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2 扬州中学2014-2015学年高一下学期期中考试 数学

2 扬州中学2014-2015学年高一下学期期中考试 数学


江苏省扬州中学 2014—2015 学年第二学期期中考试

高一数学试卷
一、填空题( 14 ? 5? ? 70? ) 1.不等式

2015.4

2? x ? 0 的解集是 x ?1

. .

2.已知 ? 为锐角, cos ? ?

? 5 ,则 tan(? ? ) ? 4 5

3.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? 4.已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 解集为 {x | 3 ? x ? 4} ,则实数 a ?
2

. .

5 . 在 ?ABC 中 , A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , A ? 75 , B ? 45 , c ? 3 2, 则 b ? . 6.在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 的大小为 7.已知 sin ? cos ? ? .

3 ? ?? 且 ? ? ? 0, ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是 8 ? 4?

. .

8.等比数列 {an } 中,若 a1 ? a 2 ? 1 , a3 ? a4 ? 9 ,那么 a 4 ? a5 等于

9.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市 这两年生产总值的年平均增长率为 10.已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 11.数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, 12.函数 f ( x) ? 2sin (
2



1 1 ? 的最小值为 x y



1 an?1

?

1 ? 5(n ? N ? ) 则 an ? an



?
4

? x) ? 3 cos 2 x(

?

? x ? ) 的最小值为 4 2

?



13.在正项等比数列 {an } 中 a3 ? a4 ? 大正整数 n 的值为
2 2

3 , a6 ? 1 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最 8



14.若实数 x , y 满足 x ? y ? 1,则

xy ? 1 的取值范围是 x ? y ?1



二、解答题(15、16 每题 14? , 17 、18 每题 15? ,19、20 每题 16? ) 15.已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin

?
2

? cos

?
2

?

6 。 2
3 5

(1)求 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,求 cos ? 的值。

1

16.已知 f ( x) ? ax 2 ? x ? a, a ? R 。 (1)若不等式 f ( x) ? ?2 x2 ? 3x ? 1 ? 2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0 ,解 不等式 f ( x) ? 1 。 17.已知数列 ?an ? 为等差数列, ?bn ?为等比数列,满足 a1 ? a2 ? 5, a5 ? a6 ? 29, b7 ? a22 (1)求 a22 的值; (2)设 b8 ? 64m(m ? 0) ,求数列 ?bn ?的子数列 b7 , b8 , b9 , b10 , b11 ,?的前 n 项和 Sn ;
1 ? (3)在(2)的条件下,若 m ? 2 ,求数列 ? ? (an ? 2)bn ? 的前 n 项和 Tn 。 ?3 ?

18.为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个单位的净化剂, 空气中释放的浓度 y (单位:毫克/立方米)随着时间 x (单位:天)变化的函数关系式近似为

? 16 ? 1, 0 ≤ x ≤ 4 ?8 ? x y?? 。若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的 ?5 ? 1 x , 4 ? x ≤ 10 ? 2
净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方 米)时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的 净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a( 1 ≤ a ≤ 4 )个单位的药剂,要使 接下来的 4 天中能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1. 4) 。 19. 如图,在直角三角形 ?ABC 中,?ACB ? 90 , ?BAC ? 60
o o

AC ? 4 ,点 M 在线段 AB
B

上。 (1)若 CM ? 13 ,求 AM 的长; (2)若点 N 在线段 MB 上,且 ?MCN ? 30 ,求 ?MCN 的面积最小值,
o

N M C
2

并求 ?MCN 的面积最小时 MN 的长。 20.记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An ? Bn ? C ( n ? N * ) ,其中 A, B, C 为常数。 (1)已知 A ? B ? 0, a1 ? 0 ,求证数列 ?an ? 是等比数列; (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求证: 3 A ? C ? B ;

A

2

(3)已知 a1 ? 1, B ? 0 且 B ? 1 , B ? C ? 2 ,若 值范围。

an ? ? 对 n ? N * 恒成立,求实数 ? 的取 an ?1

高一年级下学期期中考试数学试卷答案 2015.4
1. (??, ?1) ? (2, ??) 6. 120? 11. 7. 2. ? 3 9. 3. 12 4. ?

1 12

5. 2 3 10. 3 ? 2 2

1 2

8. ?27

( p ?1)(q ?1) ?1

3 15n ? 14

12. 2

13. 12

14. (??,1 ? 2] ? [

3 2 ?3 , ??) 2

15.解:(1)因为 sin +cos =

α 2

α 2

6 1 2 ,两边同时平方,得 sin α=2.

π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 π π π π π (2)因为2<α<π,2<β<π,所以-π<-β<-2,故-2<α-β<2. 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=- 4 3+3 10 .
16.解: (1)当 a ? ?2 时, ?

3 4 1 ? 3? ?- ?=- ×+ × 2 5 2 ? 5?

a?2?0 ,解得 a ? 2 ; ? ? 16 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ?

当 a ? ?2 时,不合题意;所以 a ? 2 。
2 (2) ax ? x ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0

a ?1 a ? 1 2a ? 1 ) ? 0 ,因为 1 ? (? )? a a a 1 a ?1 a ?1 所以当 ? ? a ? 0 时, 1 ? ? , 解集为{ x | 1 ? x ? ? } ; 2 a a 1 2 当 a ? ? 时, ( x ? 1) ? 0 ,解集为 ? ; 2 1 a ?1 a ?1 ? x ? 1} 当 a ? ? 时, 1 ? ? , 解集为{ x | ? 。 2 a a
因为 a ? 0 ,所以 ( x ? 1)( x ? 17.解: (1) a22 ? 64

3

(2) S n ? ? 64(1 ? m n )

? ?

64n, m ? 1

, m ? 0且m ? 1 ? ? 1? m (3) Tn ? 1 ? ?n ? 1?2n

? 64 ?4 0? x ? 4 ? 18.解: (1) f ( x) ? 4 y ? ? 8 ? x , ? ? 20 ? 2 x 4 ? x ? 10
当 0 ? x ? 4 时,有

64 ? 4 ? 4 ,解得 0 ? x ? 4 ; 8? x

当 4 ? x ? 10 时,有 20 ? 2 x ? 4 ,解得 4 ? x ? 8 ; 综上可知 0 ? x ? 8 ,所以若一次喷洒 4 个单位的 净化剂,则净化时间可达 8 天。 (2)设从第一次喷洒起,经过 x 天( 6 ? x ? 10 ) 浓度 g ( x) ? 2(5 ?

1 16 16a ?a?4 x) ? a ( ? 1) ? 14 ? x ? 14 ? x 2 8 ? ( x ? 6)

因为 14 ? x ?[4,8],1 ? a ? 4 , 4 a ?[4,8] ,所以,当 14 ? x ? 4 a 时, y ? g ( x) 有最小

?a ? , 4 所以 值 8 a ? a ? 4 。 令 8 a ? a ? 4? 4, 解 得 2 4? 1 6 2
2 4? 1 6 2 ? 1。 .6

a 得最小值为

19.解: (1)在 ?ABM 中由余弦定理 CM 2 ? AC 2 ? AM 2 ? 2 ACAM cos A ,

13 ? 16 ? AM 2 ? 4 AM ∴ AM ? 1 或 AM ? 3
(2)设 ?ACM ? ? (0o ? ? ? 60o ) ,在 ?ACN 中由正弦定理得:

2 3 CN AC AC AC ,∴ CN ? ? ? ? o cos? sin A sin ?CNA sin(90 ? ? ) cos?
在 ?ACM 中,由正弦定理得:

CM AC AC 2 3 ,∴ CM ? ? ? o sin A sin ?AMC sin(60 ? ? ) sin(60o ? ? )
∴ S ?MCN ?

1 3 12 CM ? CN sin ?MCN ? ? o 2 sin(60 ? ? ) cos? 2 sin(2? ? 60o ) ? 3
24 ? 12 3 2 3

o o o o o o ∵ 0 ? ? ? 60 ∴ 60 ? 2? ? 60 ? 180 0 ? sin(2? ? 60 ) ? 1 o ∴当 ? ? 15 时, S ?MCN 取最小值为 24 ? 12 3 ,此时 MN 为

? 4 3 ?6。

20.解(1)由 A ? B ? 0 ,得 an ? Sn ? C ( n ? N * ) ,①

4

? an?1 ? Sn?1 ? C
② ? ①得: a n ?1 ?



1 a n ,又 a1 ? 0 ,所以数列 ?an ? 是等比数列; 2 1 n(n ? 1)d 。 2

(2) 由数列 ?an ? 是等差数列, 可令公差为 d , 则 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ? 所以 an ? Sn ?

1 2 1 dn ? (a1 ? d )n ? a1 ? d ? An 2 ? Bn ? C 对 n ? N * 恒成立, 2 2

1 ? ? A? 2d ? 1 ? 所以有 ? B ? a1 ? d ,所以有: 3 A ? C ? B 。 2 ? ? C ? a1 ? d ? ?
2 (3)由 a1 ? 1, B ? C ? 2 , an ? Sn ? An ? Bn ? C ( n ? N * )得

2a1 ? A ? B ? C ? 2 ? A ? B ? C ? A ? 0
所以有 an ? Sn ? Bn ? 2 ? B ①

? an?1 ? Sn?1 ? Bn ? 2 ②
1 (an ? B ) ; 2 1 , 2n ?1

② ? ①得: 2an?1 ? an ? B , ? an ?1 ? B ?

又 a1 ? 1, B ? 1 ,所以 a1 ? B ? 0 。所以数列 ?an ? B? 是等比数列, an ? B ? (a1 ? B )

1 ?B n ?1 an (1 ? B) 1 2 ? ? 1? an ? (1 ? B ) n ?1 ? B , ? 2 an ?1 (1 ? B) 1 ? B (1 ? B) ? 2n B n 2 (1 ? B)
(1)当 0 ? B ? 1 时, 1 ? B ? 0 ,

(1 ? B) 的值随着 n 的增大而减小,所以,对任意 (1 ? B) ? 2n B

n? N* ,

an an an 2 )max ? ? ? 对 n? N* 恒 的最大值在 n ? 1 时取得,即 ( 。因为 an ?1 an ?1 an?1 1? B
2 。 1? B

成立,所以 ? ?

(2)当 B ? 1 时, (1 ? B) ? 2n B ? (1 ? B) ? 2B ? 1 ? B ? 0 ,所以,

0?

an a (1 ? B) ? 1? ? 1 ,因为 n ? ? ,所以 ? ? 0 。 n an?1 (1 ? B) ? 2 B an ?1 an (1 ? B) ( B ? 1)(2 ? ? ) ? 1? ? ? ,得 2n ? n an ?1 (1 ? B) ? 2 B (1 ? ? ) B
5

假设 0 ? ? ? 1 ,且

即 n ? log 2

( B ? 1)(2 ? ? ) ( B ? 1)(2 ? ? ) , 这 表 明 当 n 取 大 于 等 于 log 2 的正整数时, (1 ? ? ) B (1 ? ? ) B

an ? ? 不成立,矛盾,所以 ? ? 1 。 an ?1
综上所述:当 0 ? B ? 1 时, ? ?

2 ;当 B ? 1 时, ? ? 1 。 1? B

6



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