2 ? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 0 ? 4
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∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

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则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn

m26.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 1, g ( x) ? 2 x, x ? R,数列 {an } , {bn } , {cn } 满足条件 a1 ? 1,

an ? f (bn ) ? g (bn?1 ) ( n ?N*), cn ?

1 . 1 1 [ f (n) ? ][g (n) ? 3] 2 2

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? (Ⅲ )求证

m 对任意 n ?N*都成立的最大正整数 m ; 150

a a1 a2 n 1 ? ? ??? ? n ? ? . a2 a3 an ?1 2 3

【解析】(Ⅰ )由题意 an?1

? 4bn?1 ? 1, an ? 2bn?1 ,

∴an?1 ? 2an ? 1, ∴an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , ∵a1 ? 1 , ∴ 数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ∴ . an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ∴an ? 2 n ? 1 (Ⅱ )∵c n ? ∴Tn ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

?

1 1 1 n n ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9

Tn?1 n ? 1 6n ? 9 6n 2 ? 15n ? 9 ∵ ? ? ? ? 1, Tn 6n ? 15 n 6n 2 ? 15n
∴Tn ? Tn?1 , n ?N*. ∴ 当 n ? 1 时, Tn 取得最小值 由题意得

1 15

1 m ? ,得 m ? 10 . 15 150
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∵m ?Z, ∴ 由题意得 m ? 9

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? k, k ?1 k k (Ⅲ )证明 ∵ a k ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 3 2 k ? 1,2,3,? ? ?, n


a a1 a2 n 1 n 1 1 1 1 n 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? ? ( ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? . 2 3 a 2 a3 an?1 2 3 2 2 2 3 2 2
a a1 a2 n 1 ? ? ??? ? n ? ? ( n ?N*) a2 a3 an ?1 2 3



27 . 已 知 等 差 数 列 { an } 的 公 差 为 d(d

? 0), 等 比 数 列 { bn } 的 公 比 为 q(q>1) ? 设 s n = a1b1 + a2b2 …..+

anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +…..+(-1 ) n ?1 anbn ,n ? N ?
(I) 若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值;

2dq(1 ? q 2 n ) ? (II) 若 b1 =1,证明(1-q) S 2 n -(1+q) T2 n = ,n ? N ; 2 1? q
(Ⅲ ) 若 正 数 n 满 足 2 ? n ? q, 设 k1 , k2 ,..., kn和l1 , l2 ,..., ln是1 , 2,, ... n 的 两 个 不 同 的 排 列 ,

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明
【解析】 (Ⅰ )解由题设,可得 an

c1 ? c2

?

? 2n ?1, bn ? 3n?1, n ? N *

所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ )证明由题设可得 bn ? qn?1 则

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,
T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 , S 2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ... ? a2 n q 2 n ?1 )
① 式减去② 式,得 ① 式加上② 式,得





S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3q2 ? .... ? a2n?1q2n?2 )
② 式两边同乘 q,得



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

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(1 ? q)S2n ? (1 ? q)T2n ? (S2n ? T2n ) ? q(S2n ? T2n )

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) 2dq(1 ? q 2 n ) ? , n ? N* 2 1? q
(Ⅲ )证明 c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) …, (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? qi ?2 (q ?1) 又 (ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1 , 所以

c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2
28.已知点 P 在曲线 C y ?

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

1 ( x ? 1) 上,曲线 C 在点 P 处的切线与函数 y ? kx (k ? 0) 的图象交于点 A,与 x 轴 x

交于点 B,设点 P 的横坐标为 t,点 A.B 的横坐标分别为 xA.xB,记 f (t ) ? xA xB . (1) (2) 求 f (t ) 的解析式; 设数列{an}满足 a1 ? 1 ,an ? f ( an?1 ) (n ? 2 且 x ? N* ) ,求数列{an}的通项公式;

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(3)

在 (2) 的条件下,当 1 < k < 3 时,证明不等式 a1 ? a2 ?

? an ?

3n ? 8k . k

【解析】(1) f '( x) ? ?

1 x2

1 1 2 x 切线方程为 y ? ? ? 2 ( x ? t ) ? y ? ? 2 与 y = kx 联立得 t t t t 2t ,令 y = 0 得 xB = 2t xA ? 2 kt ? 1 4t 2 ∴ f (t ) ? 2 (k ? 0,t ? 1) kt ? 1 4an ?1 (2) 由 an ? f ( an ?1 ) 得:an ? kan ?1 ? 1
两边取倒数得
1 k 1 1 ? ? an 4 4 an ?1



1 k 1 1 k ? ? ( ? ) an 3 4 an ?1 3

? 1 k? 1 k ∴ ? ? ? 是以 1 ? 为首项, 为公比的等比数列( k ? 3 时) a 3 4 3 ? n ?

或是各项为 0 的常数列(k = 3 时),此时 an = 1
k ?3时

1 k k 1 3 4n ?1 ? ? (1 ? ) ? n ?1 ,an ? an 3 3 4 k 4n ?1 ? 3 ? k

当 k = 3 时也符合上式 3 4n ?1 ∴an ? k 4n ?1 ? 3 ? k

3n ? 8k 3 3 3 ? (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? (an ? ) ? 8 k k k k 3 3 4n ?1 3 3k ? 9 ? ? 其中 a1 ? ? k k 4n ?1 ? 3 ? k k k (k 4n ?1 ? 3 ? k ) 3k ? 9 9 由于 1 < k < 3,∴ ? 3 ? ? 0, 3? k ? 0 k k 3 3k ? 9 3k ? 9 1 3k ? 9 1 ? ? ∴ an ? ? k k (k 4n ?1 ? 3 ? k ) k k 4n ?1 k2 4n ?1 3 3 3 3k ? 9 1 1 1 (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? (an ? ) ? 8 ? (1 ? ? ? ? n?1 ) ? 8 2 k k k k 4 16 4 1 1 ? ? (1 ? n ?1 ) ? 3k ? 9 ? 4 4(k ? 3) 5 1 4(k ? 3) 4 ? ?8? ( ? n)?8 ? ?8 ?1 ? ? 2 2 1 k k 4 4 k2 ? (? ) ? ? 4 ? 2 8k ? 4k ? 12 4(k ? 1)(2k ? 3) ? ? k2 k2 4(k ? 1)(2k ? 3) 当1 ? k ? 3时 ?0 k2
(3) 作差得 a1 ? a2 ?

? an ?

29.设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) ? 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式;
* (II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证对任意正整数 n 都有 Tn ?

3 ; 2

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(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ?已知正实数 ? 满足对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立,求 ? 的最小值?
【解析】 (Ⅰ )当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4
1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? ) n 4 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1

5 5 25 ?16n ? cn ? b2n ? b2n?1 ? 2n ? ? 4 ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)
=

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
又 b1 ? 3, b2 ? (Ⅲ )由(Ⅰ )知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1
*

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

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1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2 k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [ ? 1 ?( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2 k ?1 )] 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 > 4n ? 1 ? 4n ? 5 ? ( ?
1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?
1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ? 8 ? ?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4
30 . 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在

R

上 的 偶 函 数 , 且

f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) , 当x ?[?2 ,?1]
时 , f ( x) ? t ( x ? 2) 3 ? t ( x ? 2) (t ? R) , 记函数 y ? f ( x) 的图像在

1 1 1 ( , f ( ) ) 处的切线为 l , f ' ( ) ? 1 ? 2 2 2
(Ⅰ ) 求 y ? f ( x) 在 [0 , 1] 上的解析式; (Ⅱ ) 点列 B1 ( b1 ,2 ) , B2 ( b2 ,3 ), ? , Bn (bn , n ? 1) 在 l 上, A1 ( x1 ,0) , A2 ( x2 ,0 ), ? , An ( xn ,0) 依次为 x 轴上 的点,如图 ,当 n ? N ? 时,点 An , Bn , An ?1 构成以 An An ?1 为底边的等腰三角形?若 x1 ? a(0 ? a ? 1) , 求数列

?xn ? 的通项公式;
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(Ⅲ )在 (Ⅱ )的条件下,是否存在实数 a 使得数 列 ?xn ? 是等差数列?如果存在,写出 a 的一 个值;如果不存在,请说明理由?
【解析】(Ⅰ ) ?函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x)

? f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ? f (1 ? x) ;? y ? f ( x) 是周期为 2 的函数 ? 当x ?[0 ,1]时, x ? 2 ?[?2 ,?1]
由 f ' ( ) ? 1 可知 t =-4

? f ( x) ? f ( x ? 2) ? tx3 ? tx
? f ( x) ? ?4x 3 ? 4x , x ?[0 ,1]
1 1 1 , f ( ) ) 处的切线为 l ,且 f ' ( ) ? 1 , 2 2 2

1 2

(Ⅱ ) ?函数 y ? f ( x) 的图像在 (

1 3 ?切线 l 过点 ( , ) 且斜率为 1,?切线 l 的方程为 y=x+1 2 2

? B1 ( b1 ,2 ) , B2 ( b2 ,3 ), ? , Bn (bn , n ? 1) 在 l 上,有 n ? 1 ? bn ? 1

即 bn ? n

?点 An , Bn , An?1 构成以 An An ?1 为底边的等腰三角形? xn ? xn?1 ? 2bn ? 2n … ①
同理 xn?1 ? xn? 2 ? 2n ? 2 … ② 两式相减 得 x n ? 2 ? x n ? 2

? x1 ? a,

x2 ? 2 ? a

? n ? 1 ? a, ? xn ? ? ? n ? a,

n为奇数 n为偶数

(Ⅲ ) 假设 ?xn ? 是等差数列 ,则 ? a ? ?1 ? a 故存在实数 a 使得数列 ?xn ? 是等差数列?

?a ?

1 2

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