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映射与函数复习教案

映射与函数复习教案


题目:映射与函数
一、知识系统及其结构:
? ?定义 ? ? ? ? ? ?函数的概念 ?定义的三要素 ? ? ? ? 函数 ? ? 表示符号 ? ? ? 解析法 ? ? ? 函数的表示法 ? 列表法 ? ?图象法 ? ? ?

(6) A 中任一元素在 B 中必有唯一的象. 本题只有对映射定义十分清楚,才能做出正确的回答,(3)、(6)正确. (二)下列对应,哪些是映射?是映射的哪些原象总是唯一的?哪些是一一映射?
? 定义域 ? ? 对应法则 ? 值域 ?

? ? ? 映射的概念 ? ? 映射 ? ? ?映射的表示法 ? ? ?

? 三要素 ? ? 象、原象 ?一一映射 ? ? 图示法 ? ? 叙述法 ? 解析式法 ?

(1) A={x|x∈R},B={y|y∈R+},对应法则 f:x→y=

1 x
2



(2) A={x|x∈R},B={x|x∈R+},对应法则 f:x→y=|x|. (3) A={x|x≥0},B={0,1},对应法则 f:x→y=x0. (4) A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},对应法则 f:x→y= (5) A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},对应法则 f:x→y=
2 3 1 8 x. x .
2

区间的概念及表示方法

?开区间 ? ( a , b ) ? ?闭区间 ? [ a , b ] (a ? b)? ? 左开右闭区间 ? ( a , b ] ? 左闭右开区间 ? [ a , b ) ?

(6) A={2,3},B={6,12,18},对应法则 f:a→b(b 被 a 整除). (7) A={x|x 为平面上的多边形},B={y|y∈R},对应法则 f:x→y 是 x 的面积. (8) A={(x,y)|x,y∈R},B={x|x∈R},对应法则 f:(x,y)→x(即让平面上的点与它在 x 轴上的射 影对应). 答案:(5) (7) (8)是映射,其中(5)的原象总唯一;(5)是一一映射. (三) (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ;
* 2 (2) A ? { x | x ? 2, x ? N } , B ? ? y | y ? 0, y ? N ? , f : x ? y ? x ? 2 x ? 2 ;

二、主线知识:
1、映射:如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它 对应,则这种对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。若 a∈A, b∈B,且 a 和 b 对应,则称 b 是 a 的象,a 是 b 的原象。 附:如果 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的 象,且 B 中的每一个元素都有原象,则这种映射叫做一一映射。 2、函数:设 A、B 是非空数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任何一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么称 f:A→B 为集合 A 到 B 的一个函数,记作
y ? f ( x ), x ? A. 。

(3) A ? { x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x . 上述三个对应 是 A 到 B 的映射. 分析:本题考察映射的概念。 (1)A 里元素 0 在 B 中没有元素对应;

变量 x 称作自变量,x 的取值范围 A 称作函数的定义域;与 x 的值对应的 y 的值称作函数值,所 有函数值的集合 { f ( x ) | x ? A} 称作函数的值域。 对应法则、定义域、值域称函数的三要素。 函数是定义域到值域的一种特殊映射。映射中集合里的元素可以是任意属性,而函数中集合里的 元素则必须是数。 三、范例分析: 例 1.映射与一一映射判断问题: (一)从集合 A 到集合 B 的映射中,不列说法哪些是正确的?哪些说法是错误的?为什么? (1) A 中的某一元素 a 的象可能不止一个. (2) A 中两个不同元素 a1、a2 的象必不相同. (3) B 中某一元素 b 的原象可能不止一个. (4) B 中两个不同元素的原象可能相同. (5) B 中的任一元素在 A 中必有原象.

2 (2)A 里元素按照 f : x ? y ? x ? 2 x ? 2 ,对应的象集为 ?y y ? 2 , y ? N

?

?;

(3)A 里元素按照对应法则对应两个元素,不符合映射的定义。 例 2 象与原象问题: (一) 设“ f : A ? B ”是从 A 到 B 的一个映射,其中 A = B = {( x , y ) | x , y ? R} ,
f : y) ? (x ? y, xy) , (x,

(1)求(1,-2)在 f 作用下的象; (2)若在 f 作用下的象是(1,-2) ,求它的原象. 分析:本题考察映射中原象与象的对应关系。 (1) (1,-2)是原象,对应的象为 (1 ? ( ? 2 ),1 ? ( ? 2 ))即( ? 1, 2) ? ; (2) (1,-2)是象,由 ? x ? y ? 1 ? ? x ? ? 1或 ? x ? 2 ,对应的原象为 ( ? 1, 2) 和 (2, ? 1) ? ? ?
? xy ? ? 2 ?y ? 2 ? y ? ?1

(二)设 A、B 是直角坐标平面上的点集,映射 f:A→B 为(x,y) →(y-1,x+2),求在映射 f 下,象 (3,-4)的原象以及原象(-2,1)的象. 注:(3,-4)的原象是(-6,4);(-2,1)的象是(0,0).

本题是为了正确地理解“象”与“原象”的概念,并会求象或原象. (三)已知映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)∣x∈R,y∈R },f:(x,y) →(x+2y+2,4x+y). (1)求 A 中元素(5,5)的象; (2)求 B 中元素(5,5)的原象; (3)是否存在这样的元素(a,b),使它的象仍是自己?若有,求出这个元素. 解: (17,25) (1) ; (2)(1,1);
?x = x+2y+2, (3) (0,-1) .提示: (3)解方程组? 即可. ?y = 4x+y. 例 3 映射的个数问题: (1)从集合 A={a,b,c}到集合 B={x,y}可以建立的映射的个数有几个? 分析:本题考察映射的深刻理解。 映射的要求 A 中任意元素在 B 中都有惟一元素对应。相当于有三个元素 a、 b 、c 按照不同顺序放在

答案:D 是同一函数. 例 5.函数求值:
?3 x ? 6 ? x ? 0 ? (一)已知函数 f ? x ? ? ? ,(1)求 f [f (1)]的值.(2)若 f(a)=3,求 a 的值。 ? x ? 5 ?x ? 0 ?

答案: (1)f [f (1)]=2. (2)a=-2 或 a=3 (二)已知 f (2x+1)=3x-2,且 f (a)=4,求 a 的值. 答案:a=5,本题要求对函数符号、对应法则、函数值、函数值的符号等认识非常清楚,才能正 确求解. 例 6.求函数的值域: (一)求下列函数的值域. (1) y ? (3) y ?
x ?1;
2x ? 1 x?3

不同的两个位置 x,y,每个位置可以放多个元素,共有 2 ? 8 个不同方法,即构成四个不同的映射。
3

结论:若集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则集合 A 到集合 B 的映射为 n 个。 (2)从集合 A={a,b,c}到集合 B={x,y,z}可以建立的映射中一一映射有几个? 分析:共有 3 ? 2 ? 1 ? 6 个。 结论:若集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中也有 m 个元素,则集合 A 到集合 B 的一一映射为 n! = n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ...... ? 2 ? 1 个。 例 4.判断是否为同一函数: (一)下列各组中的两个函数是否表示同一函数,为什么? (1) f (x)=x0 与 g (x)=1 (2) f (x)=x 与 g (x)=
x
2

m

(2) y=2x2-4x+3,x∈[-2,2]; (4) y ?
x ?1 x ? x ?1
2





(5) y ? x ?

x ?1.

答案:(1) ?1,? ? ? ;

(2) [1,19];

(3) (-∞,2) ∪(2,+∞);

x
2

(3) f (x)=x 与 g (x)= x

? 2 3 2 3? ,? 1 ? (4) ? ? 1 ? ?; 3 3 ? ?

(5) ?1,? ? ? .

? x? (4) f (x)=
x

本题为加深理解值域由定义域和对应法则唯一确定,掌握求函数值域的常用方法.(1) 用观察法, 与 g (x)=

2

? x?

x

2

(2) 用配方法,(3) 用反解 x 法,(4) 用判别式法,(5)用换元法. (二)求下列函数的值域: ) . (1) y ? (2) y ?
? x ? 2x ? 3 ? 1;
2

答案:(4)是同一函数. (二)下列四组函数中,有相同图象的一组是( (A) y = x-1, y ? ( x ? 1) 2 (B) y ?
x ?1, y ?
x ?1 x ?1

x ?x
2

x ? x ?1
2



(3) y ? x ? 4 2 ? x . 解: (Ⅰ) 由-x2+2x+3≥0,得函数定义域为[-1,3].

(C) y = 6 lg x, y = 3 lg x2 (D) y = lg x-1, y ?
1 3 lg x
3

当-1≤x≤3 时,u =-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

1000

∴ 0≤u≤4. ∴ 1≤y≤3,即所求函数值域为[1,3]. (2) 由 y ?
x ?x
2

例 8 函数的应用题: 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售时,每天可销售 100 件,现他采用提高售 价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就减少 5 件,问他将销 ① 售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?最大利润是多少? 解:设每件销售价为 x 元,所获利润为 y 元,则依题意有, y=(x-8)[100-5(x-10)] =-5(x2-38x)-1200 =-5(x-19)2+605
? 1 ?

x ? x ?1
2

,得 (y-1)x2 + (1-y) x + y =0.

当 y = 1 时, ① 变为 y = 0,这是矛盾的. 当 y≠1 时,由 x∈R,得 △= (1-y )2-4y ( y-1)≥0. 解得

?

1 3

? y ?1.

综上得所求函数值域为 ? ? , 1 ? . ? 3 ? (3)由已知函数定义域为 ?? ? , 2 ? ,且在区间 ?? ? , 2 ? 上又是增函数,故其值域为 ?? ? , 2 ? 例 7 函数图像的判定: (1) 设 A={x∣0≤x≤2},B={y∣1≤y≤2},图 1 中表示 A 到 B 的函数是 ( )

∴ 当 x=19 时,ymax=605. 故将销售价定为每件 19 元,能使每天所获利润最大,最大利润 605 元.

函数定义域的类型和求法
本文介绍函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求 函数的定义域。现举例说明。 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式 组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 求函数定义域的一般原则: (1) 分式的分母不为零

分析

可根据映射观点下的函数定义直接求解.首先 C 图中,A 中同一个元素 x(除 x=2)与 B 中两个

(2) 偶次方根的被开方数大于或等于零 (3) 对数的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1 (4) 零次幂的底数不为零 (5) 如果函数是有一些基本初等函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是个基本函数定 义域的交集。
x ? 2 x ? 15
2

元素对应,它不是映射,当然更不是函数;其次,A、B 两图中,A 所对应的“象”的集合均为{y∣0 ≤y≤2},而{y∣0≤y≤2}? B={y∣1≤y≤2},故它们均不能构成函数.从而答案选 D. 点评 函数首先必须是映射,是当集合 A 与 B 均为非空数集时的映射.因此,判断一个对应是否能构

成函数,应判断:①集合 A 与 B 是否为非空数集;②f:A→B 能否为一个映射.另外,函数 f:A→B 中,象的集合 M 叫函数的值域,且 M?B. (2) 下列各图形中, 是函 数的图象的是 ( ) 答案:D O A x O B x O C x O D x y y y y

例 1 求函数 y ?

| x ? 3 | ?8

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足
? x 2 ? 2 x ? 15 ? 0 ? ?| x ? 3 | ? 8 ? 0 ① ②

由①解得 由②解得

x ? ?3 或 x ? 5 。 x ? 5 或 x ? ? 11

③ ④

其解法是:已知 f [ g ( x )] 的定义域是[a,b] ,求 f(x)定义域的方法是:由 a ? x ? b ,求 g(x)的值 域,即所求 f(x)的定义域。 例 4 已知 f ( 2 x ? 1) 的定义域为[1,2] ,求 f(x)的定义域。

③和④求交集得 x ? ? 3 且 x ? ? 11 或 x>5。 故所求函数的定义域为 { x | x ? ? 3且 x ? ? 11或 x ? 5} 。
2 3 解:因为 1 ? x ? 2, ? 2 x ? 4, ? 2 x ? 1 ? 5 。

例 2 求函数 y=(x+1) +

0

1 16-x
2

的定义域。

即函数 f(x)的定义域是 { x | 3 ? x ? 5} 。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R,求参数的范 围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 5 已知函数 y ?
mx
2

解:要使函数有意义,则必须满足
?x ?1 ? 0 ? 2 ?16 ? x ? 0 ① ②

? 6 mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

由①解得 x ? ? 1 由②解得 ? 4 ? x ? 4

③ ④ 分析:函数的定义域为 R,表明 mx 2 ? 6 mx ? 8 ? m ? 0 ,使一切 x∈R 都成立,由 x 2 项的系数是 m,所以应分 m=0 或 m ? 0 进行讨论。 解:当 m=0 时,函数的定义域为 R; 当 m ? 0 时, mx 2 ? 6 mx ? m ? 8 ? 0 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条件是
?m ? 0 ? 2 ? ? ? ( ?6 m ) ? 4 m ( m ? 8) ? 0 ? 0 ? m ?1

由③和④求公共部分,得
? 4 ? x ? ? 1或 ? 1 ? x ? 4

? 故函数的定义域为 ( ? 4, 1) ? ( ? 1, 4)

二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义 域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知 f ( x ) 的定义域,求 f [ g ( x )] 的定义域。

综上可知 0 ? m ? 1 。 评注:不少学生容易忽略 m=0 的情况,希望通过此例解决问题。

其解法是:已知 f ( x ) 的定义域是[a,b]求 f [ g ( x )] 的定义域是解 a ? g ( x ) ? b ,即为所求的定义域。 例 6 已知函数 f ( x ) ?
kx
2

kx ? 7 ? 4 kx ? 3

的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。

例 3 已知 f ( x ) 的定义域为[-2,2] ,求 f ( x 2 ? 1) 的定义域。 解 : 要 使 函 数 有 意 义 , 则 必 须 kx 2 ? 4 kx ? 3 ≠ 0 恒 成 立 , 因 为 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 即 解:令 ? 2 ? x 2 ? 1 ? 2 ,得 ? 1 ? x 2 ? 3 ,即 0 ? x 2 ? 3 ,因此 0 ? | x |? 故函数的定义域是 { x | ? 3 ? x ?
3} 。

3 ,从而 ?

3 ? x?

3,

kx

2

? 4 kx ? 3 ? 0 无实数

①当 k≠0 时, ? ? 16 k 2 ? 4 ? 3 k ? 0 恒成立,解得 0 ? k ? (2)已知 f [ g ( x )] 的定义域,求 f(x)的定义域。 ②当 k=0 时,方程左边=3≠0 恒成立。

3 4



综上 k 的取值范围是 0 ? k ? 四、实际问题型

3 4



?2 x ? 0 L ? ? 0? x ? ? L ? 2 x ? ?x ??2 ?0 ? 2 ?

这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意, 并形成意识。 例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形, 求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式, 并求函数的定义域。 解:设矩形一边为 x,则另一边长为
1 2 1 2 1 2 ( a ? 2 x ) 于是可得矩形面积。

故函数的解析式为 y ? ? ( 2 ? 五、参数型

? 2

) x ? Lx ,定义域(0,
2

L ??2

) 。

对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例 9 已知 f ( x ) 的定义域为[0,1] ,求函数 F ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 的定义域。

y ? x?

(a ? 2 x ) ? 1 2

ax ? x

2

? ?x ?
2

ax 。

解:因为 f ( x ) 的定义域为[0,1] ,即 0 ? x ? 1 。故函数 F ( x ) 的定义域为下列不等式组的解集:
?0 ? x ? a ? 1 ?? a ? x ? 1 ? a ,即 ? ? ?0 ? x ? a ? 1 ?a ? x ? 1 ? a

由问题的实际意义,知函数的定义域应满足
?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ?1 ?a ? 2 x ? 0 ? (a ? 2 x ) ? 0 ?2

即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知 (1)当 ?
1 2 ? a ? 0 时,F(x)的定义域为 { x | ? a ? x ? 1 ? a } ; 1 2

? 0? x ?

a 2

。 (2)当 0 ? a ?
1 2 ax ,定义域为(0, a 2

时,F(x)的定义域为 { x | a ? x ? 1 ? a } ;
1 2

故所求函数的解析式为 y ? ? x 2 ?

) 。 (3)当 a ? 六、隐含型

1 2

或a ? ?

时,上述两区间的交集为空集,此时 F(x)不能构成函数。

例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底 边长为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并求定义域。 解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面 积,如图。
? L ? AB ? C D L ? 2 x ? ? x ? ? 因为 CD=AB=2x, 所以 CD ? ? x , 所以 AD ? , 2 2

有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问 题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。 例 10 求函数 y ? l o g ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间。 2 解:由 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 。即函数 y 的定义域为(-1,3) 。 函数 y ? log 2 ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 是由函数 y ? log 2 t , t ? ? x 2 ? 2 x ? 3 复合而成的。

故 y ? 2x ?
? ?(2 ? ? 2

L ? 2 x ? ?x 2
2

?

?x 2

2

) x ? Lx
t ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ( x ? 1) ? 4 ,对称轴 x=1,由二次函数的单调性,可知 t 在区间 ( ?? , 上是 1]
2 2

根据实际问题的意义知

? 增函数;在区间 [1, ? ) 上是减函数,而 y ? log 2 t 在其定义域上单调增;

( ? 1,) ? ( ?? , ? ( ? 1,, 1,) ? [1, ? ) ? [1, ,所以函数 y ? log 2 ( ? x ? 2 x ? 3) 在区间 ( ? 1, 3 1] 1] ( ? 3 ? 3) 1]
2

? f ? x? ? x ? x ?1
2

上是增函数,在区间 [1,) 上是减函数。 3

例谈求函数 f ? x ? 解析式的方法
求函数 f

四、解方程组法 此方法是将函数中解析式的变量(或关系式)进行适当的变量代换,得一个新的等式,然后与原 式联立,解方程组,即可求出所求的函数。 例 4 已知 2 f ? x ? ? f ?

? x ? 的解析式是函数一章的重要内容之一,本文举例,进行分类剖析,供解题时参考。

?1? ? ? x 求 f ?x? 。 ?x?

一、 定义法(或配凑法) 此方法是把所给函数的解析式,通过配方,凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式,然 后以 x 代替“自变量”即得所求函数的解析式。

1? 1 ? 例 1 已知 f ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ,求 f ? x ? 的解析式。 x? x ?
解 把解析式按“自变量”1 ?

? ?2 f 1 ? 解 在原式中将 x 换成 ,再与原式联立,得 ? x ?2 f ? ?
f ? x? ? 2x ?1
2

? x? ?

?1? f ? ??x ?x?

1 ?1? ? ? ? f ?x? ? x ?x?

消去 f ?

?1? ? ,得 ?x?

1 x

变形得 f ? 1 ?

? ?

1? ? 1? 1? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ,在上式中以 x 代替 x? ? x? x? ?

2

3x
1 x ?1

再如:函数 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数且 f(x)+g(x)=

,求 f(x)与 g(x)的解

1? ? 2 ? 1 ? ? ,得 f ? x ? ? x ? 2 x ? x ? 1? x? ?
二、换元法 此方法是将函数的“自变量”或某个关系式代之;以一个新的变量(中间变量) ,然后找出函数 中间变量的关系,从而求出函数的解析式。 例 2 (1)已知 f 解 令

析式。 五、赋值法 此方法是在函数定义域内,赋予变量一些特殊值,利用所给函数关系式进行化简,从而使问题获 得解决。 例5 设 f

?
?

x ? 1 ? x ,求 f ? x ? 。
2

?

? x ? 是 R 上的函数,且满足 f ? 0 ? ? 1 ,并且对任意实数 x,y 有

x ? 1 =t,则 x ? ? t ? 1 ?

? t ? 1? ? f ? t ? ? ? t ? 1? ? t ? 1? 即 f ? x ? ? ? x ? 1? ? x ? 1?
2 2

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? y ? 2 x ? y ? 1? ,求 f ? x ? 的表达式。
解 ? 对任意 x , y ,有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? y ? 2 x ? y ? 1? ,? 令 x=y,得

(2)已知 f e ? 1 ? x ,求 f
x

?

?x? 。

解 令 e ? 1 =t, x ? ln ? t ? 1 ? ? t ? 1 ? ? f ? t ? ? ln ? t ? 1 ? ? t ? 1 ? 即 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? 则
x

f ? 0 ? ? f ? x ? ? x ? 2 x ? x ? 1? 又 f ? 0 ? ? 1 ,? f ? x ? ? x ? x ? 1 。
2

六、利用奇偶性: 例 6.己知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2+4x-1,求函数 f(x)的解析式。 解:因 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=-f(0),即 f(0)=0, 当 x>0 时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+4(-x)-1]=-x2+4x+1

三、待定系数法 此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形,首先确定多项式的次数,写出它的一般 表达式,然后由已知条件,根据多项式相等的条件确定待定系数。 例 3 已知二次函数 f
2

? x ? 满足条件 f ? 0 ? ? 1 及 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ,求 f ? x ? 。

解 设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 由 f ? 0 ? ? 1 ,知 c=1,
2 2 f ? x ? 1 ? ? f ? x ? ? ? a ? x ? 1 ? ? b ? x ? 1 ? ? c ? ? ? ax ? bx ? c ? ? 2 ax ? a ? b 。由 ? ?

所以 注:若奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=0。

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2 x ,得 2 ax ? a ? b ? 2 x ,? 2 a ? 2, a ? b ? 0,? a ? 1, b ? ? 1



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