9299.net
大学生考试网 让学习变简单
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学案

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学案


2.3.2

空间两点间的距离

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.(重点) 2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 空间两点间的距离公式 阅读教材 P120~P121,完成下列问题. 1 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 为 P1P2 = ?x2-x1? +?y2-y1? .特别地,点 A(x,y)到原点距离为 OA= x +y . 2 . 空 间 两 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 的 距 离 公 式 是 P1P2 = ?x2-x1? +?y2-y1? +?z2-z1? .特别地,点 A(x,y,z)到原点的距离公式为 OA=
2 2 2 2 2 2 2

x2+y2+z2.

1.点 P(-2,-1,1)到原点的距离为________. 【解析】 PO= ?-2? +?-1? +1 = 6. 【答案】 6
2 2 2

2.点 A(1,0,2),B(-3,4,0),则|AB|=________. 【解析】 |AB|= ?1+3? +?0-4? +?2-0? = 36=6. 【答案】 6 3.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30,则该 点的坐标为__________. 【解析】 设点 P 的坐标是(x,0,0), 由题意得, P0P= 30, 即 ?x-4? +1 +2 = 30, ∴(x-4) =25,解得 x=9 或 x=-1. ∴点 P 的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 【答案】 (9,0,0)或(-1,0,0) 教材整理 2 空间两点的中点坐标公式
2 2 2 2 2 2 2

1

阅读教材 P122,完成下列问题. 连 结 空 间 两 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 的 线 段 P1P2 的 中 点 M 的 坐 标 为

?x1+x2,y1+y2,z1+z2?. ? 2 2 2 ? ? ?

1.若 O 为原点,P 点坐标为(2,-4,-6),Q 为 OP 中点,那么 Q 点的坐标为________. 2+0 -4+0 -6+0 【解析】 设 Q(x,y,z),则 x= =1,y= =-2,z= =-3, 2 2 2 ∴Q(1,-2,-3). 【答案】 (1,-2,-3) 2.如图 2-3-10,在长方体 OABC-O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2,M 是 OB1 与 BO1 的交点,则 M 点的坐标是________.

图 2-3-10 【解析】 ∵OA=2,AB=3,AA1=2, ∴O(0,0,0),B1(2,3,2). 又∵M 为 OB1 的中点,

? 3 ? ∴M?1, ,1?. ? 2 ? ? 3 ? 【答案】 ?1, ,1? ? 2 ?

[小组合作型]

空间中两点间距离的计算 如图 2-3-11, 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a, M 为 BD′的中点, 点 N 在 A′C′上,且 A′N=3NC′,试求 MN 的长.

2

图 2-3-11 【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系,把 M,N 两点的坐标表示出来,再 利用公式求长度. 【自主解答】 以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为正方体的棱长为 a,所以 B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0,a). 由于 M 为 BD′的中点,取 A′C′的中点 O′,

? ? ? ? 所以 M? , , ?,O′? , ,a?. ?2 2 2? ?2 2 ?
a a a a a
因为 A′N = 3NC′,所以 N 为 A′C′的四等分点,从而 N 为 O′C′的中点,故

?a 3a ? N? , ,a?,根据空间两点距离公式,可得 ?4
4

?

MN=

?a-a?2+?a-3a?2+?a-a?2= 6a. ?2 4? ?2 4 ? ?2 ? 4 ? ? ? ? ? ?

利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤: (1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标; (2)代入空间两点间的距离公式求值.

[再练一题] 1.已知△ABC 的三个顶点 A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长; (2)求 AC 边上中线的长度. 【解】 (1)由空间两点间距离公式得

AB= ?1-2?2+?5-3?2+?2-4?2=3, BC= ?2-3?2+?3-1?2+?4-5?2= 6,

3

AC= ?1-3?2+?5-1?2+?2-5?2= 29,
∴△ABC 中最短边是 BC,其长度为 6. 7? ? (2)由中点坐标公式得,AC 的中点坐标为?2,3, ?. 2? ? ∴AC 边上中线的长度为

? 7?2 1 2 2 ?2-2? +?3-3? +?4- ? = . ? 2? 2
[探究共研型]

空间两点间距离公式的应用 探究 1 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是什么? 【提示】 设 M(0,a,0),由已知得 MA=MB,即 1 +a +2 = 1 +?-3-a? +1 , 解得 a=-1,故 M(0,-1,0).
2 2 2 2 2 2

探究 2 方程(x-1) +(y-2) +(z-3) =25 的几何意义是什么? 【提示】 依题意 ?x-1? +?y-2? +?z-3? =5,点(x,y,z)是空间中到点 (1,2,3)距离等于 5 的点,即以点(1,2,3)为球心,以 5 为半径的球面. 已知 A(x,5-x,2x-1), B(1, x+2,2-x), 求 AB 取最小值时 A, B 两点的坐标, 并求此时的 AB 的长度. 【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立 AB 关于 x 的函数,由函数的 性质求 x,再确定坐标. 【 自 主 解 答 】
2 2 2 2

2

2

2

由 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 得
2 2

AB =

?1-x? +[?x+2?-?5-x?] +[?2-x?-?2x-1?]



14x -32x+19 =

2

? 8?2 5 14?x- ? + , ? 7? 7
8 当 x= 时 ,AB 有最小值 7 5 35 = , 7 7

?8 27 9? ? 22 6? 此时 A? , , ?,B?1, , ?. 7 7? ?7 7 7? ?

解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征, 应用空间两点间的距离公式建立已知与未 知的关系,再结合已知条件确定点的坐标.
4

[再练一题] 2.如图 2-3-12 所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD,ABEF 互相 垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2).

图 2-3-12 (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小. 【解】 以 B 为坐标原点,BA,BE,BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系,如图所示.

∵正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,且 CM=BN=a(0<a< 2), ∴易得点 M,N 的坐标分别为

M?

2 ? ? 2 2 ? 2 ? a,0,1- a?,N? a, a,0?. 2 ? ?2 2 ?2 ?

∴当 a=

2 2 时,MN 的长最小,且最小值为 . 2 2

1.点 M(4,-3,5)到原点的距离 d1=________,到 z 轴的距离 d2=________.
5

【解析】 d1= 4 +?-3? +5 = 50=5 2

2

2

2

d2= ?4-0?2+?-3-0?2+?5-5?2=5.
【答案】 5 2 5

2.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为________. 【解析】 ∵B(4,-2,-2),C(0,5,1), 1? ? 3 ∴BC 的中点为?2, ,- ?, 2? ? 2 ∴BC 边上的中线长为

【答案】

30 2

3.已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且 AB=2 6,则实数 x 的值是________. 【解析】 由题意得 ?x-2? +?1-3? +?2-4? =2 6,解得 x=-2 或 x=6. 【答案】 -2 或 6 4.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中心 M 的坐标 为(0,1,2),则该正方体的棱长等于__________. 【解析】 ∵AM= ?3-0? +?-1-1? +?2-2? = 13, ∴正方体的体对角线长为 2 13. ∵3a =52(a 为正方体的棱长), 2 39 ∴a= . 3 【答案】 2 39 3
2 2 2 2 2 2 2

5.已知 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,求证:三角形

ABC 为直角三角形.
【证明】 由空间两点间的距离公式得

AB= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2= 89, BC= ?6-4?2+?-1-2?2+?4-3?2= 14, AC= ?6-1?2+?-1+2?2+?4-11?2= 75,∵AB2=BC2+AC2,
∴△ABC 为直角三角形,∠C 为直角.

6



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com