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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第6节 直接证明和间接证明

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第6节 直接证明和间接证明


第六节 明

直接证明和间接证

[主干知识梳理]

一、直接证明
内容 综合法 分析法

利用已知条件和某些数 从要 证明的结论 出发,逐步 学定义、公理、定理等,寻求使它成立的 充分条件,直到 定义 经过一系列的推理论证,最后,把要证明的结论归结为判 最后推导出所要证明的 定一个明显成立的条件(已知条 结论 成立 件、定理、定义、公理等)为止.

二、间接证明
反证法:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结 论不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾,因此说明 假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫 反证法.

[基础自测自评]

1.(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少
有一个不大于60°”时,应假设 ( A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60° )

C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60° B [假设为“三个内角都大于60°”.]

2.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b大小关系为 ( )

A.a>b
C.a=b

B.a<b
D.a≤b

A [a=lg 2+lg 5=lg 10=1,b=ex<1,则a>b.]

3.命题“对于任意角 θ,cos4θ -sin4θ =cos 2θ ”的证明: “cos4 θ -sin4θ =(cos2θ -sin2θ )(cos2θ +sin2θ )=cos2θ -sin2θ =cos 2θ ”过程应用了 ( A.分析法 C.综合法、分析法综合使用 B.综合法 D.间接证明法 )

B [因为证明过程是“从左往右” ,即由条件?结论.]

4.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内 容是________. 解析 “如果 a>b,那么 a> b”若用反证法证明,其假设为 3 a≤ 3 3 b. a≤ 3 b 3 3

3

3

答案

5. 如果 a a+b b>a b+b a, 则 a、 b 应满足的条件是________.

解析 ∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2( a+ b)>0?a

≥0,b≥0 且 a≠b. 答案 a≥0,b≥0 且 a≠b

[关键要点点拨] 1.证明方法的合理选择

(1)当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易,
一般用综合法. (2)当题目条件较少 ,可逆向思考时,执果索因,使用分 析法解决.但在证明过程中,注意文字语言的准确表 述.

2.使用反证法的注意点 (1)用反证法证明问题的第一步是“反设”,这一步一定

要准确,否则后面的部分毫无意义;
(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾.

综合法

[典题导入] (2014· 福建省质检)如图 1,椭圆 x2 y2 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 别为 F1、F2,左、右顶点分别为 A1、A2,
? 3? ? T?1,2? ?为椭圆上一点,且 ? ?

TF2 垂直于 x 轴.

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)给出命题:“已知P是椭圆E上异于A1、A2的一点,直线 A1P、A2P分别交直线l:x=t(t为常数)于不同的两点M、N,

点Q在直线l上.若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P,
则Q为线段MN的中点”,写出此命题的逆命题,判断你所写 出的命题的真假,并加以证明; (3)试研究(2)的结论,根据你的研究 心得,在图2中作出与该双曲线有且

只有一个公共点S的直线m,并写出作图步骤.
注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

[听课记录] 以 c=1.

(1)因为

? 3? ? T?1,2? ?为椭圆上一点,TF2 垂直于 ? ?

x 轴,所

连接 TF1,在 Rt△ TF1F2 中, 3 5 因为|TF2|= ,|F1F2|=2,所以|TF1|= . 2 2 又|TF1|+|TF2|=2a=4,所以 a=2,
2 2 x y 从而 b= a2-c2= 3,所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3

(2)逆命题:“已知 P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 A1P、 A2P 分别交直线 l:x=t(t 为常数)于不同的两点 M、N,点 Q 在直 线 l 上.若 Q 为线段 MN 的中点,则直线 PQ 与椭圆 E 有且只有 一个公共点 P”,其为真命题. 证明如下:
2 2 x0 y0 设 P(x0,y0)(x0≠±2),则 + =1, 4 3

y0 y0 又 lA1p∶y= (x+2),lA2p∶y= (x-2), x0+2 x0-2 所以
? ? y0(t+2)? y0(t-2)? ? ? ? ? t , M?t, , N ? ? ?. x + 2 x - 2 0 0 ? ? ? ?

设 MN 的中点为 Q(x1,y1), y0(t-2) y0(t+2) + x0-2 x0+2 y0(x0t-4) 则 x1=t,y1= = , 2 2 x0-4
2 - 4 y y0(x0t-4) -3(x0t-4) 0 2 又 x0-4= ,所以 y1= = , 2 3 4y0 x0 -4

即点

? -3(x0t-4)? ? ? Q?t, ?. 4 y ? 0 ?

因为 x0≠t,

-3(x0t-4) -y0 -3(x t-4)-4y2 4y0 0 0 所以 kPQ= = t-x0 4y0(t-x0) 3x2 -3x0 0-3x0t = = , 4y0(t-x0) 4y0 -3x0 3x0 3 则 lPQ∶y= (x-x0)+y0,即 y=- x+ . 4y0 4y0 y0
2 2 ?x y ? 4 + 3 =1 由? ?y=-3x0x+ 3 4y0 y0 ?

3 2 3x0 3 消去 y 并化简得: 2x - 2x+ 2-1=0, 4 y0 2y0 y0
2 2 ? 3x0? ?3 ? 9x0 + 12 y 3 0-36 ? ?2 ? ? Δ=?-2y2? -4× 2× 2-1?= ? y 4y0 ? 0 ? 4y4 ? 0? 0

所以

=0, 所以直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P.

(3)如图,①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴; ②作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点;③作线段IJ的中

点V,连接SV,则直线SV即为所求的直线m.

[规律方法] 综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推

导出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺
推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方 法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的 正确性.

[跟踪训练] 1.(2013· 陕西高考)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和. (1)若{an}是等差数列,推导 Sn 的计算公式; 1-qn (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn= .判断{an} 1-q 是否为等比数列,并证明你的结论.

解析:(1)解法一:设{an}的公差为 d, 则 Sn=a1+a2+?+an=a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d], n(a1+an) ∴2Sn=n(a1+an),∴Sn= . 2

解法二:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+?+an=a1+(a1+d)+?+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+an-1+?+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+?+a1, ∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+?+[2a1+(n-1)d]= 2na1+n(n-1)d, n(n-1) ∴Sn=na1+ d. 2

(2){an}是等比数列.证明如下: 1-qn ∵Sn= , 1-q 1-qn+1 1-qn qn(1-q) ∴an+1=Sn+1-Sn= - = =qn. 1-q 1-q 1-q an+1 qn ∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有 = =q, an qn-1 因此,{an}是首项为 1 且公比为 q 的等比数列.

分析法

[典题导入] △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边 分别为 a,b,c. 1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c

1 1 3 [听课记录] 要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c c a 即证 + =3 也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60° , 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° ,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立.于是原等式成立.

[规律方法]

分析法的特点与思路
分析法的特点是“执果索因”,即从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论 等).通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,在表达中 要注意叙述形式的规范.

[跟踪训练] 2.已知
2 2 ?a+mb? a + mb ?2 m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ? ≤ 1+m . ? ?

证明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证.

反证法

[典题导入] x2 2 (2013· 北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 4 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的 长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可 能为菱形.

[听课记录] 所以可设

(1)因为四边形为菱形, 所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

? 1? ? A?t,2? ?, ? ?

t2 1 代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3. 4 4 所以|AC|=2 3.

(2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0.
2 2 ? ?x +4y =4, 由? 消去 ? ?y=kx+m

y 并整理得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2), x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m 则 =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2

所以 AC 的中点为

? 4km m ? ? ? M?- 2, 2?. 1+4k ? ? 1+4k

因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0, 1 所以直线 OB 的斜率为- . 4k 因为
? 1? ? ? - k· ? 4k?≠-1,所以 ? ?

AC 与 OB 不垂直.

所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

[规律方法]
反证法证明问题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定 命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,

导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的
事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设” 的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题 成立.(命题成立)

[跟踪训练]

3.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,
b,c,d中至少有一个为负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数,则由a+b=c+d=1, 得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 即ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾,

故假设不成立.即a,b,c,d中至少有一个为负数.

【创新探究】 放缩有“度” ,巧证不等式 x2 x 3 (2013· 安徽高考)设函数 fn(x)=-1+x+ 2+ 2+? 2 3 xn + 2(x∈R,n∈N*). n 证明:(1)对每个 n∈N ,存在唯一的 满足 fn(xn)=0; (2)对任意 p∈N*,由(1)中 xn 构成的数列{xn}满足 0<xn-xn+p 1 < . n
*

?2 ? ? xn∈?3,1? ?, ? ?

【思路导析】 (1)利用导数结合函数的单调性证明. (2)利用函数的单调性进行转化,注意不等式的放缩. 【证明】 (1)对每个 n∈N*,
n-1 x x 当 x>0 时,f′n(x)=1+ +?+ >0, 2 n

故 fn(x)在(0,+∞)内单调递增. 由于 f1(1)=0,

1 1 1 当 n≥2 时,fn(1)= 2+ 2+?+ 2>0,故 fn(1)≥0. 2 3 n
?2? 2 ? ? fn?3?=-1+ + 3 k=2 ? ?



?

?2?k ? ? n ?3? ? ?

? 1 1n ? ?2?k 2 ≤- + ? ? ? k 3 4k=2 ?3?

1 1 =- + · 3 4

?2?2? ?2?n-1? ? ? ? ? ? ? 1 - ?3? ? ?3? ? ? ? ? ? ? ?

2 1- 3

? 1 ? ?2?n-1 =- ·?3? <0, 3 ? ?

所以存在唯一的

?2 ? ? xn∈?3,1? ?,满足 fn(xn)=0. ? ?

xn+1 (2)当 x>0 时,fn+1(x)=fn(x)+ 2>fn(x), (n+1) 故 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x)在(0,+∞)内单调递增,知 xn+1<xn. 故{xn}为单调递减数列, 从而对任意 n,p∈N*,xn+p<xn. 对任意 p∈N*,由于
2 n xn xn fn(xn)=-1+xn+ 2+?+ 2=0,① 2 n

n n+1 x2 + p x + p x n n n+p fn+p(xn+p)=-1+xn+p+ 2 +?+ 2 + 2+?+ 2 n (n+1)
+p xn n+p =0,② (n+p)2

①式减去②式并移项,利用 0<xn+p<xn≤1,得
k n +p x k n+p xk xk - x + + n p n n p n +p xn-xn+p= ? + ? 2 ≤ ? 2 2 k k k k=2 k=n+1 k=n+1 n n+p 1 1 1 1 1 ≤ ? 2< ? = - < . k n n k ( k - 1 ) n + p k=n+1 k=n+1 n +p

1 因此,对任意 p∈N ,都有 0<xn-xn+p< . n
*

【高手支招】

所谓放缩法就是利用不等式的传递性,根据

证题目标进行合情合理的放大或缩小,在使用放缩法证题时

要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可
以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重 要步骤.

[体验高考] x(1+λx) 已知函数 f(x)=ln(1+x)- . 1+x (1)若 x≥0 时 f(x)≤0,求 λ 的最小值; 1 1 1 (2)设数列{an}的通项 an=1+ + +?+ , 2 3 n 1 证明:a2n-an+ >ln 2. 4n

解析 (1)由已知 f(0)=0, (1-2λ)x-λx2 f′(x)= ,f′(0)=0. (1+x)2 1 若 λ< ,则当 0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0, 2 1 所以 f(x)>0.若 λ≥ ,则当 x>0 时,f′(x)<0, 2 1 所以当 x>0 时,f(x)<0.综上,λ 的最小值是 . 2

1 (2)证明:令 λ= ,由(1)知,当 x>0 时,f(x)<0, 2 x(2+x) 即 >ln(1+x). 2+2x 2k+1 k+1 1 取 x= ,则 >ln . k k 2k(k+1)
2n-1 2k+1 k+1 1 2n-1 1 1 - 2 n 1 于是 a2n-an+ = ?[ + ]= ? > ln 4n k=n 2k 2(k+1) 2k(k+1) k=n k k=n
?

=ln 2n-ln n=ln 2. 1 所以 a2n-an+ >ln 2. 4n

课时作业



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