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山西省忻州实验中学2008-2009学年度第一学期高一数学第二次月考试题

山西省忻州实验中学2008-2009学年度第一学期高一数学第二次月考试题


忻州实验中学 2008-2009 学年度第一学期第二次月考













一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分)
1. 空间三条平行直线可以确定的平面个数是 A.1 B.2 C.3 D.1 或 3

2. 函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关

3. 已知全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 }, 那么集合 { 2 ,7 ,8}是 A. A ? B B. A ? B C. CU A ? CU B D. CU A ? CU B

4. 下列函数中有 2 个零点的是 A. y ? lg x B. y ? 2x C. y ? x 2 D. y ? x ? 1

5.给出下列命题:①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等,②棱台的各侧棱不一定 相交于一点, ③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行, 则连结它 们的对应顶点所围成的多面体是三棱台, ④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连 线都是圆台的母线.其中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 6. log 1 b ? log a
a

1 之值为 b
B.1 C. 2loga b D. ?2log a b

A.0

7.木星的体积约是地球体积的 240 30 倍,则它的表面积约是地球表面积的 A.60 倍 B. 60 30 倍 C.120 倍 D. 120 30 倍

8. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a? x与y ? loga x 的图象是

用心

爱心

专心

9. 已 知 水 平 放 置 的 △ABC 是 按 “ 斜 二 测 画 法 ” 得 到 如 图 所 示 的 直 观 图 , 其 中 B′O′=C′O′=1,A′O′=

3 ,那么原△ABC 是一个 2

A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 10.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度 数为 A.30° B.45° C.60° D.90° 11.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ①BM 与 DE 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60° 角 ④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确的是 A.①②③ B.②④ C.②③④ D.③④
王新敞
奎屯 新疆

12.关于直线 m, n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ;②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n ; 其中正确命题的序号是 A.①② B.③④ 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分)

C.①④

D.②③

13.圆台上、下底半径为 2 和 3,则中截面面积为________________. 14. 已知函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x( x ? 0) ?3
x

( x ? 0)

, 则 f [ f ( )] 的值是

1 4

.

15. 已 知 圆锥 的 侧 面积 是底 面 积 的 2 倍 , 它的 轴截 面 的 面 积为 Q , 则 圆锥 的 体 积为 ___________. 16.已知 m、l 是直线,α、β 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③若 m ? α,l ? β,且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l ? β,且 l⊥α,则 α⊥β; ⑤若 m ? α,l ? β,且 α∥β,则 m∥l.

用心

爱心

专心

其中正确的命题的序号是___________ (注:把你认为正确的命题的序号都 填上) .
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题(本题满分 70 分)
17. (本小题满分 10 分) 如下的三个图中, 左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视 图在右面画出(单位:cm)。 (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
6 2 2

2 4

4

正视图

侧视图

18. (本小题满分 12 分) , AD ? BD,点 如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD E,F 分别是 AB,BD 的中点. 求证:(1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD .

B F

E

D C 19. (本小题满分 12 分) 一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,在其中有一个高为 x cm 的内接圆柱. (1)试用 x 表示圆柱的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) (a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 a ? 1 时,用定义证明函数 f ( x ) 是单调递增函数. A

21. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD ∥ BC , ?BAD ? 90? ,

PA ⊥底面 ABCD ,且 PA ? AD ? AB ? 2 BC ,M、N 分别为 PC、PB 的中点.

用心

爱心

专心

(Ⅰ) 求证: PB ? DM ; (Ⅱ) 求 BD 与平面 ADMN 所成的角。

22. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. S (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的正弦值.

O
B
忻州实验中学 2008-2009 学年度第一学期第二次月考高一数学

C
A

参 考 答 案 及 评 分 标 准
一、选择题:
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 11 D 12 D

二、填空题:
13.

?Q Q 25 1 ? ;14. ;15. ;16. ①,④; 4 9 34 3

三、解答题:
17. 解:(Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 2 2 (俯视图) 6 4

用心

爱心

专心

……………………5 分 (Ⅱ)所求多面体体积

284 1 ?1 ? (cm 2 ) . …………10 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 3 ?2 ?
18.证明:(1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点.∴EF △ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; ……………………6 分 (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB=CD, BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC,∵BD ? 面 BCD, C EFC ? 面 BCD …………12 分



B F



E F 是

D A

∴ 面

19.解:(1)如图: ? POB 中,

DB 2 DB OB ? ,即 ? x 6 D1D PO
……4 分

……2 分

? DB ?

1 1 x , OD ? OB ? DB ? 2 ? x 3 3

圆柱的侧面积 S ? 2? ? OD ? D1 D ? 2? (2 ?

?S ?

2? (6 ? x) ? x ( 0 ? x ? 6 ) 3 2? 2? (6 ? x) ? x ? ? ( x ? 3) 2 ? 6? (2) S ? 3 3

1 x) ? x 3
……8 分

? x ? 3 时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积为 6? cm2
……12 分 20.解:(1)函数 f ( x ) 有意义,则 a ? 1 ? 0
x

……2 分

x 当 a ? 1 时,由 a ? 1 ? 0 解得 x ? 0 ;

当 0 ? a ? 1 时,由 a ? 1 ? 0 解得 x ? 0 .
x

所以当 a ? 1 时,函数的定义域为 (0, ??) ; 当 0 ? a ? 1 时,函数的定义域为 (??, 0) .

……4 分 ……6 分

x x (2)当 a ? 1 时,任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则 a 1 ? a 2

用心

爱心

专心

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) ? log a

a x1 ? 1 a x1 ? a x2 ? log (1 ? ) a a x2 ? 1 a x2 ? 1

? a x1 ? a x2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (1 ?

a x1 ? a x2 ) ? log a 1 ? 0 , a x2 ? 1

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 由函数单调性定义知:当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增的. 21.解:(Ⅰ)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥PB. 因为 AD⊥面 PAB, 所以 AD⊥PB. 从而 PB⊥平面 ADMN. ……12 分

因为DM ? 平面ADMN
所以 PB⊥DM. ……6 分 (Ⅱ)连结 DN, 因为 PB⊥平面 ADMN, 所以∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BDN 中, sin ?BDN ?

BN 1 ? , BD 2
?

故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 30 . ……12 分 22. 证明:(Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形, 所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC , 2

S

又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC , 且 SO ?

M

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2
B

O
A

C

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O .

所以 SO ? 平面 ABC .……6 分 (Ⅱ)取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 AO 2 6 SA ,故 sin ?AMO ? . ? ? 2 AM 3 3 6 . 3
用心 爱心 专心

所以二面角 A ? SC ? B 的正弦值为

……12 分



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