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2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准

2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准


2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高三年级统一考试

乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验

绝密★启封前
1.选 D.【解析】 A ? ? ? U B ? ? ?1, 4, 5? ? ?1, 5, 6 ? ? ?1, 4, 5, 6 ? . 2.选 C.【解析】
1 ? 2i i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? b i ? 2 ? i ,所以 a ? 2 , b ? 1 .
2 2

3.选 B.【解析】 x ? 1 ? ? 1 ? x ? 1 , lg x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? ? 1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1 . 4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x ) 的定义域为 ? ? 1,1 ? 记 F ( x ) ? f ? x ? ? g ( x ) ? lo g 2
?1? x ? ? lo g 2 ? F ( ? x ) ? lo g 2 ? 1? x ?1? x ?

1? x 1? x

,则

1? x

?1

? ? lo g 2

1? x 1? x

? ? F ( x ) ,故 f

?x? ?

g ( x ) 是奇函数.

5.选 D.【解析】函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x ) ? x ? m 的根, 作出 h ( x ) ? f ? x ? ? x ? ?
? x,
x

x ? 0

?e ? x, x ? 0

的图象,观察它与直线 y ? m 的交点,得知当

m ? 0 时,或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? m 有零点.

6.选 A.【解析】由 a 1 ? 1 , a 3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: S k ? 2 ? S k ? a k ? 2 ? a k ? 1
? 2 a 1 ? ( 2 k ? 1) d ? 4 k ? 4 ? 3 6 ,解得 k ? 8 .

7.选 B.【解析】 A B ? 5, y A ? y B ? 4 ,所以 x A ? x B ? 3 ,即
? ? ?
3

T 2

? 3 ,所以 T ?

2?

?

? 6,

由 f ? x ? ? 2 s in ?

? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2 , ? 2 ? ,即 2 s in ? ? ? ? ? ?2 ,0 ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? ??

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 1 页(共 9 页)

解得 ? ?

5? 6

,函数为 f ? x ? ? 2 sin ?

?? ? 3

x?

? ? 5? ? 5? ? ? x? ? 2k? ? , ? ,由 2 k ? ? 2 3 6 2 6 ?

解得 6 k ? 4 ? x ? 6 k ? 1 ,故函数单调递增区间为 ? 6 k ? 4, 6 k ? 1 ? ? k ? Z ? . 8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 n n ?1

? 1 ,有 2

n ?1

? 1 ? 1 2 7 ,故 n ? 6 .

9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?
1 2 x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直

线 y ? ? x ? z 过点 O (0 , 0 ) 时, z m in ? 0 . 11.选 D.【解析】易知直线 B 2 A 2 的方程为 b x ? a y ? a b ? 0 ,直线 B1 F 2 的方程 为 b x ? cy ? b c ? 0 ,联立可得 P ?
????

b ?a ? c? ? ? ,又 A 2 ? a , 0 ? , B1 ? 0, ? b ? , a?c ? ?a?c ? 2ac ,

∴ P B1 ? ?

???? ? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? ? ?2ac ?2ab ? , , , P A2 ? ? ? ,∵ ? B 1 P A 2 为钝角 ? a?c ? a?c a?c ? ? a?c ?
2 2

???? ???? ? ?2a c ? a ? c ? 2ab ? a ? c ? ? ? 0 ,化简得 b 2 ? a c ,即 a 2 ? c 2 ? a c , ∴ P A 2 ? P B1 ? 0 ,即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
c ? c ? 故 ? ? ? ? 1 ? 0 ,即 e 2 ? e ? 1 ? 0 , e ? a ?a ?
2

5 ?1 2

或e ?

?

5 ?1 2

,而 0 ? e ? 1 ,所以

5 ?1 2

? e ?1.

12.选 B.【解析】设 ? A B C 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ? C 所对的边,由

?CA ? CB ? ? AB ? 5

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 ??? AB

2

得CA ? AB ? CB ? AB ?
3 5
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 3 ??? AB 5

2

.
3 5

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ?
a ?c ?b
2 2 2 2 2

c ,∴ a c o s B ? b c o s A ?
2

c.

∴a ?

?b?

b ?c ?a 2bc
2

?
2

3 5

c ,即 a ? b ?
2 2

3 5

c ,

2

2ac

a ?c ?b tan A

2 2 2 2

3

sin A co s B a a ?c ?b ∴ ? ? ? ? 2 2 a2c ? 2 ? 2 2 2 tan B sin B co s A b b ?c ?a b ?c ?a 2bc

c ?c
2

2

5 ? 4. 3 2 2 ? c ?c 5

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市高三年级统一考试
2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 2 页(共 9 页)

乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验

绝密★启封前
二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 6 8 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =
10 + 20 + 30 + 40 + 50 5
? 由 y = 0 .6 7 x + 5 4 .9 过 ? x , y ? 得 y = 0 .6 7 ? 3 0 + 5 4 .9 = 7 5

? 30 ,



62 + m + 75 + 81 + 89 5 1 6

= 7 5 ,故 m ? 6 8 .

14.填

. 【解析】平面 A1 B C 1 ∥平面 A C D 1 ,∴ P 到平面 A C D 1 的距离等于平面 A1 B C 1 与平
1 3 3 3 3 2 1 2 3 2

面 A C D 1 间的距离,等于

B1 D ?

,而 S ? A C D ?
1

A D 1 ? C D 1 sin 6 0 ? ?



∴三棱锥 P ? A C D 1 的体积为 ?
3 ?? ? 6

1

?

3 3

?

1 6

.

15.填 y ? s in ?

t?

? ?

? 2? ? ? ? 【解析】? x O A 0 ? , A 每秒旋转 点 , 所以 t 秒旋转 t , ?. 3 12 6 6 3 ?

? A0 O A ?

?
6

t , ? xO A ?

?
6

t?

?
3

,则 y ? sin ? xO A ? s in ?

?? ? 6

t?

? ?

?. 3 ?

16.填 2 .【解析】设直线 O A 的方程为 y ? kx ,则直线 O B 的方程为 y ? ?
? y ? kx 2 2 2k ? 2 2 , y1 ? 则点 A ? x1 , y 1 ? 满足 ? 2 y 2 故 x1 ? , 2 2 2?k 2?k ?1 ?x ? ? 2

1 k

x,

∴ OA

2

? x1 ? y 1 ?
2 2

2 ?1 ? k 2?k

2

?
2

2

,同理 O B

2

?

2 ?1 ? k
2

2

?

2k ? 1



故 OA ? OB

2

2

?

4 ?1 ? k
4

2

?
2

?2k ? 5k ? 2

? ?2 ?

4 9k
2 2

?k

2

? 1?

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 3 页(共 9 页)



k

2 2

?k

2

? 1?

? k ?
2

1 1 k
2

? ?2

1 4

(当且仅当 k ? ? 1 时,取等号)

∴ OA ? OB

2

2

? 1 6 ,故 S ? A O B ?

1 2

O A ? O B 的最小值为 2 .

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(Ⅰ)设 ? a n ? 的公比为 q , ? b n ? 的公差为 d ,依题意 ?
?d ? ?5 ?d ? 2 ? ? 解得 ? 3 (舍) 1 ,或 ? ?q ? ?q ? ? 8 ? 2 ?

?2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?
n?2

?1? ∴ an ? ? ? ?2?

, bn ? 2 n ;

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a b ? a 2 n
n

?1? ?? ? ?2?
2n?2

2n?2



因为 a b

n

?1? ? 0 .0 0 1 ? ? ? ?2?

? 0 .0 0 1 ? 2

2n?2

? 1000 ,

所以 2 n ? 2 ? 1 0 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.

…12 分

18. (Ⅰ)记“从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中, 随机抽出 2 天, 恰有一天空气质量达到一级” 为事件 A , ∵从 9 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,有 ? 2 8, 3 3? , ? 2 8, 3 1? , ? 2 8, 4 4 ? ,

? 2 8, 4 5? , ? 2 8, 6 3? ,? 2 8, 7 9 ? , ? 2 8, 8 1? , ? 2 8, 8 6 ? ,? 3 3, 3 1? , ? 3 3, 4 4 ? , ? 3 3, 4 5 ? ,? 3 3, 6 3? , ? 3 3, 7 9 ? , ? 3 3, 8 1? , ? 3 3, 8 6 ? , ? 3 1, 4 4 ? , ? 3 1, 4 5? , ? 3 1, 6 3? , ? 3 1, 7 9 ? , ? 3 1, 8 1? , ? 3 1, 8 6 ? ,
? 4 4 , 4 5? , 4 4, 6 3? , ? 4 4, 7 9 ? , ? 4 4 , 8 1? , ? 4 4 , 8 6 ? , 4 5, 6 3? , ? 4 5, 7 9 ? , ? 4 5, 8 1? , ? 4 5, 8 6 ? , ? ?

? 6 3, 7 9 ? , ? 6 3, 8 1? , ? 6 3, 8 6 ? , ? 7 9 , 8 1? , ? 7 9 , 8 6 ? , ? 8 1, 8 6 ? 共 3 6 种情形,其中恰有一天
空 气 质 量 达 到 一 级 的 有 ? 2 8, 4 4 ? , ? 2 8, 4 5? , ? 2 8, 6 3? , ? 2 8, 7 9 ? , ? 2 8, 8 1? , ? 2 8, 8 6 ? ,

? 3 3, 4 4 ? , ? 3 3, 4 5? ,? 3 3, 6 3? , ? 3 3, 7 9 ? , ? 3 3, 8 1? , ? 3 3, 8 6 ? ,? 3 1, 4 4 ? , ? 3 1, 4 5? ,? 3 1, 6 3? ,

? 3 1, 7 9 ? , ? 3 1, 8 1? , ? 3 1, 8 6 ? 共 1 8 种情形,∴ P ? A ? ?

18 36

?

1 2



…6 分

(Ⅱ)依题意可知,这 9 天中空气质量达到一级的有 3 天,那么供暖期间估计(按 1 5 0 天计 算)有 ? 1 5 0 ? 5 0 天的空气质量达到一级.
9 3

…12 分

19. (Ⅰ)连接 A C , B D ,设 A C ? B D ? O ,则 V O ⊥平面 A B C D , 连接 A M ,设 A M ? B D ? E ,由 B M : B C ? 1 : 3 , ? M E B ~ ? A E D , 得 B E : E D ? 1 : 3 ∴ E 为 O B 的中点,而 P 为 V B 的中点,故 P E ∥ V O
: 在 D A 上取一点 N , D D 使 N A ?3 1 :

C , N ? B D ? F 同理 Q F ∥ V O , 于是 P E ∥ Q F

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 4 页(共 9 页)

在正方形 A B C D 中 A M ∥ C N ,∴平面 A P M ∥平面 C Q N ,又 C Q ? 平面 C Q N ∴ C Q ∥平面 P A M ; (Ⅱ)延长 B A 至 G 使 B A ? A G ,连接 V G ,则 V G ∥ A P 且 V G ? 2 A P 延长 D C 至 H 使 D C ? C H ,连接 V H ,,则 V H ∥ C Q 且 V H ? 2 C Q ∴相交直线 V G 与 V H 所成的不大于 9 0 ? 的角即为异面直线 A P 与 C Q 所成的角 连接 G H ,在 ? G V H 中, G H ? 2 3 0 , V G ? V H ? 2 A P ? 2 C Q ? 2 1 5 ∴GH
2

…6 分

? V G ? V H ,∴ ? G V H ? 9 0 ? ,即 C Q ⊥ A P .
2 2

…12 分

20. (Ⅰ)⊙ F 的半径为

4?1 4 ?3
2 2

? 1 ,⊙ F 的方程为 ? x ? 1 ? ? y ? 1 ,
2 2

由题意动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,分以下情况: (1)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切,但切点不是原点的情况: 作 M H ⊥ y 轴于 H ,则 M F ? 1 ? M H ,即 M F ? M H ? 1 ,则 M F ? M N ( N 是过 M 作直线 x ? ? 1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ? 1 为 准线的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ;
2

(2)动圆 M 与⊙ F 及 y 轴都相切且仅切于原点的情况: 此时点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 0 ( x ? 0, 1) ; (Ⅱ)对于(Ⅰ)中(1)的情况: 当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1 ? ,由 ?
? y ? k ? x ? 1? ? ? y ? 4x ?
2

…6 分



k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k
2 2 2

2

? 0 ,设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ?

2k ? 4
2

k

2

, x1 x 2 ? 1

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 5 页(共 9 页)

∴ sin ? ? sin ? ?

1 AF

?

1 BF

?

1 x1 ? 1

?

1 x2 ? 1

?

x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

?

x1 ? x 2 ? 2 1 ? x1 ? x 2 ? 1

?1,

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 对于(Ⅰ)中(2)的情况不符合题意(即作直线 l ,交 C 于一个点或无数个点,而非 两个交点). 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 .
3 2

…12 分

21. (Ⅰ)函数 f ? x ? ? a x ? b x ? cx ? d ? a ? 0 ? 的零点的集合为 ? 0,1? ,则方程 f ? x ? ? 0 的解可以为 x1 ? x 2 ? 0, x 3 ? 1 ,或 x1 ? x 2 ? 1, x 3 ? 0 . ∴ f ? x ? ? a x ? x ? 1? 或 f ? x ? ? a x ? x ? 1? .
2
2

2 2 ①若 f ? x ? ? a x ? x ? 1 ? ? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? 2 a x ? x ? 1 ? ? a x ? 3 a x ? x ?

? ?

2? ?. 3?

当 x ? 0 ,或 x ?

2 3

时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当 0 ? x ?

2 3

, f ?? x? ? 0 ,

函数 f ? x ? 为减函数; ∴x ? 0 ,x ?
2 3

为函数的极值点.与题意不符.
2

②若 f ? x ? ? a x ? x ? 1 ? ? a ? 0 ? ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? 1 ? ? 3 x ? 1 ? 当x ?
1 3

,或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 为增函数;当

1 3

? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ,函

数 f ? x ? 为减函数; ∴x ?
1 3

, x ? 1 为函数的极值点.
2 2 3 2

综上,函数 f ? x ? ? a x ? x ? 1 ? ? a ? 0 ? ,即 f ? x ? ? a x ? x ? 1 ? ? a x ? 2 a x ? a x , 而 f ? x ? ? a x ? b x ? cx ? d ? a ? 0 ? ,故 b ? ? 2 a ,∴
3 2

b a

? ?2

…6 分

(Ⅱ)设过点 P ? m , 0 ? 的直线与曲线 y = f ? x ? 切于点 Q ? x 0 , y 0 ? , 由(Ⅰ)知 f ? ? x 0 ? ? 3 a ? x0 ?
? ? ? ? 1? ? ? x0 ? 1 ? ,∴曲线 y = f 3?

? x ? 在点 Q ? x 0 , y 0 ? 处的切线方

程为 y ? y 0 ? 3 a ? x 0 ?

1? ? ? x0 ? 1? ? x ? x0 ? , 3?

2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 6 页(共 9 页)

∵ P ? m , 0 ? 满足此方程,故 ? y 0 ? 3 a ? x 0 ?
? ? ?

?

1? 2 ? ? x 0 ? 1 ? ? m ? x 0 ? ,又 y 0 ? a x 0 ? x 0 ? 1 ? 3?

即 ? a x0 ? x0 ? 1? ? 3a ? x0 ?
2

1? 2 ? ? x 0 ? 1 ? ? m ? x 0 ? ,∴ ? x 0 ? 1 ? ? 2 x 0 ? 3 m x 0 ? m ? ? 0 . 3?
2

x 0 ? 1 , 或 2 x 0 ? 3 m x 0 ? m ? 0 …① , 关 于 x 0 的 方 程 2 x 0 ? 3 m x 0 ? m ? 0 的 判 别 式
2

? ? 9m ? 8m
2

当m ? 0 或m ?

8 9

时, ? ? 0 ,方程①有两等根 x 0 ? 0 或 x 0 ?

2 3

,此时,过点 P ? 0, 0 ? 或

?8 ? P ? , 0 ? 与曲线 y = f ?9 ?

? x ? 相切的直线有两条;

当0 ? m ?

8 9

时, ? ? 0 ,方程①无解,此时过点 P ? m , 0 ? 与曲线 y = f ? x ? 相切的直线

仅有一条; 当m ? 0 或m ?
y= f
8 9

时, ? ? 0 ,方程①有两个不同的实根,此时过点 P ? m , 0 ? 与曲线 …12 分

? x ? 相切的直线有三条.

22. (Ⅰ)连接 B C ,∵ A B 是 ? O 的直径,∴ ? A C B ? 9 0 ? . ∴ ? B ? ? C AB ? 90? . ∵ A D ? C E ,∴ ? A C D ? ? D A C ? 9 0 ? , ∵ A C 是弦,且直线 C E 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B . ∴ ? D A C ? ? C A B ,即 A C 平分 ? B A D ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? A B C ? ? A C D ,∴
2

…5 分 ,由此得 A C ? A B ? A D
2

AC AB

?

AD AC
2

∵ A B ? 4 A D ,∴ A C ? 4 A D ? A D = 4 A D ? A C ? 2 A D ,于是 ? D A C ? 6 0 ? , 故 ? B A D 的大小为 1 2 0 ? .
2 2 23. (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x , y ? ,则 ? x , 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上,

…10 分

于是 x ? ? 2 y ? ? 4 即
2 2

x

2

? y ?1.
2

4

直线 3 x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3 ? c os ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l 0 , 设直线 l 上任一点为 ? ? , ? ? ,则点 ? ? , ? ? 9 0 ? ? 在 l 0 上,
2013 年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第 7 页(共 9 页)

于是 3 ? c os ? ? ? 9 0 ? ? ? 2 ? sin ? ? ? 9 0 ? ? ? 8 ? 0 , 即:3 ? sin ? ? 2 ? c os ? ? 8 ? 0 , 故直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ; (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 c os ? , sin ? ? ,
4 c o s ? ? 3 sin ? ? 8 2 ?3
2 2

…5 分

它到直线 l 的距离为 d ? 其中 ? 0 满足: c o s ? 0 ?
4 5

?

5 c o s ?? ? ? 0 ? ? 8 13



, sin ? 0 ?

3 5

. …10 分 …5 分

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d m a x ?

13 .

24.(Ⅰ) f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 1 .
a ?2
2

(Ⅱ)∵

?

a ?1?1
2

?

a ?1 ?
2

1 a ?1
2

? 2,

a ?1
2

a ?1
2

∴要使

a ?2
2

a ?1
2

? x ? 1 ? x ? 2 成立,需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 .

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2
?

,或 ?

?1 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2
?5 ?

,或 ?

?x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ?2

,解得 x ?

1 2

,或 x ?

5 2

故 x 的取值范围是 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? . 2? ?2 ? ?

1?

…10 分

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乌鲁木齐地区 2013 年高三年级第一次诊断性测验

绝密★启封前
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

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