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最大似然例题及原理应用

最大似然例题及原理应用


例 7.1 设总体 X 的概率密度为

式中

>-1 是未知参数,

是来自总体 的估计量。

的一个容量为

的简单随

机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求 分析 因为总体

的分布只含有一个未知参数,所以用矩估计法首先求出

解 由矩估计法知,令

得参数

的矩估计量



似然函数为



=1,2,…n,对

取对数,则有



, 所以参数 的最大似然估计量为

注 本题说明,对总体未知参数的估计,尽管利用同一样本值,但采用不同的估计 方法,其结果未必相同。

[对应练习]

设总体 X 服从参数 p 的几何分布, 其分布律为 是总体 X 的一个简单随机样本,试求:



(1) (2)

p 的矩估计量; p 的最大似然估计量。

提示 因为总体分布中只含有一个参数 p, 所以求 p 的矩估计量关键是求出总体 的均值 。 的概率密度为

例 7.2 设某种元件的使用寿命

式中

>0 为未知参数,又设



的一组样本观察值,求参数

的最

大似然估计值。 解 似然函数

对于

, =1,2,…,n,

(

)>0,取自然对数,则有

从而 所以 取 故 的最大似然估计值为 在 , =1,2,…,n 时单调增加。 , , =1,2,…,n 成立。 取到最大值,

时,对

注 本题虽然能给出似然方程,但似然方程无解,故不存在驻点,应在边界点上考 虑函数最大值。 [对应练习] 设 为总体 的一个样本,已知总体 的密度函数为

式中

>0,

,

是未知参数,求

,

的矩估计量和最大似然估计量。 和

提示 因为总体 ,令

的分布中含有两个未知参数, 用矩法估计时, 首先求出 , ,可求得 , 的矩估计量。

例 7.3 某自动包装机包装洗衣粉,其重量服从正态分布,今随机抽查 12 袋测得其 重量(单位 g)分虽为 1 001,1 004,1 003,1 000,997,999,1 004,1 000,996,1 002,998,999 。 (1) (2) (3) (4) (5) 解 求平均袋重 求方差 求 求 的点估计值;

的点估计值;

的置信度为 95%的置信区间; 的置信度为 95%的置信区间; =9,求 的 95%的置信区间。

若已知

(1)

(2) (3) 未知,则 的置信度为 1- 的置信区间为

依题意:

故 (4)

的置信度为 95%的区间估计为(998.577,1 001.923)。 未知, 的置信度为 95%的置信区间为

查表

故 (5)

的置信度为 95%的区间估计为(3.479,19.982)。 当 =9 为已知时,关于 的置信度为 95%的置信区间为



查表 故 的置信度为 95%的区间估计为(998.553,1 001.14)。 设两总体 相互独立, , =82, =76,求 , 从 的置信

[对应练习]

中分别抽取容量为 n1=85, n2=60 的样本,且算得 度为 95%的置信区



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