9299.net
大学生考试网 让学习变简单
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中文科数学平面、解三角形

高中文科数学平面、解三角形


第四讲、平面向量、解三角形
九、平面向量 (一)平面向量的实际背景及基本概念 1.了解向量的实际背景。 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。 3.理解向量的几何表示。 (二)向量的线性运算 1.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 2.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义。 3.了解向量的线性运算的性质及其几何意义。 (三)平面向量的基本定理及坐标表示 1.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题。 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (四)平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 4.能运用数量积表示两个向量的夹角。 (五)向量的应用 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 2.会用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题。 十、 三角恒等变换 (一)和与差的三角函数公式 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式,了解它们的内在联系。 (二)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换。 十一、 解三角形 (一)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 (二)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

平面向量的基本运算 1 向量的概念:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? ?
?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

点的大写字母表示,如:几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)

??? ?

?

王新敞
奎屯

新疆

向量的

大小即向量的模(长度) ,记作| AB |或| a |

??? ?

?

王新敞
奎屯

新疆

(向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小)

②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 由于 0 的方向
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否 有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ?
王新敞
奎屯 新疆

(数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共 线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是 不一样的. )

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 3 向量的运算
王新敞
奎屯 新疆

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质 ? 类型 向量 的加 法 1 平行四边形法则
王新敞
奎屯 新疆

几何方法

坐标方法
? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

运算性质
? ? ? ? a ?b ? b ?a

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

2 三角形法则
王新敞
奎屯 新疆

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC
? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

向量 的减 法

三角形法则

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )
??? ? ??? ? AB ? ? BA ??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB

向量 的乘 法

? a 是一个向量,
满足: ? >0 时, ? a 与

?

?a ? (?x, ?y)
?

? (?a ) ? (?? )a

?

?

? ? a 同向; ? <0 时, ? a

? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a

与 a 异向; ? =0 时,

?

? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

?

?

? ? ?a = 0
向量 的数 量积

王新敞
奎屯

新疆

? ? a ? b 是一个数

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b )

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? ? ? a ? b =0 , a ? 0 且
? ? b ? 0 时,
? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?

? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

平面向量的数量积 1 两个向量的数量积:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · =︱ a ︱· b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数 ︱ b 量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射 |a|
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/


新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

b 3 数量积的几何意义: a · 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ?

?

?

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ?

?

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5 乘法公式成立:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? ? ? ?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2

?

?

?2

2

?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b

2

6 平面向量数量积的运算律:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ?

? ?
? ?

? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?? ?

?

?

?

(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

? ?

? ?

不能得到 b ? c ?

?

?

(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

? ?

? ?

? ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

7 向 量 的 夹 角 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB= ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

??? ?

?

??? ?

?

( 0 ? ? ? 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角
0 0

?

?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ? ? a x1 x 2 ? y1 y 2 cos ? = cos ? a , b ?? ? ? b = ? 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

?

?

?

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

?

0

?

?

?

?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

10 两个非零向量垂直的充要条件:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
王新敞
奎屯 新疆

线段的定比分点与平移 1 线段的定比分点定义:设 P1,P2 是直线 L 上的两点,点 P 是 L 上不同于 P1,P2 的任意一点,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

则存在一个实数 ? ,使 PP ? ? PP , ? 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 当点 P 在线段 1 2 1 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

??? ?

????

???? ?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

???? ? ???? ???? ? ? PP2 上时, ? ? 0 ;当点 P 在线段 PP2 或 PP2 的延长线上时, ? <0 1 1 1
2 定比分点的向量表达式:点 P 分有向线段 PP 所成的比是 ? , 1 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

???? ?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

则 OP ?

??? ?

1 ???? ? ???? OP ? OP2 (O 为平面内任意点) 1 1? ? 1? ?

x1 ? ?x 2 1 ? ? ,其中 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y) y1 ? ?y 2 1? ? x1 ? x2 ? ???? ? ?x ? 2 4 中点坐标公式: 当 ? =1 时,分点 P 为线段 PP 的中点,即有 ? 1 2 y ? y2 ?y ? 1 2 ? x A ? x B ? xC ? ?x ? 3 5 ?ABC 的重心坐标公式: ? y A ? y B ? yC ?y ? 3 ? ? ?x ? 3 定比分点的坐标形式: ? ?y ? ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

6 图形平移的定义:设 F 是坐标平面内的一个图形, 将图上的所有点按照同一方向移动同样长
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

度,得到图形 F’,我们把这一过程叫做图形的平移

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

7 平移公式: 设点 P( x, y) 按向量 a ? (h, k ) 平移后得到点 P?( x?, y ?) ,则 OP? = OP + a 或
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

?

????

??? ? ?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? x? ? x ? h, ? , 曲 线 y ? f (x) 按 向 量 a ? (h, k ) 平 移 后 所 得 的 曲 线 的 函 数 解 析 式 为 : ? ? y ? ? y ? k.
y ? k ? f ( x ? h)
解三角形及应用举例 1 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) sin A sin B sin C
利用正弦定理解决以下两类问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已

知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

2 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

积的两倍

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

第一形式, b = a ? c ? 2ac cos B ,第二形式,cosB=
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 2ac

利用余弦定理解决以下两类问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两个角
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 三角形的面积:△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

周长用 p 表示则

1 1 abc a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ;③ S ? 2R 2 sin A sin B sin C ;④ S ? ; 2 2 4R a?b?c ⑤ S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;⑥ S ? pr (其中 p ? ) 2
①S ? 4 三角形内切圆的半径: r ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a ? b ? c斜 2S ? ,特别地, r直 ? a?b?c 2

5 三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cos C ? c ? cos A ,?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

6 两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

7 三内角与三角函数值的关系:在△ABC 中
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

sin(A+B)=sinC cos(A+B) ? -cosC tan(A+B) ? -tanC

sin

A? B C ? cos 2 2

A? B C cos ?sin 2 2

A? B C tan ? cot 2 2

tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解”
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

平面向量练习题
一、选择题 1.若向量 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1, 2), 则 c ? ( A. ?

?

?

?

?



1 3 1 3 3 1 3 1 a? b B. a ? b C. a ? b D. ? a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 2.设 a, b, c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,有以下结论
① (a ? b) ? c ? (c ? a) ? b ? 0 ; ③ (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b 不与 c 垂直 ; 其中正确的是( A.① ② ) B.② ③ C.③ ④ D.② ④ ) ② | a | ? | b | ? | a ?b |; ④ (3a ? 2b) (3a ? 2b) ? 9 | a |2 ?4 | b |2

?

?

? ?

? ? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

3.若 a 、 b 、 c 为任意向量, m? R ,则下列等式不一定成立的是( A. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) C. m (a ? b) ? ma ? mb
2

B. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c D. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) )

? ? ?

? ? ? ?

? ?

?

?

4. 设坐标原点为 O, 抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、 两点, OA ? OB ? B 则 ( A.

3 4

B. ?

3 4

C.3

D.-3

5.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足

??? ? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB ,其中 ? 、 ? ? R, 且? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为(
A. 3x ? 2 y ? 11 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 B. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2



D. x ? 2 y ? 5 ? 0

6.若 | a |? 2sin15? , | b |? 4cos15? , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 的值为(
?

?

?

?

?

? ?



(A)

3 2

(B) 3

(C) 2 3

(D) 1
2

7.已知 a ? (3, 4), b ? a, 且 b 的起点为 (1, 2), 终点为 ( x,3x) ,则 b ? (

?

?

?

?

?



11 1 1 11 4 1 4 1 , ) (B) (? , ) (C) (? , ) (D) ( , ) 15 5 5 15 15 5 15 5 ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? (1, 2), b ? ( x,1) ,且 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x ? ( )
(A) (?

1 1 (D) 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9.已知 | a |? 2, | b |? 1, a 与 b 的夹角为 60 ,又, c ? ma ? 3b, d ? 2a ? mb, 且 c ? b ,
(A)1 (B)2 (C) 则实数 m 的值为( ) (A)0 (B)6 或-6 (C)1 或-6 (D)-1 或 6 )

? ? ? ? ? ? 10.若 | a | ? b| ? , a ? b 且 2a ? 3b 与向量 k a ? 4b 也互相垂,则实数 k 的值为( | 1 ,

(A)-6 (B)6 (C)3 (D) (-3) 11.已知两点 M1(4,3)和 M2(2,-1) ,点 M 分有向线段 M1M2 的比为 ? ? ?2 ,则 M 点的坐标为( ) (A) (0 ? ) 二、填空题 1.已知向量 a 和 b 的夹角为 120? , 且 | a |? 2, | b |? 5 ,则 (2a ? b) ? a ? 2.已知向量 OA ? (?1, 2), OB ? (3, m), 若 OA ? AB, 则 m ?

5 3

(B) (6,7)

(C) ( ?2,? )

7 3

(D) (0,?5)

?

?

?

?

.

??? ?

??? ?
?

??? ?

??? ?

. 。

3.已知 | a |? 4, | b |? 1, a 与 b 的夹角为 ? ,且 | a ? 2b |? 4, 则 cos ? 的值为 4.已知 | a |?| b |?| a ? b |? 1, 则 | a ? b |?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?



5. 设 i 、 j 为平面直角坐标系两坐标轴上的单位向量,且有: a ? b ? 2 i ? 8 j ,

? ?

?

?

? ? ? ? a ? b ? ?8 i ?16 j , 则 a ? b ?



6.若非零向量 ? 、 ? 满足 | ? ? ? |?| ? ? ? | ,则 ? 与 ? 所成角为 7.已知 | a |?| b |? 2, a 与 b 的夹角为

??

??



? ? ? ? , 则 a ? b 在 a 上的投影为 。 3 ? ? ? ? ? ? 8.设 | a |? 4, | b |? 3, a 与 b 的夹角为 60? , 则 | a ? b |? ;| a ? b |=

?

?

?

?



9.已知 a ? 6 i ? j, 是 。

?

? ? ? ? ? b ? ?2 i ? 2 j, 若单位向量 c 与 2a ? 3b 共线,则单位向量 c 的坐标

? ? 10.已知 a, b 都是非零向量,且向量 a ? 3b 与向量 7a ? 5b 垂直,向量 a ? 4b 与向量
? ? ? ? 7a ? 2b 垂直,则 a 与 b 的夹角 ? 的大小为


三、解答题 1.在△ABC 中, BD ? ? DC(? ? 0) ,求证: AD ?

AB ? ? AC . 1? ?

2.设向量 OA ? (3,1),OB ? (?1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行于 OA ,试求

OD ? OA ? OC时, OD 的坐标.

3.已知平面向量 a ? ( 3,?1), b ? ( ,

1 3 ). 若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?k a ? tb, 且x ? y.
(1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

4.已知 A(-1,0) ,B(1,0)两点,C 点在直线 2 x ? 3 ? 0 上,且 AC ? AB, CA ? CB ,

BA? BC 成等差数列,记θ 为 CA与CB 的夹角,求 tanθ .

解三角形练习题 一、选择题
1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于(
0 0



A. 1

B. ? 1

C. 2 3

D. ? 2 3 )

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.

1 tan A

3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, △ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
0



4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为(



A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 3 )
0

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60
0

0

C. 120 或60
0

D. 30 或150
0

0

6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0



B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

二、填空题
0 1.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin Asin B 的最大值是_______________。

2.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 300 , C ? 1350 , 则a ? _________。 4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 5.在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________。

三、解答题
1. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么?

2.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

3.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 。

4.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值。



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com