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2018高考数学异构异模复习第六章数列课时撬分练6.1数列的概念及其表示文

2018高考数学异构异模复习第六章数列课时撬分练6.1数列的概念及其表示文


2018 高考数学异构异模复习考案 第六章 数列 课时撬分练 6.1 数列 的概念及其表示 文
时间:60 分钟 基础组 1.[2016·衡水二中月考]数列{an}的通项 an= A.3 10 C. 1 19 1

n ,则数列{an}中的最大值是( n2+90
B.19 D. 10 60

)

答案 C 解析 因为 an= 1 1 * ,运用基本不等式得, ≤ ,由于 n∈N ,不难发现当 n 90 90 2 90 n+ n+

n

n

1 =9 或 10 时,an= 最大,故选 C. 19 2.[2016·枣强中学模拟]数列{an}的前 n 项积为 n ,那么当 n≥2 时,{an}的通项公式 为( ) A.an=2n-1 ?n+1? C.an= 2
2 2

B.an=n

2

n

D.an= 2 ?n-1?

n2

答案 D 解析 设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n ,当 n≥2 时,an=
2

Tn n2 = . Tn-1 ?n-1?2

3.[2016·衡水二中期末]已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那 么 a10 等于( A.1 C.10 答案 A 解析 ∵Sn+Sm=Sn+m,a1=1,∴S1=1. 可令 m=1,得 Sn+1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=1. 即当 n≥1 时,an+1=1,∴a10=1. 4.[2016·武邑中学猜题]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N ),则 a5 等于( C.31 答案 B 解析 当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=2an-2an-1,
1
*

) B.9 D.55

) B.16 D.32

A.-16

∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2, 故 a5=a1×q =2 =16. 5.[2016·冀州中学仿真]已知数列{an}满足 a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1),则当
4 4

n≥1 时,an 等于(
A.2 C.2
n

) 1 B. n(n+1) 2 D.2 -1
n

n-1

答案 C 解析 由题设可知 a1=a0=1,a2=a0+a1=2. 代入四个选项检验可知 an=2
n-1

.故选 C.

?7?n 6. [2016·武邑中学预测]已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)? ? ,则当 an 取得最大 ?8?
值时,n 等于( A.5 C.5 或 6 答案 C 解析 由题意知?
? ?an≥an-1, ?an≥an+1, ?
n n-1

) B.6 D.7

?7? ≥?n+1??7? ? ? ?8? ??n+2?? ?8? ? ? ∴? 7? ?7? ?8? ≥?n+3??8? ??n+2?? ? ? ? ? ?
n

, .

n+1

∴?

?n≤6, ? ?n≥5. ?

∴n=5 或 6.

7.[2016·衡水二中模拟]在数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n+1,则数列的通项 an= ________. 答案 n
2

解析 ∵an+1-an=2n+1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…+ 5+3+1=n (n≥2).当 n=1 时,也适用 an=n . 8.[2016·枣强中学期末]已知数列{an}的首项 a1=2,其前 n 项和为 Sn.若 Sn+1=2Sn+1, 则 an=________.
?2,n=1, ? 答案 ? n-2 ? ?3·2 ,n≥2
2 2

解析 由 Sn+1=2Sn+1,则有 Sn=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1=2an,又 S2=a1+a2
? ?2,n=1, =2a1+1,a2=3,所以数列{an}从第二项开始成等比数列,∴an=? n-2 ?3·2 ,n≥2. ?

2

9.[2016·衡水二中仿真]已知数列{an}中,a1=1,a2=2,设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 对于任意的 n>1,n∈N ,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,则 S10=________. 答案 91 解析 ∵?
?Sn+1+Sn-1=2Sn+2, ? ? ?Sn+2+Sn=2Sn+1+2,
*

两式相减得 an+2+an=2an+1(n≥2),∴数列{an}从第二项开始为等差数列,当 n=2 时,

S3+S1=2S2+2,∴a3=a2+2=4,
9?2+18? ∴S10=1+2+4+6+…+18=1+ =91. 2 10. [2016·枣强中学期中]如图所示的图形由小正方形组成, 请观察图①至图④的规律, 并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是________.

答案

n?n+1?
2

解析 由已知,有 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10, ∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n, 各式相加,得 an-a1=2+3+…+n, 即 an=1+2+…+n=

n?n+1?
2

,故第 n 个图形中小正方形的个数是
n-1

n?n+1?
2

.

11.[2016·衡水二中热身]已知数列{an}满足:a1=1,2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于 ? 1000 解 (1)n≥2 时,

an=an-1(n∈N*,n≥2).

an ?1?n-1 =? ? , an-1 ?2?

故 an=

an a 3 a2 ·…· · ·a1 an-1 a2 a1

?1?n-1 ?1?n-2 ?1?2 ?1?1 =? ? ·? ? ·…·? ? ·? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?1?1+2+…+(n-1) =? ? ?2? ?1??n-1?n, =? ? 2 ?2? ?1?0 当 n=1 时,a1=? ? =1,即 n=1 时也成立. ?2?

3

?1??n-1?n. ∴an=? ? 2 ?2?
(2)∵y=(n-1)n 在[1,+∞)上单调递增,

?1??n-1?n在[1,+∞)上单调递减. ∴y=? ? 2 ?2?
?n-1?n ?1??n-1?n ≤ 1 . 当 n≥5 时, ≥10,an=? ? 2 2 1024 ?2? ∴从第 5 项开始及以后各项均小于 1 . 1000 1 2a ,0<a ≤ , ? ? 2 =? 1 2a -1, <a <1, ? ? 2
n n n n

12.[2016·武邑中学期末]已知数列{an}满足 an+1

6 且 a1= , 7

求 a2015. 解 6 ?1 ? 5 ∵a1= ∈? ,1?,∴a2=2a1-1= . 7 ?2 ? 7

3 ?1 ? ∵a2∈? ,1?,∴a3=2a2-1= . 7 ?2 ? 6 ? 1? ∵a3∈?0, ?,∴a4=2a3= =a1, 7 ? 2? 5 ∴{an}是周期数列,T=3,∴a2015=a3×671+2=a2= . 7 能力组 1 1 1 1 13. [2016·衡水二中预测]已知数列{an}满足条件 a1+ 2a2+ 3a3+…+ nan=2n+5,则 2 2 2 2 数列{an}的通项公式为( A.an=2 C.an=2 答案 B 1 1 1 1 解析 由题意可知,数列{an}满足条件 a1+ 2a2+ 3a3+…+ nan=2n+5, 2 2 2 2 1 1 1 1 则 a1+ 2a2+ 3a3+…+ n-1an-1 2 2 2 2 =2(n-1)+5,n>1, 两式相减可得: n=2n+5-2(n-1)-5=2, 2 ∴an=2
n+1 n+1

)
? ?14?n=1? B.an=? n+1 ?2 ?n≥2? ?

n

D.an=2

n+2

an

,n>1,n∈N .

*

当 n=1 时, =7,∴a1=14, 2 综上可知,数列{an}的通项公式为:
4

a1

an=?

?14?n=1?, ? ?2 ?
n+1

?n≥2?.

故选 B.

14.[2016·枣强中学月考]在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为________.

答案 66 解析 每行的第二个数构成一个数列{an},由题意知 a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,则

a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,
各式两边同时相加,得 ?2n-3+3?×?n-2? 2 =n -2n, 2
2 2 2 2

an-a2=

即 an=n -2n+a2=n -2n+3(n≥2),故 a9=9 -2×9+3=66. 15.[2016·衡水二中猜题]已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 bn= 2

an+1

,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

2 ? ?3?n=1? ∴b =? 1 ? ?n?n≥2?
n

.

(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 = 1

n+1 n+2



1

+…+

1 , 2n+1

1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1 = 1 1 -1 - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?

∴{cn}是递减数列. 1 3an 16.[2016·衡水二中一轮检测]已知数列{an}中,a1= ,an+1= . 2 an+3

5

(1)求 an; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn· 1 求证: ≤Sn<1. 2 解 (1)由已知得 an≠0 则由 an+1= 3an 1 an+3 1 1 1 1 ,得 = ,即 - = ,而 =2, an+3 an+1 3an an+1 an 3 a1

n?3-4an? =1, an

?1? 1 ∴? ?是以 2 为首项,以 为公差的等差数列. a n 3 ? ?

1 1 n+5 3 ∴ =2+ (n-1)= ,∴an= . an 3 3 n+5 (2)证明:∵bn· ∴bn=

n?3-4an? 3 =1,由(1)知 an= , an n+5

1 1 1 = = - , n?3-4an? n?n+1? n n+1

an

1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=b1+b2+…+bn=?1- ?+? - ?+? - ?+…+? - =1- , ? n+ 1 ? 2? ?2 3? ?3 4? ?n n+1? 又∵n≥1,∴n+1≥2,∴0< 1 ∴ ≤Sn<1. 2 1 1 ≤ . n+1 2

6



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