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导数

导数


导数 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题 1:一个小球自由下落,它在下落 3 秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是 s ?

1 2 gt (其中 g 是重力加速度). 2

当时间增量 ?t 很小时,从 3 秒到(3+ ?t )秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间 内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度. 从 3 秒到(3+ ?t )秒这段时间内位移的增量:

?s ? s(3 ? ?t ) ? s(3) ? 4.9(3 ? ?t ) 2 ? 4.9 ? 32 ? 29.4?t ? 4.9(?t ) 2
?s ? 29.4 ? 4.9?t . ?t ?s ?s 从上式可以看出, ?t 越小, 越接近 29.4 米/秒;当 ?t 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 29.4 米/秒. 此时我 ?t ?t ?s 们说,当 ?t 趋向于 0 时, 的极限是 29.4. ?t ?s 当 ?t 趋向于 0 时,平均速度 的极限就是小球下降 3 秒时的速度,也叫做瞬时速度. ?t ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? 一般地, 设物体的运动规律是 s=s (t) 则物体在 t 到 , (t+ ?t ) 这段时间内的平均速度为 . ?t ?t ?s ?s 如果 ?t 无限趋近于 0 时, 无限趋近于某个常数 a,就说当 ?t 趋向于 0 时, 的极限为 a,这时 a 就是物体在时 ?t ?t
从而, v ?
??

刻 t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题 2:P(1,1)是曲线 y ? x 2 上的一点,Q 是曲线上点 P 附近的一个点,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况. 析:设点 Q 的横坐标为 1+ ?x ,则点 Q 的纵坐标为(1+ ?x )2,点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量(即函数的增量)

?y ? (1 ? ?x) ? 1 ? 2?x ? (?x) ,所以,割线 PQ 的斜率 k PQ
2 2

?y 2?x ? (?x) 2 ? ? ? 2 ? ?x . ?x ?x

由此可知, 当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时,?x 变得越来越小,k PQ 越来越接近 2; 当点 Q 无限接近于点 P 时, 即 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于 2. 这表明,割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线. 我们把这条直 线叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式,这条切线的方程为: y ? 2 x ? 1 . 一般地,已知函数 y ? f (x) 的图象是曲线 C,P( x0 , y0 ) ,Q( x0 ? ?x, y0 ? ?y )是曲线 C 上的两点,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时,割线 PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P,即 ?x 趋向于 0 时,如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT, 那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 此时, 割线 PQ 的斜率 k PQ ?

?y 无限趋 ?x

近于切线 PT 的斜率 k,也就是说,当 ?x 趋向于 0 时,割线 PQ 的斜率 k PQ ? 3. 边际成本

?y 的极限为 k. ?x

问题 3: 设成本为 C, 产量为 q, 成本与产量的函数关系式为 C (q) ? 3q 2 ? 10 , 我们来研究当 q=50 时, 产量变化 ?q 对 成 本 的 影 响 . 在 本 问 题 中 , 成 本 的 增 量 为 :

?C ? C(50 ? ?q) ? C(50) ? 3(50 ? ?q) 2 ? 10 ? (3 ? 502 ? 10) ? 300?q ? 3(?q) 2 .
产量变化 ?q 对成本的影响可用:

?C ?C ?C 越接近 300; ?q 无限趋近于 0 时, 当 ? 300 ? 3?q 来刻划,?q 越小, ?q ?q ?q ?C 的极限是 300. ?q

无限趋近于 300,我们就说当 ?q 趋向于 0 时,

我们把

?C 的极限 300 叫做当 q=50 时 C (q) ? 3q 2 ? 10 的边际成本. ?q

一般地,设 C 是成本,q 是产量,成本与产量的函数关系式为 C=C(q) ,当产量为 q0 时,产量变化 ?q 对成本 的影响可用增量比

?C ?C C (q0 ? ?q) ? C (q0 ) 刻划. 如果 ?q 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 A,经济学上 ? ?q ?q ?q

称 A 为边际成本. 它表明当产量为 q0 时,增加单位产量需付出成本 A(这是实际付出成本的一个近似值). 二、小结 瞬时速度是平均速度

?s ?y 当 ?t 趋近于 0 时的极限;切线是割线的极限位置,切线的斜率是割线斜率 当 ?x 趋 ?t ?x

近于 0 时的极限;边际成本是平均成本 三、练习与作业: 1. 2. 3. 4.

?C 当 ?q 趋近于 0 时的极限. ?q

某物体的运动方程为 s(t ) ? 5t 2 (位移单位:m,时间单位:s)求它在 t=2s 时的速度. 判断曲线 y ? 2x 2 在点 P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C ? 2q 2 ? 5 ,求当产量 q=80 时的边际成本. 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离 h(单位:m)与时间 t(单位:s)之间的函数关系为 h ? t ,
2

求 t=4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 6. 判断曲线 y ?

1 2 1 x 在(1, )处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 2 2
2

已知成本 C 与产量 q 的函数关系为 C ? 4q ? 7 ,求当产量 q=30 时的边际成本.

导数的概念 一、导入新课: 上节我们讨论了瞬时速度、 切线的斜率和边际成本。 虽然它们的实际意义不同, 但从函数角度来看, 却是相同的, 都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课: 1.设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数 Y ? f (x) 相应地有增量

?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近 ?x ?x
/ x ? x0

于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 y

,即

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

注:1.函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可能为 0。 3.

?y 是 函 数 y ? f (x) 对 自 变 量 x 在 ?x 范 围 内 的 平 均 变 化 率 , 它 的 几 何 意 义 是 过 曲 线 y ? f (x) 上 点 ?x

( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率。 4.导数 f ( x0 ) ? lim
/

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f (x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反映的函数 y ? f (x) 在 ?x

点 x0 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率。因此,如果

y ? f (x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) 。
5.导数是一个局部概念,它只与函数 y ? f (x) 在 x0 及其附近的函数值有关,与 ?x 无关。 6.在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 ,因此,导数的定义式可写成

f / ( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x 0 ) 。 ? lim x ? x0 ?x x ? x0

7.若极限 lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 不存在,则称函数 y ? f (x) 在点 x0 处不可导。 ?x

8.若 f (x) 在 x0 可导, 则曲线 y ? f (x) 在点 x0 , f ( x0 ) ) ( 有切线存在。 反之不然, 若曲线 y ? f (x) 在点 x0 , f ( x0 ) ) ( 有切线,函数 y ? f (x) 在 x0 不一定可导,并且,若函数 y ? f (x) 在 x0 不可导,曲线在点( x0 , f ( x0 ) )也可能有 切线。 一般地,
?x ? 0

lim (a ? b?x) ? a ,其中 a, b 为常数。特别地, lim a ? a 。
?x ? 0

如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数

f / ( x) ,从而构成了一个新的函数 f / ( x) 。称这个函数 f / ( x) 为函数 y ? f (x) 在开区间内的导函数,简称导数,也
可记作 y / ,即 f / ( x) = y / = lim
?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim 。 ?x ? 0 ?x ?x
/ x ? x0

函数 y ? f (x) 在 x0 处的导数 y 值,即 y
/ x ? x0

就是函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) ( x ? (a, b)) 上导数 f / ( x) 在 x0 处的函数

= f / ( x0 ) 。所以函数 y ? f (x) 在 x0 处的导数也记作 f / ( x0 ) 。

注:1.如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都有导数,则称函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内可导。 2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数, 就是求导函数值。它们之间的关系是函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数就是导函数 f / ( x) 在点 x0 的函数值。 3.求导函数时,只需将求导数式中的 x0 换成 x 就可,即 f / ( x) = lim 4.由导数的定义可知,求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 (2).求平均变化率 (3).取极限,得导数 y / = lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 。 ?x ?x

?y 。 ?x ?0 ?x

例 1.求 y ? 2 x 2 ? 1 在 x =-3 处的导数。 例 2.已知函数 y ? x 2 ? x ; (1)求 y / 。 (2)求函数 y ? x 2 ? x 在 x =2 处的导数。

小结:理解导数的概念并会运用概念求导数。 练习与作业: 1.求下列函数的导数: (1) y ? 3x ? 4 ; (2) y ? 1? 2 x (3) y ? 3x 2 ? 12x (3) y ? 5 ? x 3

2.求函数 y ? x 2 ? 1 在-1,0,1 处导数。 3.求下列函数在指定点处的导数: (1) y ? x 2 , x0 ? 2 ; 4.求下列函数的导数: (1) y ? 4 x ? 1;
2

(2) y ?

1 2 x , x 0 ? 0 ; (3) y ? ( x ? 2) 2 , x0 ? 1 3
2

(4) y ? x 2 ? x, x0 ? ?1.

(2) y ? 10 ? x ;

(3) y ? 2 x ? 3x;
3

(4) y ? 2 x ? 7 。
2

5.求函数 y ? x ? 2 x 在-2,0,2 处的导数。

导数的概念习题课 一、课前预习 1. f (x) 在点 x0 处的导数是函数值的改变量___________与相应自变量的改变量__的商当_____ _________ 2.若 f (x) 在开区间(a,b)内每一点都有导数 f / ( x) ,称 f / ( x) 为函数 f (x) 的导函数;求一个函数的导数,就是求 _____;求一个函数在给定点的导数,就是求_____.函数 f (x) 在点 x0 处的导数就是________. 3.常数函数和幂函数的求导公式:

(c) / ? ___   n ) / ? _____( ? N * ) (x n

4.导数运算法则:若__________,则: [ f ( x) ? g ( x)]/ ? f / ( x) ? g / ( x)     f ( x)]/ ? cf / ( x) [c ? 二、举例 例 1.设函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ,求: (1)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,自变量的增量 ?x ; (2)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的增量 ?y ; (3)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的平均变化率; (4)函数在 x=1 处的变化率.

例 2.生产某种产品 q 个单位时成本函数为 C(q) ? 200? 0.05q 2 ,求 (1)生产 90 个单位该产品时的平均成本; (2)生产 90 个到 100 个单位该产品时,成本的平均变化率; (3)生产 90 个与 100 个单位该产品时的边际成本各是多少. 例 3.已知函数 f ( x) ? x 2 ,由定义求 f / ( x) ,并求 f / (4) . 例 4.已知函数 f ( x) ? (ax ? b) 2 (a,b 为常数),求 f / ( x) . 例 5.曲线 y ?

3 2 x 上哪一点的切线与直线 y ? 3x ? 1 平行? 2

三、巩固练习 1.若函数 f ( x) ? x 3 ,则 [ f (?2)]/ =______ 2.如果函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数分别为: (1) f / ( x0 ) ? 0 (2) f ( x0 ) ? 1
/

(3) f / ( x0 ) ? ?1

(4) f / ( x0 ) ? 2 ,

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
2 / 3.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,求 f (0) , f ( ) ,.
/

1 4

4.求下列函数的导数 (1)y ?

1 2 x ? 3x ? 2 2

(2)y ?

1 3 1 2 x ? x ? 5x ? 1 4 3

(3)y ? x ( x ? 4)
3 2

(4)y ? (2 x ? 1) (3x ? 2)
2

四、作业
/ 1.若 lim f ( x ) 存在,则 [lim f ( x )] =_____
x? 0

x? 0

2.若 f ( x) ? x 2 ,则 lim
x ?1

f ( x) ? f (1) =______________ x ?1
(2) y ? 3 ? 2 x ? 4 x ? 5 x ?
2 3

3.求下列函数的导数: (1) y ? 2 x 4 ? 20x 2 ? 40x ? 1 (3) y ? (2x 3 ? 1)(3x 2 ? x)

1 4 x 6

(4) y ? ( x ? 2) 2 ( x ? 1) 3

4.某工厂每日产品的总成本 C 是日产量 x 的函数,即 C ( x) ? 1000? 7 x ? 5x 2 ,试求: (1)当日产量为 100 时的平均成本; (2)当日产量由 100 增加到 125 时,增加部分的平均成本; (3)当日产量为 100 时的边际成本. 5.设电量与时间的函数关系为 Q ? 2t 2 ? 3t ? 1 ,求 t=3s 时的电流强度. 6.设质点的运动方程是 s ? 3t ? 2t ? 1 ,计算从 t=2 到 t=2+ ?t 之间的平均速度,并计算当 ?t =0.1 时的平均速度,
2

再计算 t=2 时的瞬时速度. 7.若曲线 y ?

3 2 x ? 1 的切线垂直于直线 2 x ? 6 y ? 3 ? 0 ,试求这条切线的方程. 2

8.在抛物线 y ? 2 ? x ? x 2 上,哪一点的切线处于下述位置? (1)与 x 轴平行; (2)平行于第一象限角的平分线.; (3)与 x 轴相交成 45°角 9.已知曲线 y ? 2 x ? x 2 上有两点 A(2,0) ,B(1,1) ,求: (1)割线 AB 的斜率 k AB ; (2)过点 A 的切线的斜率 k AT ; (3)点 A 处的切线的方程. 10.在抛物线 y ? x 2 上依次取 M(1,1) ,N(3,9)两点,作过这两点的割线,问:抛物线上哪一点处的切线平行于这 条割线?并求这条切线的方程. 11.已知一气球的半径以 10cm/s 的速度增长,求半径为 10cm 时,该气球的体积与表面积的增长速度. 12.一长方形两边长分别用 x 与 y 表示,如果 x 以 0.01m/s 的速度减小,y 边以 0.02m/s 的速度增加,求在 x=20m,y =15m 时,长方形面积的变化率. 13.(选做)证明:过曲线 xy ? a 上的任何一点( x0 , y0 ) x0 ? 0 )的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常 (
2

数.(提示: ( ) ? ?
/

1 x

1 ) x2

导数的应用习题课 一、课前预习 1.设函数 y ? f (x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内____,则 y ? f (x) 是这个区间内的_____;如 果在这个区间内___,则 y ? f (x) 是这个区间内的_____. 2.设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 及其附近有定义,如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的值都大(小) ,则称 f ( x0 ) 是函 数 y ? f (x) 的一个______. 3.如果 y ? f (x) 在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值: (1)求导数_____; (2)求方程________的根(可能极值点) ;

(3) 如果在根的左侧附近为_, 右侧附近为_, 则函数 y ? f (x) 在这个根处取得极_值; 如果在根的左侧附近为_, 右侧附近为_,则函数 y ? f (x) 在这个根处取得极_值. 4.设 y ? f (x) 是定义在[a,b]上的函数, y ? f (x) 在(a,b)内有导数,可以这样求最值: (1)求出函数在(a,b)内的可能极值点(即方程 f / ( x) ? 0 在(a,b)内的根 x1 , x2 ,?, xn ) ; (2)比较函数值 f (a ) , f (b) 与 f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ) ,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 二、举例 例 1.确定函数 f ( x) ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x ? 3 的单调区间. 例 2.设一质点的运动速度是 v(t ) ? 样?

3 4 t ? 7t 3 ? 15t 2 ? 3 ,问:从 t=0 到 t=10 这段时间内,运动速度的改变情况怎 4

1 3 x ? 9 x ? 4 的极值. 3 1 3 1 2 例 4.设函数 f ( x ) ? ax ? bx ? x 在 x1 =1 与 x2 =2 处取得极值,试确定 a 和 b 的值,并问此时函数在 x1 与 x2 处 3 2
例 3.求函数 f ( x) ? 是取极大值还是极小值? 例 5.求函数 f ( x) ? 3x 3 ? 9 x ? 5 在[-2,2]上的最大值和最小值. 例 6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例, 要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁, 断面的宽和 高应为多少? 例 7.求内接于抛物线 y ? 1 ? x 与 x 轴所围图形内的最大矩形的面积.
2

例 8.某种产品的总成本 C(单位:万元)是产量 x(单位:万件)的函数: C( x) ? 100? 6x ? 0.04x ? 0.02x ,试
2 3

问:当生产水平为 x=10 万件时,从降低单位成本角度看,继续提高产量是否得当?

三、巩固练习
/ 1.若函数 f (x) 在区间[a,b]内恒有 f ( x) ? 0 ,则此函数在[a,b]上的最小值是____

2.曲线 y ?

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ? x ? 1 的极值点是______________ 4 3 2

3.设函数 f ( x) ? ax3 ? (ax) 2 ? ax ? a 在 x=1 处取得极大值-2,则 a=____. 4.求下列函数的单调区间: (1) y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 1 5.求下列函数的极值: (1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 , 6.求下列函数的最值: (1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 ,[-3,10] (2) y ? x 3 ? 3x 2 ,[-1,4] (2) y ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 ,[-4,4] (2) y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2)

7.设某企业每季度生产某个产品 q 个单位时,总成本函数为 C(q) ? aq3 ? bq2 ? cq , (其中 a>0,b>0,c>0) ,求: (1)使平均成本最小的产量(2)最小平均成本及相应的边际成本. 8.一个企业生产某种产品, 每批生产 q 单位时的总成本为 C (q) ? 3 ? q (单位: 百元) 可得的总收入为 R(q) ? 6q ? q 2 , (单位:百元) ,问:每批生产该产品多少单位时,能使利润最大?最大利润是多少? 9.在曲线 y ? 1 ? x 2 ( x ? 0, y ? 0) 上找一点( x0 , y0 ) ,过此点作一切线,与 x 轴、y 轴构成一个三角形,问: x0 为何 值时,此三角形面积最小? 10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为 C(q) ? 2.2 ?103 q ? 8 ?107 ,通过市场调查,可以预计这种彩电的年需 求量为 q ? 3.1?105 ? 50 p ,其中 p(单位:元)是彩电售价,q(单位:台)是需求量. 试求使利润最大的销 售量和销售价格.

多项式函数的导数(5 月 6 日) 一、复习引入 1、已知函数 f ( x) ? x 2 ,由定义求 f / ( x),并求f / (4) 2、根据导数的定义求下列函数的导数: (1)常数函数 y ? C 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数: (2)函数 y ? x n (n ? N * )

(C ) / ? 0
2、导数的运算法则: 如果函数 f ( x)、g ( x) 有导数,那么

( x n ) / ? nxn?1 (n ? N * )

[ f ( x) ? g ( x)]/ ? f / ( x) ? g / ( x); [C ? f ( x)]/ ? Cf / ( x)
也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数 的导数. 例 1:求下列函数的导数: (1) y ? 7x 3 (2) y ? ?3x 4 (3) y ? 4 x 5 ? 3x 3

(4) y ? ( x 2 ? 1)(x ? 2) 例 2:已知曲线 y ?

(5) f ( x) ? (ax ? b) 2 (a、b 为常数)

1 3 8 x 上一点 P(2, ) ,求: 3 3
(2)过点 P 的切线方程.

(1)过点 P 的切线的斜率;

三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习:1、求下列函数的导数: (1) y ? 8x 2 (2) y ? 2 x ? 1 (3) y ? 2 x 2 ? x (6) y ? x 2 ( x 3 ? 4) (4) y ? 3x 3 ? 4x (5) y ? (2 x ? 1)(3x ? 2)

2、已知曲线 y ? 4 x ? x 2 上有两点 A(4,0) ,B(2,4) ,求: (1)割线 AB 的斜率 k AB ; (2)过点 A 处的切线的斜率 k AT ; (3)点 A 处的切线的方程. 3、求曲线 y ? 3x ? 4x ? 2 在点 M(2,6)处的切线方程.
2

五、课堂作业 1、求下列函数的导数: (1) y ? 5x 2 ? 4 x ? 1 (4) y ? 3 ? x ? 3x
4 3

(2) y ? ?5x 2 ? 3x ? 7
3 2

(3) y ? 7 x 2 ? 13x ? 10 (6) f ( x) ? (2 ? x)(3 ? x)
2

(5) y ? 2 x ? 3x ? 5x ? 4
3

(7) f ( x) ? 3x ? 23x ? 40x ? 10 (9) f ( x) ? (2x ? 1)(3x ? x)
3 2

(8) f ( x) ? ( x ? 2) ? x (10) y ? 3(2 x ? 1) ? 4 x
2

3 2、求曲线 y ? 2 x ? x 在 x ? ?1 处的切线的斜率。

3、求抛物线 y ?
3

1 2 x 在 x ? 2 处及 x ? ?2 处的切线的方程。 4
2

4、求曲线 y ? x ? 3x ? 1在点 P(2,-3)处的切线的方程。

函数的单调性与极值(5 月 10 日) 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设 x1<x2 的前提下,比较 f(x1)<f(x2)与的大小,在函数 y=f(x)比较复 杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. 二 新课讲授 1 函数单调性 我们已经知道,曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像可以看到:在区间 (2, ? ? )内,切线的斜率为正,函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而增大,即 y / >0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, ? ? ) 内为增函数; 在区间 ? ? ,2)内, ( 切线的斜率为负,函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小,即 y / ? 0 时, 函数 y=f(x) 在区间( ? ? ,2)内为减函数. 函数; ,如果在这个区间内 y / <0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数。 例 1 确定函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例 2 确定函数 y ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 的单调区间。 y

定义:一般地,设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y / >0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增

2 0 x

2 极大值与极小值 观察例 2 的图可以看出,函数在 X=0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说 f(0)是函数的一个极大 值;函数在 X=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说 f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数 y=f(x)在 x ? x0 及其附近有定义,如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的函数值都大,我们说 f( x0 ) 是函数 y=f(x)的一个极大值;如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的函数值都小,我们说 f( x0 )是函数 y=f(x)的一个极 小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值
y 点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 。

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a

X1

X2

X3

X4

b

x

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可 能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 f ?( x) ? 0 。但反过来不一定。 如函数 y ? x 3 ,在 x ? 0 处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的 点的函数值小。假设 x0 使 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x0 在什么情况下是的极值点呢?
y y

f ?( x0 )
f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 0

f ?( x0 )
x o x

o

a

X0

b

a

X0

b

如上左图所示,若 x0 是 f (x) 的极大值点,则 x0 两侧附近点的函数值必须小于 f ( x0 ) 。因此, x0 的左侧附近 f (x) 只
a a 能是增函数,即 f ?( x) ? 0 。 x0 的右侧附近 f (x) 只能是减函数,即 f ?( x) ? 0 ,同理,如上右图所示,若 x0 是极小值点,

则在 x0 的左侧附近 f (x) 只能是减函数,即 f ?( x) ? 0 ,在 x0 的右侧附近 f (x) 只能是增函数,即 f ?( x) ? 0 ,从而我们 得出结论:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x0 是 f (x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且 如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左 负右正” ,则 x0 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值。 例 3 求函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3

三 小结 1 求极值常按如下步骤: ① 确定函数的定义域; ② 求导数; ③ 求方程 y / =0 的根,这些根也称为可能极值点; ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(最好通过列表法) 四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间: (1) y ? 2x ? 5x ? 7
2

(2) y ? 3x ? x

3

2 求下列函数的极值 (1) y ? x ? 7 x ? 6
2

(2) y ? ?2 x ? 5x
2

3) y ? x ? 27x
3

(4) y ? 3x ? x
2

3

五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间: (1) y ? ?4 x ? 2 (2) y ? ( x ? 1) 2 (3) y ? ? x 2 ? 2 x ? 5 (4) y ? x 3 ? x 2 ? x

2 求下列函数的极值 (1) y ? x 2 ? 4x ? 10 (4) y ? 6 ? 12x ? x 3 (2) y ? ?2x 2 ? 4x ? 7 (5) y ? 4 x 3 ? 3x 2 ? 6 x 函数的最大与最小值 一、复习: 1、 x n (3) y ? x 3 ? 3x 2 ? 1 (6) y ? 2x 2 ? x 4

? ?

/

? __________ ; 2、 ? C ? f ( x) ? g ( x) _

?/ ? __________ ___

3、 求 y=x 3 —27x 的 极 值 。 二、新课 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小 观 察 下 面 一 个 定 义 在 区 间 ?a, b? 上 的 函 数 y ? f (x) 的 图 象 y 区 间 ?a, b? 上 的

发 现 图 中 ____________是 极 小 值 ,_________是 极 大 值 ,在 函 数 y ? f (x) 的 最 大 值 是 ______, 最 小 值 是 _______ 在区间 ?a, b? 上求函数 y ? f (x) 的最大值与最小值 的步骤: 1、函数 y ? f (x) 在( a, b) 内有导数 ; ... . 2、求函数 y ? f (x) 在( a, b) 内的极值

a x1

o

X2

X3

b

x

3、将函数 y ? f (x) 在 ( a, b) 内的极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值 . 三 、 例 1、 求 函 数 y ? x ? 2x ? 5 在 区 间 ?? 2,2?上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
4 2

解 : 先 求 导 数 , 得 y ? 4x ? 4x
/ 3 / 令 y = 0 即 4 x ? 4 x ? 0 解 得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1
3

导 数 y / 的 正 负 以 及 f (?2) , f ( 2) 如 下 表 X y/ y -2 ( - 2, - 1) -1 0 4 ( - 1, 0) + 0 0 5 ( 0, 1) - 1 0 4 ( 1, 2) + 2

13

13

从 上 表 知 , 当 x ? ?2 时 , 函 数 有 最 大 值 13, 当 x ? ?1 时 , 函 数 有 最 小 值 4 在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料最省,时间最少,效率最高等问题,这往往可以 归结为求函数的最大值或最小值问题。 例 2 用 边 长 为 60CM 的 正 方 形 铁 皮 做 一 个 无 盖 的 水 箱 ,先 在 四 个 角 分 别 截 去 一 个 小 正 方 形 ,然 后 把 四 边 翻 转 90°角 , 再 焊 接 而 成 , 问 水 箱 底 边 的 长 取 多 少 时 , 水 箱 容 积 最 大 , 最 大 容 积 是 多 少 ? 例 3、已 知 某 商 品 生 产 成 本 C 与 产 量 P 的 函 数 关 系 为 C= 100+ 4P,价 格 R 与 产 量 P 的 函 数 关 系 为 R= 25 - 0.125P, 求 产 量 P 为 何 值 时 , 利 润 L 最 大 。 四、小结:

1、 闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 ( a, b) 内 的 可 导 函 数 不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。 2、函 数 在 其 定 义 区 间 上 的 最 大 值 、最 小 值 最 多 各 有 一 个 ,而 函 数 的 极 值 可 能 不 止 一 个 ,也 可 能 没 有 一 个 。 3、 在 解 决 实 际 应 用 问 题 中 , 关 键 在 于 建 立 数 学 模 型 和 目 标 函 数 ; 如 果 函 数 在 区 间 内只有一个极值点,那么 根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较。

五、练习及作业: : 1、 函 数 y ? x 2 ? 5x ? 4 在 区 间 ?? 1,1?上 的 最 大 值 与 最 小 值 2、 求 函 数 y ? 3x ? x 3 在 区 间 ? 3,3 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。 3、 求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在 区 间 ?? 2,2?上 的 最 大 值 与 最 小 值 。 4、 求 函 数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。 5、 给 出 下 面 四 个 命 题 ( 1) 函 数 y ? x ? 5x ? 4 在 区 间 ?? 1,1? 上 的 最 大 值 为 10, 最 小 值 为 -
2

?

?

9 4

( 2) 函 数 y ? 2x 2 ? 4x ? 1 ( 2< X< 4) 上 的 最 大 值 为 17, 最 小 值 为 1 ( 3) 函 数 y ? x 3 ? 12x ( - 3< X< 3) 上的最大值为16 , 最小 值为-16 ( 4) 函 数 y ? x 3 ? 12x ( - 2< X< 2) 上 无 最大值 也无 最 值。 小 其中正确的命题有_ _____ ______ 6、把长度为 L CM 的线段分成四段,围成一个矩形,问怎样分法,所围成矩形的面积最大。 7、把长度为 L CM 的线段分成二段,围成一个正方形,问怎样分法,所围成正方形的面积最小。 8、某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 X 元出售,可以卖出(200-X)件,应该如何定价才能使利润 L 最大? 9、在曲线 Y=1—X2(X ? 0,Y ? 0 )上找一点了( x0 , y0 ),过此点作一切线,与 X、Y 轴构成一个三角形,问 X0 为何 值时,此三角形面积最小? 10、要设计一个容积为 V 的圆柱形水池,已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问:如何设计水池

1 ?1? 的底半径和高,才能使总造价最少?(提示: ? ? ? ? 2 ) x ? x?

/


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