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2012届高考数学(文)一轮复习课件:函数的单调性与最大(小)值(人教A版)

2012届高考数学(文)一轮复习课件:函数的单调性与最大(小)值(人教A版)


第六讲 函数的单调性与最大(小)值

2014-3-14

回归课本
1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

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增函数
定义

减函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2. 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那 当x1<x2时,都有 么就说函数f(x)在区间D上 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 是增函数 D上是减函数 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象 是下降的

图象 描述

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(2)单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在

这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当 f′(x)<0时,f(x)为减函数.

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2.函数的最值

前提 条件

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M满足 ①对于任意x∈I,都有 ①对于任意x∈I, f(x)≤M; 都有f(x)≥M; ②存在x0∈I,使得f(x0)=M. ②存在x0∈I,使 得f(x0)=M. M为最大值 M为最小值

结论

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结论

M为最大值

M为最小值

定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]

上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).

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考点陪练

1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当
x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )

A.

1 f ( x) ? x

B.f(x)=(x-1)2

C.f(x)=ex 答案:A

D.f(x)=ln(x+1)

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x 2.函数f ? x ? ? 的最大值为( x ?1 2 1 A. B. 5 2 2 C. 2
答案:B

)

D.1

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3.(2011? 长春质检)已知f ? x ? 为R上的减函数, 则满足 ?1? f ? ? ? f ?1?的实数x的取值范围是( ?x? A. ? ??,1? B. ?1, ?? ? C. ? ??, 0 ? ? ? 0,1? D. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? )

答案:D

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4.(2011? 福建模拟)已知函数y ? 1 ? x ? m 为M, 最小值为m, 则 的值为( M 1 1 A. B. 4 2 2 3 C. D. 2 2 答案:C )

x ? 3的最大值

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5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:

①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ ? 0; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ④ ? 0. 其中能推出函数 x1 ? x2 y=f(x)为增函数的命题为________.

答案:①③
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类型一函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法?直接法?

图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则Δx=x2x1>0; (2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解?配方?有理化 等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;

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(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;
(4)判断:根据定义作出结论.

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2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数?

二次函数?反比例函数的单调性均可直接说出.
了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:

(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数

调性相反;

1 y? 与y=f(x)的单 f ( x)

(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函 数等; (4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增?异减”的原则.
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3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调
性的方法.

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ax 【典例1】判断函数f ? x ? ? 2 ? a ? 0 ? 在区间? ?1,1? 上的单调性. x ?1

[解]解法一 : 设 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1, 则f ? x1 ? ? f ? x 2 ? a ( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) ? . 2 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 x2 ? 1)( x2 ? x1 ) ? ? 0, 2 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? a ? 0时, f ? x1 ? ? f ? x 2 ? , 函数f ? x ? 在 ? ?1,1? 上递减; a ? 0时, f ? x1 ? ? f ? x 2 ? , 函数f ? x ? 在 ? ?1,1? 上递增.

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? a ( x ? 1) 解法二 : 对f ? x ? 求导, 有f ? ? x ? ? , 2 2 ( x ? 1)
2

? x ? ? ?1,1? ,? ? x ? 1? ? 0, x ? 1 ? 0,
2 2 2

?当a ? 0时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 为增函数. 当a ? 0时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 为减函数.

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[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较
f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法?放缩法等; 讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.

2014-3-14

类型二函数的奇偶性与单调性
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇

函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于
y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.

2014-3-14

x?a 【典例2】已知f ? x ? ? 2 x ? bx ? 1 是奇函数. ?1? 求a, b的值;

? 2 ? 求f ? x ?的单调区间, 并加以证明; ? 3? 求f ? x ?? x ? 0 ?的最值.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.

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[解] ?1? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0恒成立, x?a x?a 即 2 ? 2 ?0 x ? bx ? 1 x ? bx ? 1 恒成立, 则2 ? a ? b ? x 2 ? 2a ? 0对任意的实数x恒成立. ? a ? b ? 0. x ? 2 ? ? f ? x ? ? 2 ? x ? R ? 是奇函数, x ?1 ? 只需研究 ? 0, ?? ? 上f ? x ?的单调区间即可. 任取x1 , x 2 ? ? 0, ?? ? , 且x1 ? x 2 , 则f ? x1 ? ? f ? x 2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ? 2 ? 2 ? . 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
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∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0,
而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0,

∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0,
函数y=f(x)是增函数; 当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数,
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∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数.

又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数.

(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=?, ∴函数的最大值为? ,无最小值.

2014-3-14

类型三求函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常

用配方法.
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性, 然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此 法.

2014-3-14

(4)导数法:当函数较复杂(如指?对数函数与多项式结合)时,一般

采用此法.
(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几

何意义,在图上找其变化范围.

2014-3-14

x2 ? 2x ? a 【典例3】已知函数f ? x ? ? , ? ? ?? ? x ?1? 当a ? 4时, 求f ? x ?的最小值; 1 ? 2 ? 当a ? 时, 求f ? x ?的最小值; 2 ? 3? 若a为正数, 求f ? x ?的最小值.

2014-3-14

[分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式
求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条件不具 备,应从函数单调性的角度考虑.

2014-3-14

4 [解] ?1? 当a ? 4时, f ? x ? ? x ? ? 2, 易知, f ? x ? 在 ?1, 2 ? x 上是减函数, 在 ? 2, ?? ? 上是增函数.? f ? x ? min ? f ? 2 ? ? 6. 1 1 ? 2 ?当a ? 时, f ? x ? ? x ? ? 2, 易知, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 2 2x 7 上为增函数.? f ? x ? min ? f ?1? ? . 2 a ? 3? 函数f ? x ? ? x ? ? 2在(0, a ]上是减函数, 在[ a , ??) x 上是增函数.若 a ? 1, 即a ? 1时, f ? x ? 在区间[1, ??) 上先减后增, f ? x ?min ? f ( a ) ? 2 a ? 2; 若 a ≤1, 即0 ? a ? 1时, f ? x ? 在区间?1, ?? ? 上是增函数.
2014-3-14

? f ? x ?min ? f ?1? ? a ? 3.

类型四抽象函数的单调性与最值

解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根
本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配

凑.
【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

2014-3-14

[分析] (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)
将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为 此需将右边常数3看成某个变量的函数值.

2014-3-14

[解] (1)设x1,x2∈R,且x1<x2.
∴x2-x1>0,则f(x2-x1)>1.

∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1 又f(x2-x1)-1>0, 因此f(x2)>f(x1), 故f(x)在R上是增函数.

2014-3-14

(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1.

又f(4)=5,∴f(2)=3.
原不等式即为f(3m2-m-2)<f(2).

由(1)知f(x)在R上是增函数,
∴3m2-m-2<2.
4 解之得 ? 1 ? m ? . 3 4? ? ? 原不等式解集为 ? ?1, ? . 3? ?

2014-3-14

[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)?x1<x2,函数不
等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为 一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给 定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利

用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.

2014-3-14

错源一不注意分段函数的特点

?(3a ? 1) x ? 4a, x≤1, 【典例1】已知f ? x ? ? ? .是 ? ??, ?? ? ?logax, x ? 1 上的减函数, 那么a的取值范围是( A.(0,1) ?1 1 ? C. ? , ? ?7 3 ? ? 1? B. ? 0, ? ? 3? ?1 ? D. ? ,1? ?7 ? )

2014-3-14

?3a ? 1 ? 0, 1 [错解]依题意应有 ? 解得0 ? a ? , 选B. 3 ?0 ? a ? 1,
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数

在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
大于(1,+∞)上的最大值,从而得出错误结果.

2014-3-14

[正解]据题意要使原函数在定义域R上为减函数, 要满足 3a ? 1 ? 0, 且0 ? a ? 1, 及x ? 1时 ? 3a ? 1?? 1 ? 4a ? log a 1, ?1 1 ? 解得a的取值范围为 ? , ? , 故选C. ?7 3 ?

[答案] C

2014-3-14

错源二 判断复合函数的单调性时,未弄清内?外函数的单调性而
致错

【典例2】利用定义判断函数f ? x ? ? x ? R上的单调性.

x 2 ? 1在区间

2014-3-14

[错解]设x1 , x 2 ? R, 且x1 ? x 2 , 则f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? (x 2 ? x ? 1) ? ( x1 ? x ? 1)
2 2 2 1

? ? x 2 ? x1 ? ? ( x ? 1 ? x ? 1),
2 2 2 1

因为x1 ? x 2 , 则x 2 ? x1 ? 0, 且 x ? 1 ? x ? 1 ? 0,
2 2 2 1

所以f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0, 即f ? x 2 ? ? f ? x1 ? . 以函数f ? x ? 在R上是单调递增函数.

2014-3-14

[剖析]上述解法产生错误的原因在于没有弄清函数 g?x? ?
2 x2 ?1 ?

x 2 ? 1的单调性.事实上, 在R上函数g ? x ? x12 ? 1.

不具有单调性,因此当x1 ? x 2时, 不能推出

2014-3-14

[正解]设x1 , x 2 ? R, 且x1 ? x 2 , 则f ? x 2 ? ? f ? x1 ?
2 ? (x 2 ? x2 ? 1) ? ( x1 ? x12 ? 1) 2 ? ? x 2 ? x1 ? ? ( x2 ? 1 ? x12 ? 1)

? ? x 2 ? x1 ? ? ? ? x 2 ? x1 ? ? ?

2 ( x2 ? 1) ? ( x12 ? 1) 2 x2 ? 1 ? x12 ? 1

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )
2 x2 ? 1 ? x12 ? 1

2 ( x2 ? x1 )( x2 ? 1 ? x12 ? 1 ? x2 ? x1 ) 2 x2 ? 1 ? x12 ? 1

2014-3-14

因为x1 ? x 2 , 则x 2 ? x1 ? 0, x ? 1 ? x ? 1 ? 0,
2 2 2 1 2 而 x2 ? 1 ? x 2 ? x 2 ? x 2≥0, x12 ? 1 ? x1 ? x1 ? x1 ? 0, 2 所以 x2 ? 1 ? x12 ? 1 ? x 2 ? x1 ? 0,

所以f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0, 即f ? x 2 ? ? f ? x1 ? . 所以函数f ? x ? 在R上是单调递增函数.

2014-3-14

技法一复合法

1 【典例1】求y ? 2 的单调区间. x ? 2x ? 3

2014-3-14

[解]由x 2 ? 2x ? 3 ? 0, 得x ? ?1或x ? 3, 令t ? x 2 ? 2x ? 3(t ? 0), 1 1 则y ? ,因为y ? 在 ? 0, ?? ? , ? ??, 0 ? 上为减函数, t t 而t ? x 2 ? 2x ? 3在( ??, ?1), ? ?1,1? 上为减函数, 在 ?1, 3 ? , 1 (3, ??)上为增函数, 所以函数y ? 2 x ? 2x ? 3 的单调递增区间为 ? ??, ?1? , ? ?1,1? , 单调递减区间为 ?1, 3? , ? 3, ?? ? .

2014-3-14

[方法与技巧] 复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确单调
区间必须是定义域的子集,当求单调区间时,必须先求出原复合 函数的定义域,再根据基本函数的单调性与“同为增,异为减” 的原则判断复合函数的单调区间.

2014-3-14

技法二定义法

16 【典例2】试求函数y ? x ? 的单调区间, 并指出单调性. x [解]函数定义域为x ? 0, 设x1 ? 0, x 2 ? 0, 且x1 ? x 2 ,
2

? 2 16 ? ? 2 16 ? 则f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? 16 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x2 ? ?. x1 x2 ? ? 16 令x1 ? x 2 ? x, 代入x1 ? x 2 ? ? 0, 得x ? 2. x1 x2
2014-3-14

结合定义域易得函数的单调区间为 ? ??, 0 ? , ? 0, 2? , ? 2, ?? ? . 16 ? 0, ?1? 若x1 ? x 2 ? 0, 则x1 ? x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? x1 x2 所以f ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上单调递减.

故f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0, 即f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .

? 2 ? 若0 ? x1 ? x 2 ? 2, 则x1 ? x 2 ? 4, 0 ? x1x 2 ? 4,
又x1 ? x 2 ? 0, 所以f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0. 所以f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减.
2014-3-14

16 16 ? 4, 所以x1 ? x 2 ? ? 0. x1 x2 x1 x2

16 ? 4, ? 3? 若2≤x1 ? x 2 , 则x1 ? x 2 ? 4, x1x 2 ? 4, x1 x2 16 所以x1 ? x 2 ? ? 0. x1 x2

又x1 ? x 2 ? 0, 所以f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0. 所以f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上单调递增.

2014-3-14

[方法与技巧]利用函数单调性的定义求单调区间的关键有两点:
一是对f(x1)-f(x2)要正确变形,主要途径有:因式分解?配方?通 分?有理化等;二是利用x1=x2=x确定函数增减区间的分界点, 划定区间.

2014-3-14

技法三图象法

【典例3】求函数f(x)=|1-x2|+x的单调区间,并指出单调性.

2014-3-14

[解]把f ? x ? 化为
2 ? ? 1? 5 ?? ? x ? ? ? , ?1≤x≤1, 2? 4 ? ? f ( x) ? ? 2 1? 5 ?? x ? ? ? , x ? ?1或x ? 1. ?? 2? 4 ??

2014-3-14

作出图象如图所示,由图象易知, 函数f ? x ?的单调递增区间是 1? ? ?1 ? ?1, ? 和[1, ??), 单调递减区间是(??, ?1]和 ? ,1? . ? 2? ? ?2 ?

2014-3-14

[方法与技巧]作函数图象时,首先是要确定函数的定义域,特别是
分段函数的每一段的自变量的取值范围,一定要对号入座.当函 数的表达式较为复杂时,要注意讨论函数的性质,然后根据性质 正确作出函数的图象.

2014-3-14



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