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高中数学第1部分第一章1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件新人教A版必修

高中数学第1部分第一章1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件新人教A版必修


理解教材新知

第 一 章

1.3

考点一

1.3.1

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

北京奥运会结束后,国家对体育场馆都进行了改造, 从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育 场馆,国家游泳中心也完成了上述变身,新增了内部开 放面积,并建成了大型的水上乐园.经营方出于多种考

虑,近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告,但
出于长远考虑,决定为水立方外墙订制特殊显示屏,届 时“水立方”将重新焕发活力,大放异彩.

问题1:能否计算出水立方外墙所用显示屏的面积? 提示:可以,即计算水立方的外表面面积(除去底面). 问题2:能否计算水立方内部的空间大小? 提示:可以,即计算其容积.

几种几何体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体的表面积就是 多面体

各个面 的面积的和,
也就是 展开图 的面积

图形
圆 旋 柱 转

表面积公式
2 π r 底面积:S底=

侧面积:S侧= 2πrl
2 2π rl + 2π r 表面积:S= 2 π r 底面积:S =

体 圆




侧面积:S侧= πrl
2 π rl + π r 表面积:S=

图形

表面积公式 上底面面积:S上底= πr′2 下底面面积:S下底= πr2 侧面积:S = πl(r+r′)
侧 2+r2+r′l+rl) π( r ′ 表面积:S=


转 体

圆 台

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

其中S′、S分别为上、下底面面积,h为高.

[例1]

(2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图所

示,该四棱锥的表面积是

(

)

A.32 C.48 [思路点拨]

B.16+16 2 D.16+32 2 由三视图可知, 该几何体底面是边长为 4

的正方形,正视图与侧视图为相同的等腰三角形.可知几 何体为正四棱锥(底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方 形中心),故其四个侧面为全等的等腰三角形,其表面积为 S 侧+S 底两部分.

[精解详析]由三视图知原几何体是一个 底面边长为 4,高是 2 的正四棱锥.如图: ∵AO=2,OB=2, ∴AB=2 2. 1 又∵S 侧=4×2×4×2 2=16 2, S 底=4×4=16, ∴S 表=S 侧+S 底=16+16 2.

[答案] B

[一点通]

求几何体的表面积问题,通常将所

给几何体分成基本的柱、锥、台,再通过这些基本 柱、锥、台的表面积进行求和或作差,从而获得几 何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开求 其展开图的面积进而得表面积.

1.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其表面积
等于 A.20π C.24π B.15π D.30π ( )

解析:圆锥的侧面展开图为扇形,S侧=πrl=

π×3×5=15π,S底=π×32=9π.
∴S表=S侧+S底=24π. 答案:C

2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表 面积为 ( )

A.72
C.60

B.66
D.30

解析:由三视图知,该几何体为三棱柱,底面为边长为 3,4,5 的直角三角形,三个侧面均为矩形,长都为 5,故 S


=5(3+4+5)=60,

1 S 底=2×2×3×4=12,故 S 表=S 侧+S 底=72.

答案:A

[例2]

已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为

20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧 面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. [思路点拨] 欲求棱台的高和体积,根据题目中给出

的侧面面积和上、下底面面积的关系,可列等式求得侧面

斜高,进而求出棱台的高和体积.

[精解详析]如图所示,在三棱
台ABCA′B′C′中,O′,O分别为上、 下底面的中心,D,D′分别是BC, B′C′的中心,则DD′是等腰梯形 BCC′B′的高,

1 所以,S 侧=3×2×(20+30)×DD′ =75DD′. 又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为 3 S 上+S 下= 4 ×(202+302)=325 3(cm2). 由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 13 所以,DD′= 3 3(cm),

3 10 3 又∵O′D′= ×20= (cm), 6 3 3 OD= ×30=5 3(cm), 6 ∴棱台的高h=O′O= D′D2-?OD-O′D′?2 = 13 3 2 10 3 2 ? ? -?5 3- ? 3 3

=4 3(cm),

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 h V= 3(S 上+S 下+ S上S下) 4 3 3 = 3 ×(325 3+ 4 ×20×30) =1 900(cm3).

[一点通]

求几何体的体积时,要注意利用好

几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时),准确求出 几何体的高和底面积;同时,对不规则的几何体可 利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、

台体的体积计算问题.

3.如图是圆锥的三视图,则该圆锥的体积是________.

解析:由几何体的三视图知该几何体为圆锥,高为 3, 1 1 底面半径为 1,则 V 圆锥=3S 底 h=3π·3=π.

答案:π

4.若某空间几何体的三视图如图 所示,则该几何体的体积是 ( 1 A.3 C. 1 2 B.3 D. 2 )

解析:由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角 形的直三棱柱, 三棱柱的底面直角三角形的直角边长分 别为 1 和 2, 三棱柱的高为 2, 故该几何体的体积为 V 1 =(2× 2×1)× 2=1.

答案:C

[例3]

(12分)如图,梯形ABCD中,

AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC =2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内 过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求 旋转体的表面积和体积.

[思路点拨]
剩余的部分.

旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥后

[精解详析]

如图,在梯形 ABCD 中,∠ABC=90° ,

AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° , BC-AD ∴CD= cos 60°=2a,AB=CDsin 60° = 3a. ∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a. 1 ∴DO=2DD′=a.? (2 分)

由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为 圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.? (4 分)

由上述计算知,圆柱母线长 3a,底面半径 2a,圆锥的 母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a=4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a· 2a=2πa2, 圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2,

圆锥的底面积 S4=πa2,? ∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2.?

(6 分)

(8 分)

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去 一个圆锥的体积. V 柱=Sh=π· (2a)2· 3a=4 3πa3. 1 1 3 V 锥=3S′h=3· π· a2· 3a= 3 πa3. 3 3 11 3 3 ∴V=V 柱-V 锥=4 3πa - 3 πa = 3 πa .? (12 分)
3

[一点通]

求组合体的表面积与体积的关键,是

弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式.

5.(2011· 日照模拟)如图是某几何体的三视图,其

中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半
径为1的半圆,则该几何体的体积是________.

解析:该几何体为圆锥沿轴截面分开后的部分, 底面圆半径为 1,易求圆锥的高为 3,故几何体 11 3π 体积 V=2· 3·π 3= 6 .
3π 答案: 6

6.若某几何体的三视图(单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是

(
352 A. 3 cm3 224 C. 3 cm3 320 B. 3 cm3 160 D. 3 cm3

)

解析: 该空间几何体的上部是底面边长为 4 cm, 高为 2 cm 的正四棱柱,其体积为 4×4×2=32(cm3);下部是上,下 底面边长分别为 4 cm,8 cm,高为 2 cm 的正四棱台,其体 1 224 积为3×(16+4×8+64)×2= 3 (cm3). 故所求几何体的体 224 320 积为 32+ 3 = 3 (cm3).

答案:B

1.棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中, S小锥底 S小锥表 S小锥侧 有如下比例性质: = = =对应线段(如 S大锥底 S大锥表 S大锥侧 高、斜高、底面边长)的平方之比.

2.求组合体的表面积或体积的问题,首先应弄

清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应
该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后 再相加或相减.求体积时也要先弄清组成,求出各 简单几何体的体积,然后再相加或相减.



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