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四川省内江市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

四川省内江市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

四川省内江市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()

A. 棱锥

B. 棱台

C. 圆锥

D. 棱柱

2. (5 分)下列关于随机抽样的说法不正确的是() A. 简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B. 系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等 C. 有 2006 个零件,先用随机数表法剔除 6 个,再用系统抽样方法抽取 20 个作为样本,每 个零件入选样本的概率都为 D. 当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 3. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则异面直线 AC1 与 BB1 所成 的角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)下列说法正确的是() 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B. “a、b 都是有理数”的否定是“a、b 都不是有理数” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2 D. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 5. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 () A. 若 m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n B. 若 m⊥α ,n⊥β 且 m⊥n,则 α ⊥β C. 若 α ⊥β ,m∥n 且 n⊥β ,则 m∥α D. 若 m? α ,n? β 且 m∥n,则 α ∥β

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 6. (5 分)在“唱响内江”选拔赛中,甲、乙两位歌手的 5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、 乙两人的平均得分分别 、 ,则下列判断正确的是()

A. C.

< >

,乙比甲成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

< >

,甲比乙成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

7. (5 分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所 想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲 乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为() A. B. C. D.

8. (5 分)如图是正方体的展开图,则在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行 ②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角 ④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确的序号是()

A. ①②③

B. ②④

C. ③④

D. ③

9. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 y=()

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A.

B. 1

C. ﹣1

D. 2

10. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2 ,以顶点 A 为球心,4 为半径作一个 球,则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于()

A.

B.

C. π

D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)读如图两段程序,完成下面题目.若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同,则程序Ⅱ中输入 的值 x 为.

12. (5 分)一段细绳长 10cm,把它拉直后随机剪成两段,则两段长度都超过 4 的概率为.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (5 分)在分别标有号码 2,3,4,6,8,9 的 6 张卡片中,随机取出两张卡片,记下它 们的标号,则较大标号能被较小标号整除的概率是. 14. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积是.

15. (5 分)对于四面体 A﹣BCD,有以下命题: ①若 AB=AC=AD,则 AB,AC,AD 与底面所成的角相等; ②若 AB⊥CD,AC⊥BD,则点 A 在底面 BCD 内的射影是△BCD 的内心; ③四面体 A﹣BCD 的四个面中最多有四个直角三角形; ④若点 A 到底面三角形 BCD 三边的距离相等,则侧面与底面所成的二面角相等; ⑤若四面体 A﹣BCD 是棱长为 1 的正四面体,则它的内切球的表面积为 其中,正确的命题是(写出所有正确命题的编号) . 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 2 2 16. (12 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a>0) ,q:x∈(2,3] (1)若命题“若 q,则 p”为真,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 是¬q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知三棱柱 ABCD﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AC=BC,点 D 是 AB 的中点.求 证: (1)平面 CA1D⊥平面 AA1B1B; (2)BC1∥平面 CA1D. .

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)某校早上 7:30 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:00﹣7:20 之 间到校, 且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概 率为多少?

19. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,且 AB=AD= CD=1.现以 AD 为 一边向梯形外作正方形 ADEF,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证:AM∥平面 BEC; (2)求证:BC⊥平面 BDE; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.

20. (13 分)某企业员工共 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第一组[25,30) , 第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50],得到的频率分布直 方图如图所示. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 50 50 a 150 b (1)表是年龄的频数分布表,求正整数 a,b 的值; (2)根据频率分布直方图,估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数; (3)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,从这 6 人中随机抽 取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

21. (14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点.且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

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四川省内江市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()

A. 棱锥

B. 棱台

C. 圆锥

D. 棱柱

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 直接利用三视图判断直观图即可. 解答: 解:由题意不难判断几何体是三棱柱, 故选:D. 点评: 本题考查空间几何体的三视图与直观图的关系,基本知识的考查. 2. (5 分)下列关于随机抽样的说法不正确的是() A. 简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B. 系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等 C. 有 2006 个零件,先用随机数表法剔除 6 个,再用系统抽样方法抽取 20 个作为样本,每 个零件入选样本的概率都为 D. 当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 考点: 专题: 分析: 解答: 系统抽样方法;分层抽样方法. 概率与统计. 根据抽样的定义和性质分别进行碰到即可. 解:A.简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样,正确.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com B.系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等,正确. C.有 2006 个零件,先用随机数表法剔除 6 个,再用系统抽样方法抽取 20 个作为样本,每 个零件入选样本的概率都为 ,故 C 错误,

D.当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样,正确. 故选:C 点评: 本题主要考查与抽样有关的命题的真假判断,比较基础. 3. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则异面直线 AC1 与 BB1 所成 的角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,连接 AC,由 B1B∥C1C,可得∠AC1C 是异面直线 AC1 与 BB1 所成的角,再 利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 解答: 解:如图所示,连接 AC, ∵B1B∥C1C,∴∠AC1C 是异面直线 AC1 与 BB1 所成的角. 在 Rt△AC1C 中,AC1= = = =3,

cos∠AC1C= 故选:C.

= .

点评: 本题考查了异面直线所成的角、 长方体的性质、直角三角形的边角关系,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 4. (5 分)下列说法正确的是() 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B. “a、b 都是有理数”的否定是“a、b 都不是有理数” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com D. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用否命题的定义判断 A 的正误; 利用命题的否定判断 B 的正误; 利用逆否命题的 真假判断 C 的正误;充要条件判断 D 的正误; 2 2 解答: 解:对于 A,命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,所以 A 不正确; 对于 B,“a、b 都是有理数”的否定是“a、b 不都是有理数”,所以 B 不正确; 对于 C,命题“若 x=y,则 sinx=siny”,因为原命题是真命题,所以它的逆否命题为真命 题,所以 C 正确; 2 对于 D,“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,所以 D 不正确; 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用,考查四种命题的关系,充要条件的应用,考查 基本知识的考查. 5. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 () A. 若 m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n B. 若 m⊥α ,n⊥β 且 m⊥n,则 α ⊥β C. 若 α ⊥β ,m∥n 且 n⊥β ,则 m∥α D. 若 m? α ,n? β 且 m∥n,则 α ∥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的关系求解. 解答: 解:若 m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误; 若 m⊥α ,n⊥β 且 m⊥n,则由平面与平面垂直的判定定理知 α ⊥β ,故 B 正确; 若 α ⊥β ,m∥n 且 n⊥β ,则 m∥α 或 m? α ,故 C 错误; 若 m? α ,n? β 且 m∥n,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:B. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 6. (5 分)在“唱响内江”选拔赛中,甲、乙两位歌手的 5 次得分情况如茎叶图所示,记甲、 乙两人的平均得分分别 、 ,则下列判断正确的是()
2

A. C.

< >

,乙比甲成绩稳定 ,甲比乙成绩稳定

B. D.

< >

,甲比乙成绩稳定 ,乙比甲成绩稳定

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考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数的公式进行求解,结合数据分布情况判断稳定性 解答: 解:由茎叶图可知 = (75+86+88+88+93)= = (77+76+88+90+94)= =86,则 < , ,

乙的成绩主要集中在 88 附近,乙比甲成绩稳定, 故选:A 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键. 7. (5 分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所 想的数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲 乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个古典概型.试验发生的所有事件是从 1,2,3,4,5,6 中任 取两个数由分步计数原理知共有 6×6=36 种不同的结果, 而满足条件的|a﹣b|≤1 的情况通 过列举得到共 16 种情况,代入公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从 1,2,3,4,5,6 任 取两个共有 6×6=36 种不同的结果, 则|a﹣b|≤1 的情况有(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) , (1,2) , ( 2, 1) , (2,3) , (3,2) , (3,4) , (4,3) , (4,5) , (5,4) , (5,6) , (6,5)共 16 种情况, 他们”心有灵犀”的概率为 P= 故选 C 点评: 本题考查了概率的简单计算能力,是一道列举法求概率的问题,属于基础题,可以 直接应用求概率的公式. 8. (5 分)如图是正方体的展开图,则 在这个正方体中: ①BM 与 ED 平行 ②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角 ④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确的序号是()

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A. ①②③

B. ②④

C. ③④

D. ③

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 由正方体可得: ①BM 与 ED 为异面直线, ②四边形 BCNE 为平行四边形, 可得 CN∥BE, ③由于△BEM 为等边三角形,BE∥CN,可得 CN 与 BM 成 60°角,④由正方体的性质,线面垂 直的性质可得 DM 与 BN 垂直. 解答: 解:由展开图可得正方体. 由正方体可得:①BM 与 ED 为异面直线,不正确; ②四边形 BCNE 为平行四边形,可得 CN∥BE,因此不正确; ③由于△BEM 为等边三角形,BE∥CN,可得 CN 与 BM 成 60°角,正确; ④由正方体的性质可得:DM⊥平面 BCN,∴DM 与 BN 垂直,正确.

点评: 本题考查了正方体的性质、空间线面位置关系,考查了空间想象能力、推理能力, 属于中档题. 9. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 y=()

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A.

B. 1

C. ﹣1

D. 2

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟程序框图的运行过程,得出该程序是计算 y 的值,并且以 3 为周期,从而得出 程序运行的结果是什么. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,如下: y=2,i=1,1≥2014?,否,y=1﹣ = ; i=1+1=2,2≥2014?,否,y=1﹣ =﹣1;

i=2+1=3,3≥2014?,否,y=1﹣

=2;

i=3+1=4,4≥2014?,否,y=1﹣ = ; ,?, i=2012+1=2013,2013≥2014?,否,y=1﹣ =2;

i=2013+1=2014,2014≥2014?,是,输出 y:2. 故选:D. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 寻找解答问 题的途径,是基础题. 10. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2 ,以顶点 A 为球心,4 为半径作一个 球,则图中球面与正方体的表面相交所得的两段弧长之和等于()

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A.

B.

C. π

D.

考点: 球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 球面与正方体的六个面都相交, 所得的交线分为两类: 一类在顶点 A 所在的三个面 上,即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上;另一类在不过顶点 A 的三个面上,即面 BB1C1C、 面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和. 解答: 解:如图,球面与正方体的六个面都相交, 所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的三个面上,即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上; 另一类在不过顶点 A 的三个面上,即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上. 在面 AA1 B1B 上,交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上,因为 AE=4,AA1=2 , 则∠A1AE= .同理∠BAF= = ,所以∠EAF= , ,

故弧 EF 的长为:2×

而这样的弧共有三条. 在面 BB1C1C 上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上, 此时,小圆的圆心为 B,半径为 2,∠FBG= 所以弧 FG 的长为:1× 于是,所得的曲线长为: 故选:A. = + . = . ,

点评: 本题考查空间几何的性质和综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地 进行等价转化. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 11. (5 分)读如图两段程序,完成下面题目.若Ⅰ、Ⅱ的输出结果相同,则程序Ⅱ中输入 的值 x 为 0.

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟伪代码的运行过程,即可得出正确的结论. 解答: 解:根据题意, Ⅰ中伪代码运行后输出的是 x=3×2=6; Ⅱ中运行后输出的也是 y=6, 2 ∴x +6=6, ∴x=0; 即输入的是 0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了算法语言的应用问题, 解题时应模拟算法语言的运行过程, 以便得出正 确的结果,属于基础题. 12. (5 分) 一段细绳长 10cm, 把它拉直后随机剪成两段, 则两段长度都超过 4 的 概率为 0.2. 考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 测度为长度,一段细绳长 10cm,把它拉直后随机剪成两段,只能在中间 2 厘米的 绳子上剪断,从而可求概率. 解答: 解:记“两段的长都超过 4 厘米”为事件 A, 则只能在中间 2 厘米的绳子上剪断,此时剪得两段的长都超过 4 厘米, 所以事件 A 发生的概率 P(A)= =0.2

故答案为:0.2. 点评: 本题考查几何概型,明确测度,正确求出相应测度是关键. 13. (5 分)在分别标有号码 2,3,4,6,8,9 的 6 张卡片中,随机取出两张卡片,记下它 们的标号,则较大标号能被较小标号整除的概率是 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先列举出所有的基本事件, 再找到较大标号被较小标号整除的基本事件, 根据概率 公式计算即可

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:分别标有号码 2,3,4,6,9 的 6 张卡片中,随机取出两张卡片的基本事件有 (2,3) , (2,4) , (2,6) , (2,8) , (2,9) , (3,4) , (3,6) , (3,8) , (3,9) , (4,6) , (4,8) , (4,9) , (6,8) , (6,9) , (8,9)故 15 种, 较大标号被较小标号整除有(2,4) , (2,6) , (2,8) , (3,6) , (3,9) , (4,8) ,共 6 种, 故较大标号被较小标号整除的概率是 P= 故答案为: 点评: 本题考查了古典概型的概率的计算, 关键是列举出所有的基本事件, 属于与基础题 14. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积是 28+4 . .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,几何体为底面边长为 2,高为 3 的长方体,切去一个角得到,切面的面积 为 2× =4 , =28,即可得出结论.

其余侧面的面积为 2×2+2×3×2+2×

解答: 解:由题意,几何体为底面边长为 2,高为 3 的长方体,切去一个角得到,切面的 面积为 2× =4 , =28

其余侧面的面积为 2×2+2×3×2+2×

∴侧面积是 28+4 , 故答案为:28+4 . 点评: 本题考查了由三视图求几何体的侧面积, 解题的关键是判断几何体的形状及相关数 据所对应的几何量. 15. (5 分)对于四面体 A﹣BCD,有以下命题: ①若 AB=AC=AD,则 AB,AC,AD 与底面所成的角相等; ②若 AB⊥CD,AC⊥BD,则点 A 在底面 BCD 内的射影是△BCD 的内心;

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ③四面体 A﹣BCD 的四个面中最多有四个直角三角形; ④若点 A 到底面三角形 BCD 三边的距离相等,则侧面与底面所成的二面角相等; ⑤若四面体 A﹣BCD 是棱长为 1 的正四面体,则它的内切球的表面积为 其中,正确的命题是①③⑤(写出所有正确命题的编号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 对于①,根据线面角的定义即可判断; 对于②,根据三垂线定理的逆定理可知,O 是△BCD 的垂心, 对于③在正方体中,找出满足题意的四面体,即可得到直角三角形的个数, 对于④点 A 在平面 BCD 内射影是△BCD 的内心,即可判断, 对于⑤作出正四面体的图形,球的球心位置,说明 OE 是内切球的半径,利用直角三角形, 逐步求出内切球的表面积. 解答: 解: 对于①, 因为 AB=AC=AD, 设点 A 在平面 BCD 内的射影是 O, 因为 sin∠ABO= sin∠ACO= ,sin∠ADO= , .

,所以 sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO,即则 AB,AC,AD 与底

面所成的角相等;故①正确; 对于②设点 A 在平面 BCD 内的射影是 O,则 OB 是 AB 在平面 BCD 内的射影,因为 AB⊥CD,根 据三垂线定理的逆定理可知:CD⊥OB 同理可证 BD⊥OC,所以 O 是△BCD 的垂心,故②不正 确; 对于③:如图:直接三角形的直角顶点已经标出,直角三角形的个数是 4.故③正确 对于④,四面体 A﹣BCD,点 A 到三边距离相等,则点 A 在平面 BCD 内射影是△BCD 的内心, 所以侧面与底面所成的二面角不相等.故④不正确. 对于⑤如图 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心,正四面体的棱长为:1; 所以 OE 为内切球的半径,BF=AF= 所以 AE= 因为 BO ﹣OE =BE , 所以( 所以 OE= ﹣OE) ﹣OE =( ,
2 2 2 2 2 2

,BE=



=



),

2

所以球的表面积为:4π ?OE = 故答案为:①③⑤

,故⑥正确.

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点评: 本题考查命题的真假判断与应用,综合考查了线面、面面垂直的判断与性质,考查 了学生的空间想象能力,是中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 2 2 16. (12 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(a>0) ,q:x∈(2,3] (1)若命题“若 q,则 p”为真,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 是¬q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1) 若命题“若 q, 则 p”为真, 则 q 是 p 的充分条件, 即可求实数 a 的取值范围; (2)若 p 是¬q 的充分条件,根据条件关 系即可求实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)由 x ﹣4ax+3a <0(a>0) ,得(x﹣a) (x﹣3a)<0, 则 a<x<3a, 即 p:x∈(a,3a) , 若命题“若 q,则 p”为真, 即 q 是 p 的充分条件,即(2,3]? (a,3a) , 即 ,即 ,解得 1<a≤2.

(2)¬q:x∈(﹣∞,2]∪(3,+∞) , 若 p 是¬q 的充分条件, 则(a,3a)? (﹣∞,2]∪(3,+∞) , ∵a>0, ∴ 或 a≥3,

解得 0<a≤ 或 a≥3,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即实数 a 的取值范围是 0<a≤ 或 a≥3. 点评: 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系, 利用充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键, 17. (12 分)已知三棱柱 ABCD﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AC=BC,点 D 是 AB 的中点.求 证: (1)平面 CA1D⊥平面 AA1B1B; (2)BC1∥平面 CA1D.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 CA1D⊥平面 AA1B1B; (2)根据线面平行的判定定理即可证明 BC1∥平面 CA1D. 解答: 证明: (1)由 AC=BC,D 是 AB 的中点,得 AB⊥CD, 由 AA1⊥面 ABC,得 AA1⊥CD, ∵AA1∩AB=A ∴CD⊥面 AA1B1B, ∵CD? 平面 CA1D, ∴平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. (2)连接 AC1 交 A1C 于点 E,连接 DE 因为四边形 AA1C1C 是矩形,知 E 为 AC1 的中点 又 D 是 AB 的中点,得到 DE∥BC1, 从而可得 BC1∥面 CA1D.

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行, 平面和平面垂直的判定, 根据相应的定理是解 决本题的关键. 18. (12 分)某校早上 7:30 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:00﹣7:20 之 间到校,且每人在该时间段的任何时 刻到是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的 概率为多少?

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考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的 全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y|0≤x≤20,0≤y≤20}是一个矩形区域,则小张比小 王至少早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率 模型的规则求解即可. 解答: 解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x, y) 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 Ω ={ (x, y|0≤x≤20, 0≤y≤20} 是一个矩形区域,对应的面积 S=20×20=400, 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象, 则符合题意的区域为△ADE,联立 得 ,即 D(15,20) ,

联立



,即 E(0,5) ,

则 S△ADE= ×15×15, 几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为

=



点评: 本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率, 求解的关键是掌握两种求概率的方法 的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键.

19. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,且 AB=AD= CD=1.现以 AD 为 一边向梯形外作正方形 ADEF,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证:AM∥平面 BEC; (2)求证:BC⊥平面 BDE; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.

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考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 AM∥平面 BEC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 AM 与平面 BEC 内一直线平行, 取 EC 中点 N, 连接 MN, BN, 根据中位线定理和条件可知 MN∥AB, 且 MN=AB, 从而得到四边形 ABNM 为平行四边形,则 BN∥AM,BN? 平面 BEC,且 AM?平面 BEC,满足定理 所需条件; (2) 欲证 BC⊥平面 BDE, 根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BC 与平面 BDE 内两相 交直线垂直, 根据面面垂直的性质可知 ED⊥平面 ABCD, 则 ED⊥BC, 根据勾股定理可知 BC⊥BD, 满足定理所需条件; (3) 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G,则 DG⊥平面 BEC,从而点 D 到平面 BEC 的距离等于 线段 DG 的长度, 在直角三角形 BDE 中, 利用等面积法即可求出 DG, 从而求出点 D 到平面 BEC 的距离. 解答: 解: (1)证明:取 EC 中点 N,连接 MN,BN. 在△EDC 中,M,N 分别为 EC,ED 的中点, 所以 MN∥C D,且 由已知 AB∥CD, . ,

所以 MN∥AB,且 MN=AB. (3 分) 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN∥AM. (4 分) 又因为 BN? 平面 BEC,且 AM?平面 BEC, 所以 AM∥平面 BEC. (5 分) (2)在正方形 ADEF 中,ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 ED⊥平面 ABCD. 所以 ED⊥BC. (7 分) 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=1,CD=2,可得 . 在△BCD 中, , 2 2 2 所以 BD +BC =CD . 所以 BC⊥BD. (8 分) 所以 BC⊥平面 BDE. (10 分) (3)由(2)知,BC⊥平面 BDE 又因为 BC? 平面 BCE,所以平面 BDE⊥平面 BEC. (11 分) 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G,则 DG⊥平面 BEC

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度(12 分) 在直角三角形 BDE 中,

所以 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 . (14 分)

点评: 本题主要考查了线面平行的判定, 以及线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有 关知识,同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想,属于综合题. 20. (13 分)某企业员工共 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第一组[25,30) , 第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50],得到的频率分布直 方图如图所示. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 50 50 a 150 b (1)表是年龄的频数分布表,求正整数 a,b 的值; (2)根据频率分布直方图,估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数; (3)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,从这 6 人中随机抽 取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布表;频率分布直方图. 专题: 计算题;2015 届高考数学专题;概率与统计. 分析: (I)由题设中频率分布直方图再结合频率、频数及样本容量之间的关系可得 a、b 的值; (II)根据估计平均数及估计中位数的求解公式即可求解; (III)根据分成抽样的定义知:第 1,2,3 组各部分的人数的比例为 1:1:4,则共抽取 6 人时,所以第 1,2,3 组三个年龄段应分别抽取的人数为 1,1,4,设第 1 组的 1 位同学为 A,第 2 组的 1 位同学为 B,第 3 组的 4 位同学为 C1,C2,C3,C4,列出所有情况,根据古典 概型运算公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题设可知,a=0.08×5×500=200,b=0.02×5×500=50,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)根据频率分布直方图可得,平均年龄为 = ( 27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02)×5=38.5, 估计中位数为:35+ =35.75,

(III)因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 6× 第 2 组的人数为 6× 第 3 组的人数为 =1 =1 =4

设第 1 组的 1 位同学为 A,第 2 组的 1 位同学为 B,第 3 组的 4 位同学为 C1,C2,C3,C4, 则从六位同学中抽两位同学有: (A,B) , (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4) , 共 15 种可能. 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: (A,B) ,共 1 种可能, 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1﹣ .

点评: 本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法,考查对立事件的概率,在考虑问题 时,若问题从正面考虑比较麻烦,可以从它的对立事件来考虑 21. (14 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点.且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: ( 1)根据面面垂直的判定定理推断出平面 ADE⊥平面 BCE; (2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角 E﹣AC﹣B 的大小; (3)在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点, 连 MN,证明平面 MGE∥平面 ADE,可得 MN∥平面 ADE,从而可得结论. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BF⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE, ∴BF⊥AE,BF⊥CE,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵EB=BC,∴F 是 CE 的中点, 又∵AD⊥平面 ABE,AD? 平面 ABCD, ∴平面 ABCD⊥平面 ABE, ∵平面 ABCD∩平面 ABE=AB,BC⊥AB ∴BC⊥平面 ABE, 从而 BC⊥AE,且 BC∩BF=B, ∴AE⊥平面 BCE, 又 AE? 平面 ADE, 故平面平面 ADE⊥平面 BCE. (2)由(1)知 AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥BE,即∠AEB=90°, 取 AB 的中点 O,连接 OE, 则 OE⊥AB, 建立以 O 为原点,OA,OE,OH 为 x,y,z 轴的空间坐标系如图: ∵AE=EB=BC=2, ∴AB=2 ,OA=OE= , 则 A( ,0,0) ,E(0, ,0) ,B(﹣ ,0,0) ,H(O,0,2) ,C(﹣ 则平面 ACB 的一个法向量为 =(0,1,0) , 设平面 EAC 的法向量为 =(x,y,z) , 则 由 =(﹣2 ,0,2) , ,得 , =(﹣ , , ,0) ,

,0,2) ,

令 x=1,则 y=1,z= 即 =(1,1, 则 cos< ) , >=

=



即<

>=60°,

故二面角 E﹣AC﹣B 的大小为 60°. (3)在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点, 在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连 MN, ∴CN= CE. ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE? 平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE,且 MG 与 GN 交于 G 点, ∴平面 MGE∥平面 ADE. 又 MN? 平面 MGN,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴MN∥平面 ADE. 故 N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.

点评: 本题考查面面垂直和线面平行的判定,以及二面角的求解,建立空间坐标系,利用 向量法是解决二面角的基本方法.



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