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人教版高中数学必修三 第二章 统计第二章

人教版高中数学必修三  第二章 统计第二章


第二章_2.32.3 变量间的相关关系 [学习目标] 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相 关关系.3.会求线性回归方程. 知识点一 变量间的相关关系 1.变量之间常见的关系 函数关系 相关关系 变量之间的关系可以用函数表示 变量之间有一定的联系,但不能完全用函数表示 2.相关关系与函数关系的区别与联系 类别 区别 ①函数关系中两个变量间是一种确 定性关系;②函数是一种因果关系, 函数关系 有这样的因,必有这样的果.例如, 圆的半径由 1 增大为 2,其面积必然 由 π 增大到 4π ①相关关系是一种非确定性关系. 例 如,吸烟与患肺癌之间的关系,两者 之间虽然没有确定的函数关系, 但吸 相关关系 烟多的人患肺癌的风险会大幅增加, 两者之间即是一种非确定性的关系; ②相关关系不一定是因果关系, 也可 能是伴随关系 联系 ①在一定的条件下可以相互 转化, 对于具有线性相关关系 的两个变量来说, 当求得其线 性回归方程后, 可以用一种确 定性的关系对这两个变量间 的取值进行评估; ②相关关系在现实生活中大 量存在,从某种意义上讲,函 数关系是一种理想的关系模 型, 而相关关系是一种更为一 般的情况 知识点二 散点图及正、负相关的概念 1.散点图 将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角坐标系中,以表示具有相关关系的两个变量的一组 数据的图形叫做散点图. 2.正相关与负相关 (1)正相关:散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. (2)负相关:散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 思考 任意两个统计数据是否均可以作出散点图? 答 可以,不管这两个统计量是否具备相关性,以一个变量值作为横坐标,另一个作为纵坐标,均可画出 第 1 页共 12 页 它的散点图. 知识点三 回归直线 1.回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直 线叫做回归直线. 2.回归方程与最小二乘法 ^ ^ ^ 我们用 yi-yi 来刻画实际观察值 yi(i=1,2,?,n)与yi 的偏离程度,yi-yi 越小,偏离越小,直线就越贴近已 ^ 知点.我们希望 yi-yi 的 n 个差构成的总的差量越小越好,这才说明所找的直线是最贴近已知点的.由于把 yi-yi 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消,因此我们用这些差量的平方和即 Q= n(yi-a-bxi)2 作为 i=1 ? ^ 总差量,回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条.因为平方又叫二乘方,所以这种使“差量平方和 最小”的方法叫做最小二乘法. ^ ^ 用最小二乘法求回归方程中的a,b有下面的公式: ? ?b= ?x - x ? ? ? ?a= y -b x , ^ n ?xi- i=1 ? x ??yi- y ? ?xiyi-n x i=1 2 n y , 2 = x2 i -n i=1 n i i=1 ? ? n x ^ ^ 1n 1n 其中 x = ?xi, y = ?yi. ni=1 ni=1 ^ ^ ^ ^ ^ 这样,回归方程的斜率为b,截距为a,即回归方程为y=bx+a. 思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗? 答 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断), 否则求出 的回归方程是无意义的. 题型一 变量间相关关系的判断 例 1 在下列两个变量的关系中,哪些是相


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