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四川省成都树德中学高12-13学年高二上学期期中考试 数学文

四川省成都树德中学高12-13学年高二上学期期中考试 数学文


成都树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(文科)
命题人:杨世卿 审题人:陈杰
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题仅有一个正确答案。 1. 以下角: ①异面直线所成角; ②直线和平面所成角; ③二面角的平面角; 可能为钝角的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2. 一种冰激凌机的模型上半部分是半球,下半部分是圆锥,其三视图 如图所示,则该型号蛋糕的表面积 S 是( ) A. 115? B. 110? C. 105? D. 100? 3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和 上底长均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是( ) 1 2 2 A. 2+ 2 B.1+ 2 C.1+ 2 D.2+ 2 4.已知两不同直线 m, n 与三不同平面 ? , ? , ? , 下列条件能推出 ? ∥ ? 的是 ( ) A. ? ? ? 且 ? ? ? B. m ? ? , n ? ? , m // n C. m ? ? 且 m ? ? D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 5.下面四个说法中,正确的个数为 ..... ( )

①三点确定一个平面; ② ?ABC 在平面 ? 外,其三边延长线分别和 ? 交于 P, Q, R ,则 P, Q, R 一定共线; ③一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等; ④在三维空间中,三个平面最多把空间分成八部分。 A.1 B.2 C.3 D.4 6. 在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱和底面垂直) ABC ? A1 B1C1 中, AB ?

2BB1 ,则异面直线

AB1 与 C1 B 成角的大小为( )
A.60° B.90° C.105° D.75° 7. 如图,空间四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 相等,顺次连接各边中点

A H

E , F , G, H ,则四边形 EFGH 一定是( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 ( ) D. D.空间四边形
?

8. PA, PB, PC 是从点 P 引出的三条射线,两两夹角为 60 ,则直线

E D G C

PC 和平面 PAB 所成角的余弦值为
A.

1 2

B.

2 2

C.

9.异面直线 a, b 所成角为

? ,直线 c ? a ,且 c 也与 b 异面, 3
( ) C. [

3 3

6 3

B

F

则直线 b 与 c 所成的角的范围为 A. [

? ?

, ] 6 2

B. [

? ?

, ] 3 2

? ?

, ] 6 3

D. [

? 2?
3 , 3

]

10. 有一个长方体容器 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,装的水占恰好占其

容积的一半; ? 表示水平的桌面,容器一边 BC 紧贴桌面, 沿 BC 将其翻转使之略微倾斜,最后水面(阴影部分)与其各

侧棱的交点分别是 EFGH (如图) ,则下列对翻转后水形成 的几何体形状说法正确的是 ( ) .. A.棱台 C.棱锥 B.棱柱 D.和容器尺寸有关,不能确定
P

11. 如图,矩形 ABCD 的长 AB ? 2 ,宽 AD ? x ,若 PA ? 平面 ABCD , 矩形的边 CD 上至少有一个点 Q ,使得 PQ ? BQ ,则 x 的范围是( ) ..... A. 0 ? x ? 1 B. 0 ? x ? 2 C. 1 ? x ? 2 D. x ? 1

A

B

D

Q

C

12.我们知道,在平面直角坐标系中,方程

应的图形也具有某特定性质,设此图形为 ? ,则坐标原点到 ? 的距离是( ) A. 3 B. 2 C. 5 D.

x y “在 ? ? 1 表示的图形是一条直线,具有特定性质: a b x y ;类比到空间直角坐标系中,方程 ? ? z ? 1 表示的点集对 x 轴, y 轴上的截距分别为 a, b ” 2 2
6 3

二、填空题:本大题共四小题,每小题 4 分,共 16 分。请将最简结果填在横线上。 13. ?ABC 所在平面 ? 外一点 P 满足 PA ? PB ? PC , 则 P 在平面 ? 上的射影必为 ?ABC 的 _______心. 14.如图,平面直角坐标系中, A( ,2) , B(?

1 ,? 3 ) ,将其 2 所在纸面沿 x 轴折成直二面角,则折起后的 A, B 两点的距
离是 .

1 2

15.球放在墙角(两墙面,地面分别两两垂直) ,紧靠墙面和底面,球心到墙角顶点的距离是 3 , 则球的体积是 . (半径为 R 的球体积公式: V ?

16.关于图中的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,下列说法正确的有:___________________. ① P 点在线段 BD 上运动,棱锥 P ? AB1 D1 体积不变; ②一个平面 ? 截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三 A1 角形; ③一个平面 ? 截此正方体,如果截面是四边形,则此四边形必有一 边平行; ④平面 ? 截正方体得到一个六边形(如图) ,则截面 ? 在平面 AB1 D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。
A D1 F E B1 G J D H I B C C1

4 3 ?R ) 3

位号: ?????????????

树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(文科)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请将最简结果填在横线上。

13.

14.

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明或演算步骤。 17. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其左视图沿 AB 方向投影,左视图如图. (1)证明: AC1 ? B1C ; (2)当 AC1 长为 6 时,求多面体 B1 ? ABC1 D1 的体积.

D1 A1 D A B1

C1

C B

18. (12 分 ) 两 个 边 长 均 为 3 的 正 方 形 ABCD 和 ABEF 所 在 平 面 垂 直 相 交 于 AB ,

M ? AC, N ? FB ,且 AM ? FN .(1)证明: MN // 平面 BCE ; (2)当 AM ? FN ? 2
时,求 MN 的长度.

19.(12 分)如图, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面,

C 是圆周上不同于 A, B 的一动点.
(1)证明: ?PBC 是直角三角形; (2)若 PA ? AB ? 2 ,且当直线 PC 与平面 ABC 所成角正切值 为 2 时,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

20.(12 分)点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心,点 E , F 分别是 AD , BC 的中点.沿对 角线 AC 把正方形 ABCD 折成直二面角 D ? AC ? B . (1)求 ?EOF 的大小; (2)求二面角 E ? OF ? A 的余弦值.

21. (12 分)随着环保理念的深入,用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行。下图是其中一个抽象派 雕塑的设计图。图中 ? 表示水平地面。线段 AB 表示的钢管固定在 ? 上;为了美感,需在焊 接时保证:线段 AC 表示的钢管垂直于 ? , BD ? AB ,且保持 BD 与 AC 异面。 若收集到的余料长度如下: AC ? BD ? 24 (单位长度) AB ? 7 , CD ? 25 ,按现在手中 , 的材料和设计要求,求 BD 与 ? 应成的角.

22. (14 分)一块边长为 10 的正方形纸片,按如图所示将阴影部分裁下,然后将余下的四个全 等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥 S ? ABCD(底面是正方形,顶点在底面的 射影是底面中心的四棱锥) 。 (1)过此棱锥的高以及一底边中点 F 作棱锥的截面(如图) ,设截面三角形面积为 y ,将

y 表为 x 的函数; (2)求 y 的最大值及此时 x 的值; (3)在第(2)问的条件下,设 F 是 CD 的中点,问是否存在这样的动点 P ,它在此棱锥 的表面(包含底面 ABCD )运动,且 FP ? AC ?如果存在,在图中画出其轨迹并计 ....... .
算轨迹的长度,如果不存在,说明理由.

S

A O E B C F

D

树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(文科)参考答案
一、选择题。 1-5 B A D C B 二、填空题。 6-10 B C C A B 11-12 A D

13.外 14. 2 2 15.

4 ? 16. ①②③ 3
10 12 13 14 15 16

小题部分可参考课本(如下表) : 题号 5 7

《 2》



P46 定 理 P53 习 题 2,

P46 例2 及探 究

P46 3

思 路 类 似 P137 探究

P67 2

模 型来自 《 选 2-1 》 P106 , 例 2, P107 , 练习 2) (改简 单)

《必》 第2章 各节都 出现的 构造长 (正) 方体模 思想。

综合 P57 例 2, P78 第 4 题,P79 第 2 题,

三、解答题: 17.(1)证明:由长方体性质知, AB ? 平面BB1C1C ? AB ? B1C 又?由左视图知 B1C ? BC1 , ? B1C ? 平面ABC1 , 而? AC1 ? 平面ABC1 ,? AC1 ? B1C .…..6 分(直接用三垂线定理也给分) (2)由 AC1 ? 6 ? 1 ? 1 ? AB ? AB ? 2 ,
2 2 2

?矩形 ABC1 D1 的面积 S ? 2 ? 12 ? 12 ? 2 2 ,
又上问已证? B1C ? 平面ABC1 , B1 到 ABC1 D1 的距离即 1 ? 1 ?
2 2

2,

1 2 2 ? 。.…..12 分(用切割前后体积比求亦给分) ?要求的体积是 V ? ? 2 2 ? 3 2 3
(此题综合《必修 2》第 2 章各节都出现的长方体模型)

18. (1)证明:法一:如图一,作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂 足,连接 PQ,则 MP∥AB,NQ∥AB. 所以 MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF,所以 MC=NB. 又∠MCP=∠NBQ=45° ,所以 Rt△MCP≌Rt△NBQ, 所以 MP=NQ.故四边形 MPQN 为平行四边形. 所以 MN∥PQ. …..4 分 因为 PQ∥平面 BCE,MN∥平面 BCE,所以 MN∥平面 BCE…..6 分 法二:如图二,过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC. AM AH FN AH 所以 = .连接 NH,由 BF=AC,FN=AM 得 = , AC AB FB AB 所以 NH∥AF∥BE. …..2 分

…..4 分 因为 MN∥平面 MNH,所以 MN∥平面 BCE. …..6 分 (2)如上问图二,由比例关系易得: 在 Rt?ABC 中, MH ? 1, NH ? 2 ,? MN ?

5 。.…..12 分

(此题模型来自《选修 2-1》P113,B 组第 2 题)

? C在在圆O上 ? BC ? AC ? (1)证明: ? ? BC ? 平面PAC ? ? PA ? 平面ABC ? BC ? PA? 19. ? PC ? PAC ? ? BC ? PC ? ?BPC是直角三角形。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分 ?
(2)如图,过 A 作 AH ? PC于H ,? BC ? 平面PAC ? BC ? AH ,

? AH ? 平面PBC ,则 ?ABH 即是要求的角。…..8 分
? PA ? 平面ABC ? ?PCA 即是 PC 与平面 ABC 所成角,…..9 分

tan ?PCA ?

PA ? 2 ,又 PC ? 2 ? AC ? 2 …..10 分 AC
PA ? AC PA ? AC
2 2

?在 Rt?PAC 中, AH ?

?

2 3 ,…..11 分 3

2 3 3 ,即 AC 与平面 PBC 所成角正弦值为 3 。 ?在 Rt?ABH 中, sin ?ABH ? 3 ? 3 2 3
..…..12 分(建直角坐标系或向量法亦给分)(此题模型来自《必修 2》P69,例 3 及探究)

H 20.解法一:1) ( 如图, 过点 E 作 EG⊥AC, 垂足为 G, 过点 F 作 FH⊥AC, 垂足为 H, E F 则G ? GH ? 2 2 .
D H E M O G A B A F E M O G B H F C C D

? 2,

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,

? EF 2 ? GH 2 ? EG2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?
? (2 2)2 ? ( 2) 2 ? ( 2) 2 ? 0 ? 12.
又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,

? cos ?EOF ?

OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3) 2 1 ? ? ? . ??EOF ? 120? .…..6 分 2OE ? OF 2? 2? 2 2

(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥ 平面 BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得 EM⊥OF. ∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角.…..9 分 在 Rt ? EGM 中, ?EGM ? 90 , EG ?
?

1 2 , GM ? OE ? 1 , 2

∴ tan ?EMG ?

3 EG ? 2 ,? COS?EMG ? 3 GM
z D

3 所以,二面角 E ? OF ? A 的余弦值为 。…..12 分 3
解法二: (1)建立如图所示的直角坐标系 O-xyz, 则 OE ? (1, ?1, 2) , OF ? (0, 2, 0) .

??? ?

??? ?

E O A x B F

C y

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OE ? OF 1 ? ? ? cos ? OE , OF ?? ???? ??? ? ? . 2 | OE || OF |

??EOF ? 120? .…..6 分
(2)设平面 OEF 的法向量为 n1 ? (1, y, z ) . 由 n1 ? OE ? 0, n1 ? OF ? 0, 得

??

?? ??? ?

?? ??? ?

?1 ? y ? 2 z ? 0, ? 解得 y ? 0, ? ? 2 y ? 0, ?
所以, n1 ? (1, 0, ?

z??

2 . 2

??

2 ) .…..9 分 2
?? ?

又因为平面 AOF 的法向量为 n2 ? (0, 0,1) ,…..10 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? ? .…..11 分 | n1 || n2 | 3
且根据方向判断,二面角 E ? OF ? A 的大小为余弦为

3 。…..12 分 3

(此题改编自《选修 2-1》P118,12) 21.解:(1) 解法一:设 D 在 ? 上的射影为 H

? AC ? ? , DH ? ? ? AC // DH , ? AC, DH 共面,?过 D 作 DK ? AC
于 K ,则 AHDK 为矩形,…..4 分 设 DH ? h ,则 ( AC ? h) ? AH ? CD ,①…..6 分
2 2 2

由三垂线定理易知 BH ? AB ? AH ? AB ? BH ? AB ? ( BD ? h ) ②…..8 分
2 2 2 2 2 2

将②代入①,得: (24 ? h) ? 7 ? (24 ? h ) ? 25 ,解得 h ? 12 ,…..10 分
2 2 2 2 2

于是 sin ?DBH ?

1 ? ? ,? ?DBH ? 30 ,即 BD 与 ? 所成的角是 30 。…..12 分 2

解法二:按教师教学用书 P102 的建坐标系方法(如图) 。得到

A(0,0,0), B(0,7,0), C (0,0,24) ,

设 D( x, y, z ) 由: BD? AB ? ( x, y ? 7, z ) ? (0,7,0) ? 0 ? y ? 7 ,

?

?

? x 2 ? z 2 ? 24 由 BD ? 24, CD ? 25 ? ? 2 ? x ? 12 3 , z ? 12 ……..8 分 2 2 ? x ? 7 ? ( z ? 24 ) ? 25
? ?

? D(12 3,7,12) ,? BD ? (12 3 ,0,12 ) ? cos? ?
?

?

BD? AC BD ? AC
? ?

?

?

?

? ? 1 ? ? BD? AC ?? 60 ? , 2

且 CA 是 ? 的一个法向量,?根据图中方向可知, BD 与 ? 应成角为 30 。……..12 分 解法三:向量法(理科) (此题模型来自《选修 2-1》P113,例 9,P111,练习 1)
?

1 1 x x2 ? x? 2 25 ? , (0 ? x ? 10 ) 22. (1)由题意, y ? EF ? SO ? ? x ? 5 ? ? ? ? 2 2 2 4 ?2?

2

x 100 ? x 2 , (0 ? x ? 10 ) (注:两个形式的结果都给分)….4 分 进一步化为: y ? 4
(2)? y ?

x 100 ? x 2 1 2 1 x 2 ? 100 ? x 2 25 ? x (100 ? x 2 ) ? ? ? 。 4 4 4 2 2
S
2 2

当且仅当 x ? 100 ? x (0 ? x ? 10) ,即 x ? 5 2 时取得最大值。…..9 (3)存在这样的点的轨迹,下面说明:



T A O
H

D F C

B

G

取 BC 的中点 G , SC 中点 T ,连接 FG, GT , TF ,易证明 AC ? 平面 GFT 。 (可由 AC ? 平面SBD, 且 平面TGF // 平面SBD, 也可证 AC ? GT , AC ? FT 等, 均给 分),此时,只要 P 在平面 GFT 与棱锥的表面的交线上运动,均有 FP ? AC 。 此时,由中位线性质可知, ?GFT 的周长 l ?
? ?

1 ( SB ? BD ? SD) 2

?

1 x x x 2x ( 5 2 ? ( ) 2 ? 5 2 ? ( ) 2 ? 2 x) ? 5 2 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 2

在(1)的条件下, l ?

5 6 ? 10 。…. …….14 分 2

(注一:找出来,并作图,给 2 分,说明 2 分,周长 1 分) (注二:作图顺序和方式可能不同,但目标只要是找过点 F 和直线 AC 垂直的平面,与棱锥的表 ...... ... ..... ..... 面的交线 ,即给分,例如上面找平面 GFT 的过程亦可先连接 GF 与 AC 交于 H ,过 H 作 ....

HT // SC 于 T ,这样找到 T 的过程已经证明了平面 GFT 是 AC 的垂面)
(此题改编自《必修 2》P37,4)



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