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中英高中数学教材复数内容比较研究——以英国AQA数学课本和人教版A版数学课本为例

中英高中数学教材复数内容比较研究——以英国AQA数学课本和人教版A版数学课本为例


筹勰卷繁3期
2011年6一
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数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
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中英高中数学教材复数内容比较研究
——以英国AQA数学课本和人教版A版数学课本为例
王奋平
(黥媸学浣理工学茂,海袁三堑572000) 摘要:英圈高中数学教材疑现多样化、商业化的特点.中国大陆高中复数学习内容缺乏完整性和系统性,知识呈现模式 反映两国对师生之间的位置关系的不同认识,中阑教材为降低数学内容过于形式化而采取的措施不含理.英国AQA考试委 员会所用数学教材难度大,知识容量大,更加形式比,复数学习包含更多内容. 关键谲:嗲荚嚣塞孛复数;数学教聿季;知识点安季誊 孛豳泠类号:G420文献橡识码:A文素编号:1004-9894《201l}03---0083--04 英国第六学级(以下称为撼豳高中)相当予中图大陆高 中阶段高二捌商三年级,第六学级结束后的A水平考试相 当子孛国大酝麓考,箨惫全世器英语授瀑高校的入学录取标 准,复数内容在中国大陆高审属予文科学生选修内容1.2积 理科学生选修的2—2内容,文科选修内容比理科选修内容少 且简单,英阉AQA考试委员念黼中复数学习内容在“进一 步的纯数学”(Further
pure

由此得到一个方程:6x2—43x+84=0,可是这个方程 没有实数解。

接着逶过举15嬲年勃11曲矗求方程缀{?务三撙髂缒设
l曲2船 想提出:因为方程组没有实数解,如果允许a=5±4—15存
谯,这个方程组就能有解.然后告诉学生,直到19世纪,

r…

maths)模块中学习,属于难度

人们才真正理解了这种方程的解,只要令.=√一l,就W以 把上瑟懿方程组匏然譬残a=5+√15,b=5+麓5i,至勉
颥理成章地得到虚数荦位i.接着诖秘学们分别练习4个脊 嶷数解和无实数解的方程,体会有虚数解的方程的特镊。并 给出去求虚数根的求根公式.再次给出4个练习题,让学生 体会虚数根的求法.接着要求学生熠瀚彤计算器或电子制

较裹豹数学模块,鸯恚予摄考包疑簧轿、牟津等襄校愆学生 需要选修这个模块数学。现就茨灏高中AQA考试委员会编 写的A水平课本(以下简称燕图教材)和中国大陆人民教 育出版社2005年A版课本(以下简称中国教材)中复数学 习内容从知识范围、知识系统性以及知识呈现方式等方面加 浚既较簪}究+

表软俦绘裁出6个露不弱薅豹情嚣(蠢2簿、l释、冤瓣)
二次函数盼图形,通过图形了解到二次醋数图像和穰(实 椴戏虚根)及其判别式之间的关系.羧个虚数单位i的引 出过程完全遵循数学史中虚数的发展轨迹展现给学生,同 时也让学生感受到纛数在数学中的液用.一气呵成,没有 像孛嚣教材一样蹇接绘交痘数的形式诧定义,符合学生数 学学习心理特征。 可见,中国教材中并没有体现出新课程标准中所倡鼯的 “了解数学知识的产生过程,掌握数学知识的应用”的理 念。楣反,英国教材中恰拾体现出了上述中国课程标准巾的 数学麓识学霹理念。

l复数概念号l入方式比较
中国教材中通过引导学生联想自然数扩充剽实数的过 程设闯方程∥=l是否有解,由此引出虚数单位i,并进一步 零|串爨虚数集会、虚数熬鼗数形式定义及其结稳、实部帮虚 帮的关系、笈数集合、实数翻纛数的关系等穰念.对虚数酶 定义直接给出形式化的数学定义: 数集合C={a+bi,a、be R}中的数,即形如口斗舫,a、
be

R的数叫做复数。 蠹鸯饺少,麓单瑟紧凑,实鼯±裁是直接给懑了攫数静

定义,没有诖学生感受到虚数产生的历史过程,也没有虚数 在数学中的威用方式和范围.而英国教材对虚数的介绍过程 就相对比较究整.

2教学目标呈现方式不同
英国教材开门见山,在每章章曾瞧接给出本章学习目 标,铡如在复数一牵中就在章首先绘出学习目标; (1)理簿翔傍麸二次方程导入复数弗显酝道絮谤绘剃复 数几何图形(Argand豳); (2)能够叙述飘数多项式的几何图形意义; (3)能够进行熬本的复数运算; (4)理解~个簸数的极坐标(r,扔形式和代数形式; (5)瑾瓣欢挝慰壤戮及复数懿指数形式rei9(其孛懿r 为囱藿的模);

首先通过~个数学故事提出古希腊入对方程如1的解
鳇疑惑: 公元前275年吉希腊数学家Diophantus企瞬解一个与 直角三角形有关的方程:周长为12单位长,丽积为7个单 位面积的直角三角形两条直角边AB=x,AC=h.根据上述条 件得:

12=x+蟊+乒虿,7--≯h.
收稿日期:20lo_12_14

基金项目:套国教育科学“十一五”规划2010年度单位赘助教育部规划课趱——新课程改革下谡燮教学有效性研究(FFBl08036)
作者葱套:玉套平(197l一)’舅,甘肃凉列入,到教授,硕士,主要从拳数学教寓研究。

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数学教育学报

第20卷

(6)会傻躅橡模裰定瑾; (7)能够解释复平孺内轨迹的关系. 可以看出,英国教材一开始就给学嫩展示出学习目标, 体现出英国教材对学嫩学习主题地位的蒋重,让学生刚开始 就知道本章自己需要掌握的内容以及黛撰的深度,而且也可 {;乏穰学习熬过程孛不獗潮菱该学习嚣橼,了解叁己学习懿进 发和掌握的程度是喾这标,两中国教材不论在章首还是节莴 都没有看到学习目标的文字出现,目的可能是促使教师通过 研究课程标准来掌援本章内容的学习目标,这显然需要老师 具肖很好的职业操守翱敬业精神,同时也并没有体现出对学 生学习缝力和缝{}】对该翔谖点懿宏甏毙攘缝力戆关注,鬻时 也低待了学生的自学能力,与新课程标准中提出的师生在教 学过程中的平等关系棚违背.而中国教材并没有直接地给出 本鬻知识的主要知识点及其学习程度要求,主要采用在每节 节蓠用一个设闻来引嬲该节知识点主要内容。例如在“复数 代数影式酶黍除运雾”一节争对予复数运舞率豹零l窭就采惩 这样的设同旬“复数的乘法是否满足交换率、结合率?复数 对加法满足分配率吗?”.诸如此类的情况几乎每节都出现, 但是这样的设问散居猩各节中,难以对学生形成一个系统的 完憋知识模块感受.这釉表现形式实际上并没有体现出新谍 程瑗念孛学生主锩後麓鏊往麴要求,难潋涎学生一秀始就感受 到榴关知识之间的逻辑关系.

容,蠹签≥艺鞍丰富,包括了荚嚣高中谖本中涂橡模校定理、 欧拉定理、复数的指数形式、复数的极坐标形式、用椽模根 定律解复杂方程之外的所有复数内容.此次新课程改革过程 中,为了降低难度,减轻学生负担,删除了上述内容.复数 的学习对衡志于进入大学学习数学和物理等理工学科的学 生骞穰黧装熬学习俊篷,因必复变函数裁是淡复数酶学习兔 基础的,蕊数学、物理等专她的大学生必须学习该课程,如 果在高中阶段有比较扎实的复数学习基础和宽泛的复数内 容知识面,会为今后学习复变函数打下良好的基础,同时复 数的三角形式葶Ⅱ复数的几僻意义之间有密切的联系,如果增 翻三惫形式戆学习会有剩予学生搁深对复数且餐意义酶莲 解,而且还有利于利用复数三角形式进行开方计算,对于利 用三角形式进行复数开方运算,英国课本中只有z3=1这一 个方程的求解,难度较小.而中国大陆20世纪90年代的旧 课本中复数魄开方包括开撑次方根的孵法,比英国数学课本 更难,霹凳孛国对褰孛数学复数学习蠹容鹣改摹骞过予篱摹 的趋势.

4中英复数知识结构呈现方式比较
英圜离中数学课本中每章章蓄均有本章学习目标,例 懿复数一鬻藏在章蓄有懿下学磊蠢标,逶过零章学习,痤 该掌握; (1)复数的加、减、乘、除; (2)会求复数的模和复数的共轭复数; (3)会在复平面内作出复数对应的几何图形(Argaad图); (4)会鳃有复数校嚣方程。 教师穰引导学生学习本滩时,开门觅由,对本章需要学 习的重点知识一目了然.能做到有的放矢、心中有数,随时 可以在课本上查看本章学习目标.而中国大陆高中数学课本 中没有看到学习目标的罗列,也许考虑到教烬警头都有数学 课程标准,因隽在谦程标准审都弱臻鬟整学溺蠢标,霉觅孛 国数学谍本的编写是以教师主导型的,由老师撤据自己掌握 的复数学习目标来引导学生学习,至于学生魑褥需要知道本 章学习重点,还取决于老师怒否在教学过程中辫诉学生学习 目标和爨的,丽英国课本的姆点表明英国高中辫要学生自己 按照课本捌壅静学习鏊标耧教舞器共霹学习,体现鑫对学生学 习主动饿的尊重. 英国高中数学课本中对复数各知识点的安排顺序为:复 数介绍一复数的加法和减法运算一复数的乘法运算一复数 的除法运舞一鳃复数方程一复乎瑟上斡几秘鞠形(Argand 鋈)一援嫩标一复数酶三惫形式一檬模援定镲一欢拉定理一 复数的指数形式一用棣模根定律解复杂方程一复平面内的 轨迹图形.而中国高中数学课本的复数知识呈现过程为:复 数概念介绍一复数的几何意义一复数代数形式的加减运算 及其几留意义一复数代数形式觞乘除运算.中灏课本孛除了 缺少英溺课本孛豹解复数方稷、摄坐标、复数酶三惫形式、 棣模根定律、欧拉定理、复数的指数形式、用棣模根定律解 复杂方程、复平面内的轨迹图形这些内容外,对于英国课本 中具有的复数概念、复数的几何意义、复数的四则运算等内 容豹学习颞序襄英墓课本串豹安捧顺序基本鞠瓣。

3中英复数内容知识范围比较
袭l列出了中英高中数学教材中复数知识的学习范潮, 遥避毙较霹黻形象壤餐到嚣藿薅复数学露麦容蕊嚣熬舅鬻: 表l巾英复数内容翔识赢一览表

从表l可以看到:中国高中课本串复数学习内容沈荚国 高中课本中复数学习内容少得多,仅仪是对复数基本概念和 四则运算的初步介绍,内容很少.20世纪八九十年代中隰 大陆赢中采用以前苏联高中数学内容为蓝本的数学学习内

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笫3期

溅奋平:中英高巾数学教材复数内容比较研究

5例题和练习及习题比较
获孛嚣和英嚣教材中例题数量上,可以看出两嚣黠数学


(aetivi够),糨当予中国教材巾魄每节练习题,英国活动题不 像孛蓬静练习题那样黉予镣节结尾笼,悉是隧瓣裰摇翔谖点 学习的鬻黉出现在每节内容的任何位置,便予学生及时训练 或通过活动领会刚刚学习的内容,例如在复数代数一节根据 本节有4个知识点:复数的加法、减法、乘法、除法分别在 这4个知识点内容后安排4个活动题组,当然也有和中国练 露题一样酌情况,鲷翔在麟笈数方程一节藏溺必疑有一令知 识点而在节尾安排2个活动,紧接着就是本节练习题(相当 于中国教材的习题),没有把活动题穿插安排在本节内容中 间,同时英国教材中的练习题组(Exercises,相当于中国的 习题)不是每节都有,复数一耄共13节(包撬最磊的混合 练习一节>却只有5个练骂隧缝,前面3繁魂察包括复数奔 绍、加法、减法、乘法、除法、复数方程等内容有一个练习 题组,中间4节内容包括复数的几何意义(Argand图)、极 坐标、复数的三角形式等内容,这些内容安排一个练习题组,

学习过程中师生关系的处理理念的差异. 表2中英嶷数相同内容例题数量一览表

茭藿例题比较多,露且荚莺例题的鳃题过程属于攫蘧分 耩攫豹,一边推理分耩一边解题,诖入隧着分辑过程一步疹 走划结果出现,思路很清晰.而中国教材中例题教少,黼且 解题过程属于纯代数形式的,没有分析和推理说明,相对而 吉形式化和抽象化獠度较高,不利于学嫩自学,显然中翻教 材瘫煞了褰中学生赡自觉学习态度,鹚鬻逶过学生困兔壤疑 谍本中没有呈现的肉容露不甄查询蜜辩自我学习或瓣笼共 同探究学习.这需要高中学生中全部或大多数有较强烈的自 觉学习态度和能力,也需要学生具备赢询资料的条件和正 具,如果这些因素不具备,可能使得随好的愿望走向反灏, 反覆降低了学习效率. 表3审英袋数相同内容与习题数量一览表

橡模辗定毽、棣模撮定理瓣疲用2节内容安摊一令练习题 组,瓣方疆z3=l、欧拉定蓬、复数酶指数彤筑、鹅复数方 程4节内容有一个练习题组,最后一个知识点“复数平面内 的轨迹”蜜排一个练习题组,章末有一个混合练习题组,涵 盖本章所褥知识点的内容,是对该章知识的总结和复习,没 有明确按照难度分维,但楚扶题靛难度秘题鍪番,难度略亮 于蘸瑟酶活动题和练习题;巾藿教材复数一肇共4节,安撵 2个习题组,前2节1个,赠2节1个,每个习题组包括前 面连续2节的内容,不同乎荧国的练习题组只覆盖本节知识 内容,中潮教材每章最后也霄一个复习参考题组,功能相当 予英国教毒孝酶混合练习题缀,羧据难度分梵A缀翱B组,英 国教材巾混合练习题组静邂题数量为16个,蔼中国教材中 章末复习参考题中只有6个习题,其中中豳习题综合性较 低、难度也小,题型只有选择题和求解题,英阑习题综合性 强、覆盖灏广、难度也大、题型多样,例如在阍一个题中包 含了复数鹃三受形式、复数运算懿凡俺意义(鞔迹)、辐焦 主僮等几个知识点,该题中共3个闯题包含计冀、证明、茴 图3种题泌.

6结论与启示 6.1枣黧犬藏高中复数拳瓣雨骞缺乏完整瞧鞫黎统性
在∞氆纪80年代至90年代初期,我鬻糍中镬用静数 学教材中复数内容是按照前苏联高中数学中笈数内容和体 例编写的,难度较大、内容较多,包括现在新课程各出版社 的教材中融经删去的复数的三角形式、复数的歼方运算、复 数范重蠹求鳃一元二次方纛、复系数一元二次方程酶求解、 篱萃懿笈数运算的凡{哥意义等.此次薪课程改革中,鉴于上 述内容难度过大,在新教材中删除了,从英国高中(第六学 级)复数学习内容看,英国黼中复数学习内容摭本上和中国 大陆新课獠改革前的复数学习内容相仿,内容较多、系统性 甍善教材中给学生鹣数学囊练题分秀3类:活动惩 (Activity)、练习题组(Exercises)和混合练习越缀
(Miscellaneous Exercises),分别相当予中国教材中的练习

强,有利予学生在学习过程孛形成完整的复数躲识认谖。 6.2知谈燕现模式反映两鬻对舞生之闷的僚鬟关系的不霹 认识 英国教材把教学目标明确展示给学生,筒中国教材是在 学习结束麟在章末给出一个小结,对本章内容加以总结和归

题、习题和复习参考题,但是英国把练习题称为活幼

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数学袭骞攀掇

繁麴卷

纳,梳理出全章内容释个知识点之间的逻辑关系,两国的不 同安排模式都有其含蠼之处.英国教材中将教学目标以及本 章所有知识点罗列予黛酋可能有利于学生在一开始就形成 视步认识,并有剩子在学习过程中不断翻阕学习爨标,有目 的缝进行学习,这蠢髂瑷了对学生学习主体性麴薄重,覆方 谍堂教学过程的入文性佟统曾经一度令缀多巾鬻教育研究 者和学生青睐,希望举习西方师生共同探讨、研究型的课堂 教学模式,改变中国传统的“师为上,生为下”的所谓“填 鸭式”机械接受教学模式,此次基础教育课稷改革中专门提 如学生在数学学习中不成“局限于接受、记忆、模仿、和练 习,倡导学生自主探索、动手实践,会作交流发挥学生主动 憾”,但是教耪酶镳写餐婺符合上述要求才能褥筏该定效栗, 中国教材中不但不应该减少例题和习题数鬣、减少解题过 程,相反应该增加较多的知识点归纳、结论的总结、教学目 标的陈述等有利于学擞自主学习的内容,这样才能实现学生

自主学习的目标.
6.3

中国教材为降低数学内容过于形式化而采取的措施不 尽合理 凝课程标准希望能降低数学知识难度,扩展数学知识

覆,弹瓣学生视爨,大瞩凌减少了诀隽难度过大的郝分复数 蠹容,企图降低难度,但是秩课本中铡题酶处瑾番,对解题 过稷还是遵循纯数学的机械解题过程,并没有像英阑数学教 材中哪样,在解题过程中逐步分析关键步骤的解题原理和原 因、依据等.虽然减少了学习内容和例题,但是因为对知识 的星现方式不合理,也可能使得原本良好的出发点走向相反 豹缡鬃,还有减少知识容璧方鬻氇需要全嚣考虑,藏复数建 容露瓷,敬溃三角形形式、弹方运算、稷坐标形式叛及笈数 运算的凡僻意义等内容是否冀降低了难度,也许可能破坏了 知识的完整性,反而限制了学生知识面的扩展.中国教材可 能高估了高中学生自主学习态度和学习能力.

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Department of Fen—ping Sanya 572000。China)

Plural

Qiongzhou University,Hainan

Absttact:Through comparison between China hi姊school math and Britain high school math from plural contents,the way of knowledge present and number of sample and exercise,British high school math textbook has diversified,eommercial different textbooks,Compared tO high school math textbook edited by characteristic,each examination committee compiled

Beijing normal university press in China,AQA examination committee math textbook are more difficult than AQA math AQA math textbook has more knowledge capacity,瓢e plural 1earning includes more knowledge.
Key words:Chinese and British high

textbook,

school舛ural;mathematics textbook;knowledge arrangemen£

【奏任编按:豫汉嚣】

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中英高中数学教材复数内容比较研究——以英国AQA数学课本和人教版 A版数学课本为例
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 王奋平, WANG Fen-ping 琼州学院理工学院,海南三亚,572000 数学教育学报 Journal of Mathematics Education 2011,20(3)

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引证文献(2条) 1.王奋平 中英高中数学教材比较研究——以英国AQA考试委员会与北师大版高中数学教材平面向量为例[期刊论文]-数学教育学报 2011(6) 2.张紫茵.马小刚 美国SAT数学考试述评与启示[期刊论文]-数学教育学报 2011(6)

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