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安徽省蚌埠市怀远县2013届高三联考数学理科

安徽省蚌埠市怀远县2013届高三联考数学理科


安徽省蚌埠市怀远县 2013 届高三联考数学(理)试题.
(总分:150 分,时间:120 分钟) 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分

一、选择题。(本题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分)
1.已知复数 A.
1 25 i

1+ i 4 ? 3i

的虚部是( B.
1 25
?

) C. ?
1 25

D. ?
x

1 25

i

2.已知全集 U ? R ,集合 A
B ? CU A ? ( )

?x | y =

2x ? x

2

? ,集合 B ? ?y | y ? 2
x ? 2?

,x? R

? ,则

A. ?x 3.已知 A.2

| x ? 2?

B. ?x | 0
x ? 0 x ? 0

? x ? 1?
f (? 11 4 ) ? (

C. ?x | 1 ?
)

D. ?x

| x ? 0?

? log 2 x f (x) ? ? ? f ( x ? 1)

,则

B.

1 2 3 2

C.-2
, | a ? b |? 2 2 , 则 | b |? ( 3 2 )

D.-

1 2

4.设向量 a , b 满足: | a A.
1 2

|? 2 , a ? b ?

B.1
? cos ? ? 3 3

C.

D.2

5.已知 ? 为第二象限角, sin ?
- 3

, 则 cos 2 ? ? (

)

A.

5

B. - )

5 9

C.

5 9

D.

5 3

6.下列命题中错误的是( A.命题:“若 x 2 ? 5 x ?
x ? 5x ? 6 ? 0
2

6 ? 0 , 则 x ? 2”的逆否命题是“若

x ? 2, 则



B.已知命题 P 和 q,若 PVq 为假命题,则命题 P 与 q 中必一真一假。 C.对于命题 P: ? x ? R ,使得 x 2 D.“ x ? 1 ”是“
1 x
3 f (? x) ? 2 f ( x) 5x

? x ? 1 ? 0 ,则 P : ? x ? R , 均有 x

?

2

? x ?1? 0。

? 1 ”的充分不必要条件。

7.设奇函数 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上为单调递减,且 f ( 2 ) 的解集为( ) A. (- ? ,? 2 ] ? (0,2] C.(- ? ,? 2 ] ? [2,+ ? )

? 0 , 则不等式

? 0

B.(-2,0] ? [2,+ ? ] D. [-2,0) ? (0,2]
1

8.下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象,其中一定错误的是 ( )

9. 定义在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) 上的函数 f ( x ), 如果对任意给定的等比数列 ?a n ?, ? f ( a n ) ? 仍是等比数列,称 f ( x ) 为“保等比数列函数”,现有定义在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) 上的如 下函数: ① f ( x ) ? x 2 ② f ( x ) ? 2 x ③ f ( x ) ? | x | ④ f ( x ) ? ln | x | ,则其中是“保等比数列函 数”的 f ( x ) 的序号为( A.①② ) B.③④
? ( 0 ,1)

C.①③ ,且
sin
2

D.②④
2

10.等差数列 ?a n ? 的公差 d

a 2 ? sin

a6

sin( a 2 ? a 6 )

? ? 1 ,当 n ? 10

时,

数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最小值,则首项 a 1 的取值范围为( A. ( ? ? , ?
8 5 9 16

)
5 9 8

?)

B. ? ? , ? [
8

5

9 16

?

] C. [- ? , ? ? ] D. ( ? ? , ? ? )
4 8 4

5

9

二、填空题(每小题 5 分,共计 25 分)
11、计算定积分 ?
1 ?1

(x

2

? sin x ) dx ?

AN 12、 在△ABC 中, 是边 BC 上的点, 为 AM 中点, M N

? ? AB ? u AC , 则 ? ? u ?

13、设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n 14、已 知 函 数 小值为 15、某同学在研究函数 ① ② ③ ④
f (x) ? x e
2 x

1 n ? ( ) ? a ? 2012 3

,则 a =
?
2 ) ? 2

f ( x ) ? 2 sin( wx ? ? )( w ? 0 ), 若 f (

?
3

) ? 0, f (

则实数 w 的最

的性质时,得到如下的结论:

f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? 2 , 0 ) ; f ( x ) 无最小值,无最大值
f ( x ) 的图象与它在(0,0)处切线有两个交点

f ( x ) 的图象与直线 x ? y ? 2012 ? 0 有两个交点

其中正确结论的序号是 三.解答题。 (本题共 6 小题,共 75 分) 16、(本小题满分 12 分)
2

在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(-1,-2) ,B(2,3) ,C(-2,-1) 。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 (2)设实数 t 满足 ( AB
? t OC ) ? OC ? 0

,求 t 的值

17.(本小题满分 12 分) 已知三角形的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量
m ? ( 2 a ? c , b ) , n ? (cos C , B ), m // n cos 若



(1)求角 B 的大小; (2)若△ABC 的面积为
3

,求 AC 边的最小值,并指明此时三角形的形状。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数
f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

)



部分图象如图所示 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x )
? f (x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

)

的单调递增区间。

19. (本大题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足:S n 的等差中项。 (1)求 t 的值及数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 设 b n
? 2n ? 1 an

? t ( S n ? a n ? 1) ( t ? 0 ) ,

且 4a 3 是 a1 与 2a 2

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n 。

20. (本小题满分 13 分)
3

已知函数

f ( x ) ? ax +1( a ? 0 ), g ( x ) ? x ? bx .
2 3

(1)若曲线 y
b

? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x )

在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a , 上的

的值; (2)当 a 2
? 4b

时,求函数

f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,并求其在区间 ( ?? , 1] -

最大值。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 (1)当 a
? 4 5

f ( x ) ? ax ? 1 n (1 ? x )
2

时,求函数

f (x)

在 ( 0 , ? ) 上的极值; +
x ) ? x;
2

(2)证明:当 x>0 时, 1 n (1 ? (3)证明: (1 ?
1 2
4

)( 1 ?

1 3
4

) ? (1 ?

1 n
4

) ? e ( n ? N , n ? 2 ,其中 e

?

为自然对数的底数)

4

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案
11、
2 3

1 A

2 A
12、
1 2

3 C

4 B
13、-2012

5 A

6 B
14、3

7 D

8 C

9 C

10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 15、①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16、(本题满分 12 分) 解 析 (1) 由 题 设 知 AB ? ( 3 , 5 ), AC ? ( - 1,1) , 则 AB ? AC ? ( 2 , 6 ), AB - AC ? ( 4 , 4 ). 所 以
| AB ? AC | ? 2 10 , | AB ? AC | ? 4 2 . 故 所 求 的 两 条 对 角 线 的 长 分 别 为
4 2, 10 .…………………6 分 2

(2)由题设知
OC ? ( ? 2, 1). AB ? t OC ? ( 3 ? 2 t , 5 ? t ).由 ( AB ? t OC ) ? OC ? 0 得 ( 3 ? 2 t , 5 ? t ) ? ( ? 2 , ? 1) ? 0 , ?

从而 5 t ? ? 11 ,所以 t ? ? 17、(本小题满分 12 分)

11 5

.????????????????????12 分

解:(1) m ? ( 2 a ? c , b ), n ? (cos C , cos B )
? m // n ,? ( 2 a ? c ) cos B ? b cos C

由正弦定理得: ( 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 整理得: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A
? sin A ? 0 ,

? c o sB ?

1 2

?0 ? B ??

? B ?

?
3

??????????????6 分
1 2 ac sin B ? 3, B ?

(2)由已知得: S ? ABC ?

?
3

,? ac ? 4

2 2 2 2 由余弦定理, b ? a ? c ? 2 ac cos B ? a ? c ? ac ? 2 ac ? ac ? 4
2

当且仅当“ a ? c ”时,上式取等号。 ? AC 的最小值为 2,此时三角形为等边三角形。????????????12 分 18、(本题满分 12 分)

5

解析(Ⅰ)由题设图象知, 周期 T ? 2 ( 在函数图象上,所以 A sin( 2 ? 又因为 0 ? ? ?
?
2 , 所以 5? 6 ? 5? 12 5? 6 ?? ?

11 ? 12

?

5? 12

所以 ? ? ) ? ? ,
5? 6 5? 6 ? ? ) ? 0.

2? T

因为点 ( ? 2,

5? 12

,0 )

? ? ) ? 0 ,即 sin( 4? 3

,从而

? ? ? ? ,即 ? ?

?
6

.

又点(0,1)在函数图象上,所以 A sin

?
6

? 1 ,得 A=2.

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ) ? 分 (Ⅱ) g ( x ) ? 2 sin[ 2 ( x ? = 2 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
1

?
6

. ??????????????????6

?
12

)? )

?
6

] ? 2 sin[ 2 ( x ?

?
12

)?

?
6

]

?
3

= 2 sin 2 x ? 2 ( sin 2 x ?
2

3 2

cos 2 x )

= sin 2 x ? = 2 sin( 2 x ? 由 2 k? ? 所
[k? ?

3 cos 2 x

?
3

).

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,得 k ? ? 的

?
12

? x ? k? ?

5? 12

,k ? Z.


?
12


, k? ? 5? 12



g (x)















], k ? Z . ????????????????12 分

19、(本题满分 12 分) 解(Ⅰ)当 n ? 1 时, S 1 ? t ( S 1 ? a 1 ? 1) ,所以 a 1 ? t , 当 n ? 2 时, S n ? t ( S n ? a n ? 1) ①

S n ? 1 ? t ( S n ? 1 ? a n ? 1 ? 1) , ②

①-②,得 a n ? t ? a n ? 1 ,即

an a n ?1

? t.

n ?1 n ? t ………………4 分 故 ?a n ? 是首项 a 1 ? t ,公比等于 t 的等比数列,所以 a n ? t ? t

2 3 故a2 ? t , a3 ? t

3 2 由 4 a 3 是 a 1 与 2 a 2 的等差中项,可得 8 a 3 ? a 1 ? 2 a 2 即 8 t ? t ? 2 t

6

因 t ? 0 ,整理,得 8 t 2 ? 2 t ? 1 ? 0 ,即 ( 2 t ? 1)( 4 t ? 1) ? 0 , 解得 t ?
1 2

或t ? ?

1 4

(舍去) ,所以 t ?
2n ? 1 an

1 2

,故 a n ? ( ) n ?
2

1

1 2
n

. …………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ),得 b n ?

? ( 2 n ? 1) ? 2 ,
n

所以 T n ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2 n ? 1 ? ( 2 n ? 1) ? 2 n ,
2T n ? 3 ? 2
2

③ ④

? 5? 2 ? 7? 2
3

4

? ? ( 2 n ? 1) ? 2

n

? ( 2 n ? 1) 2

n ?1



③-④,得 ? T n ? 3 ? 2 ? 2 ( 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? ( 2 n ? 1) ? 2 n ? 1 ……………………8 分 =
6? 2? 2
2

? 2 ?2
n

1? 2

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

? ?2 ? 2

n?2

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

? ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

?

11 分 所以 T n ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2 n ? 1 .…………12 分 20、(本题满分 13 分)
2 解析(Ⅰ) f ? ( x ) ? 2 ax , g ? ( x ) ? 3 x ? b .

因为曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 在它们的交点 (1, c ) 处具有公共切线, 所以 f (1) ? g (1), 且 f ? (1) ? g ? (1). 即 a ? 1 ? 1 ? b , 且 2 a ? 3 ? b. 解得 a ? 3 , b ? 3 . ??????????????????6 分 (Ⅱ)记 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ). 当 b ?
1 4a x h ?( x ) ? 3 x
2 2

1 4

a 时,
2

h ( x ) ? x ? ax
3

2

?

? 1,
2

? 2 ax ?

1 4

a .
a 2 a 6

令 h ?( x ) ? 0 , 得 x 1 ? ?

, x2 ? ?

.

a ? 0 时, h ( x ) 与 h ? ( x ) 的情况如下:

7

x
h ?( x )
h(x)

( ?? , ?

a 2

)

?

a 2

(?

a 2

,?

a 6

)

?

a 6

(?

a 6

, ?? )



0
a 2 ) 和 (? a 6

0
, ?? ) ;单调递减区间为 ( ?

+
a 2 ,? a 6

所以函数 h ( x ) 的音调递增区间为 ( ?? , ? 当?
a 2

).

? ? 1, 即 0 ? a ? 2 时,函数 h ( x ) 在区间 ( ?? , ? 1] 上单调递增, h ( x ) 在区间 ( ?? , ? 1] 1 4 a .
2

上的最大值为 h ( ? 1) ? a ? 当?
a 2 ? ? 1 ,且 ? a 6 a 2

? ? 1 ,即 2 ? a ? 6 时, ) 内单调递增, 在区间 ( ? a 2 , ? 1 ] 上单调递减, ( x ) 在区间 ( ?? , ? 1] h

函数 h ( x ) 在区间 ( ?? , ? 上的最大值为 h ( ? 当?
a 6 a 2

) ? 1.

? ? 1 ,即 a ? 6 时, a 2 ) 内单调递增,在区间 ( ? 1 4 a 2 a
2

函数 h ( x ) 在区间 ( ?? , ? 单调递增,又因 h ( ?
a 2

a 2

,?

a 6

) 内单调递减,在区间 ( ?
2

a 6

, ? 1] 上

) ? h ( ? 1) ? 1 ? a ?

?

1 4

(a ? 2)

? 0.

所以 h ( x ) 在区间 ( ?? , ? 1] 上的最大值为 h ( ? 21、 (本题满分 14 分) 、

) ? 1 . ??????????????13 分

8

(1) ? a ?

4 5

? f ( x) ? ? 2x 1? x
2

4 5 ?

x ? ln(1 ? x )
2

? f ?( x ) ?

4 5

4 x ? 10 x ? 4
2

5(1 ? x )
2

由f ?( x ) ? 0 得x1 ? ? f ( x )在(0 , 1

1 2

, x2 ? 2

1 ) ? , , 2 ) ? , , ?) ? ( (2 + 2 2

1 2 5 8 f ( x )极大值=f ( ) ? ? ln , f ( x )极小值=f ( 2) ? ? ln 5????????????5分 2 5 4 5 ( 2)令g ( x ) ? x ? ln(1 ? x )
2

g ?( x ) ? 1 ?

2x 1? x
2

?

( x ? 1) 1? x
2

2

?0

? g ( x )在(0,+?) ?? g ( x ) ? g (0) ? 0 ? ln(1 ? x ) ? x ????????????????????????????9分
2

(3)由( 2)得 ln( x ? 1) ? x
2

取x ?

1 2
2

, 1

1 3
2

,?

1 n
2

? ln(1 ? (1 ? 1 2
4

2

4

) ? ln(1 ? 1 3
4

1 3
4

) ? ? ln(1 ? ) ? (1 ? 1 n
4

1 n
4

)?

1 2
2

?

1 3
2

? ?+

1 n
2

?

1 1? 2

?

1 2?3

??

1 n( n ? 1)

? 1?

1 n

?1

)(1 ?

)(1 ?

1 4
4

) ? e ??????????????????14分

9



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