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光学信息技术原理及应用答案[1]

光学信息技术原理及应用答案[1]


第一章
1.1 已知不变线性系统的输入为

习题解答

g ?x ? ? comb?x ?
系统的传递函数Λ ?

? f ?b

? ' ? 。若 b 取(1) b ? ?.? (2) b ? ?.? ,求系统的输出 g ?x ?。并画出 ?

输出函数及其频谱的图形。

δ 答: (1) g ? x ? ?F ? ? x ? ??? 图形从略,
(2) g ? x ? ?F ?δ ? f x ?? δ ? f x ???? δ ? f x ??????? cos??π x ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

图形从略。

1.2 若限带函数 f ?x, y ? 的傅里叶变换在长度 L 为宽度 W 的矩形之外恒为零, (1)如果 a ?

? ? ,b ? ,试证明 L W

? ? x? ? x? sinc? ? sinc? ? ? f ?x, y ? ? f ?x, y ? ab ?a? ?b?

? f fy ?F ? f ? x,y ???F ? f ? x,y ??rect? x , ? L W ? 证明:

? ??F ? f ? x,y ??rect?af x ,bf y ? ? ? ? x x ? f ? x,y ??F - 1 ?F ? f ? x,y ??rect?af x ,bf y ??? sinc? ? sinc? ?? f ? x,y ? ? ? ? ? ab ?a? ?b?
? ? , b ? ,还能得出以上结论吗? L W

(2)如果 a ?

答:不能。因为这时 F ? f ? x,y ??rect? ?

? fx fy , ? L W

? ??F ? f ? x,y ??rect?af x ,bf y ?。 ? ?

1.3 对一个空间不变线性系统,脉冲响应为

h?x, y ? ? ? sinc??x?? ? y ?
试用频域方法对下面每一个输入 f i ?x, y ? ,求其输出 g i ?x, y ? 。 (必要时,可取合理近似)

1

(1) f? ?x, y ? ? cos ??x

g? ? x,y ??F ?? ?F ?f? ? x,y ??F ?h? x,y ????F ?? ?F ?cos?π x?F ??sin?7x?δ ? y ???
答:

? ? f ?? ?F ?? ?F ?cos?π x?rect? x ???F ?? ?F ?cos?π x???cos?π x ? ? ?? ?
? x ?rect? y ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?

(2) f ? ? x,y ??cos??π x ?rect? 答:

x y ? ? ? ? g ? ? x,y ??F ?? ?F ?f? ? x,y ??F ?h? x,y ????F ?? ?F ?cos??π x ?rect? ?rect? ??F ??sin?7x?δ ? y ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? x y ? ? f ?? ?F ?? ??F ?cos?π x???????sinc?75fx ?sinc??? f y ??rect? x ???cos??π x ?rect? ?rect? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
(3) f ? ? x,y ?????cos??π x ??rect?

? x ? ? ? ?? ?

答:

x ? ? ? ? g ? ? x,y ??F ?? ?F ????cos??π x ??rect? ??F ??sin?7x?δ ? y ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? f ?? ?F ?? ??F ???cos??π x ?????sinc?75fx ?δ ? f y ??rect? x ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? f ?? ?F ?? ?? ?δ ? x ? ? δ ? f x ?? ?? δ ? f x ?? ?????sinc?75fx ?δ ? f y ??rect? x ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? x ? ? f ?? ?F ?? ???sinc?75fx ?δ ? f y ?rect? x ???F ?? ???sinc?75fx ?δ ? f y ???rect? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?

? (4) f ? ? x,y ??comb x???rect?? x?rect?? y ??

答:
? g ? ? x,y ??F ?? ?F ?com b x ? ??rect?? x ?rect?? y ???F ??sin?7x?δ ? y ???

?? ? f y ?? ? ? ? ?f ? ? f ?? ? ?F ?? ?? ?com b f x ?δ ? f y ?? sinc? x ? sinc? ? ?rect? x ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? f ?? ?F ?? ?? ?δ ? f x , f y ???. ??? ? f x ??, f y ???. ??? ? f x ??, f y ???. ??? ? f x ??, f y ?????rect? x ?? δ δ δ ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?F ?0.25δ ? f x , f y ???. ??? ? f x ??, f y ???. ??? ? f x ??, f y ???. ??? ? f x ??, f y ???. ??? ? f x ??, f y ?? δ δ δ δ ??. ????. ???cos?2π x ???. ???cos?6π x ?

1.4 给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波
2

x ? ?? ?x g i ? x ? ?? com b ?rect? ???Λ ? x ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ??
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 (1) H ? f ? ? rect?

?f? ? ??? ?f? ?f? ? ? rect? ? ??? ???

(2) H ? f ? ? rect?

答:图解方法是在频域里进行的,首先要计算输入函数的频谱,并绘成图形

G( f ) ? F

? ? ? comb(3 f ) ? 50sin c(50 f ) ? sin c 2 f

? gi ( x)? ? ?F

?

x ? x ? ? ?1 ? ? ? ? 3 comb( 3 ) ? ? F ?rect ( 50 ) ? ??( x)?? ? ? ?

方括号内函数频谱图形为:

50

2

5 3

4 3

1

2 3

1 3

1 3

2 3

1

4 3

5 3

2

f

图 1.4(1)

sin c 2 f 图形为:

3

1 0.685 0.17 0.04

1

2 1 3 3

1 2 3 3

1

f

图 1.4(2)

因为 sin c 2 f 的分辨力太低, 上面两个图纵坐标的单位相差 50 倍。 两者相乘时忽略中心五个 分量以外的其他分量,因为此时 sin c 2 f 的最大值小于 0.04%。故图解 G ( f ) 频谱结果为:

G(f) 50 50*0.685 50*0.171
2 3 1 3 1 3 2 3

f

图 1.4(3)

传递函数(1)形为:

4

f 1

1
图 1.4(4)

1

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后,保持不变,得到输出函数频谱表达式为:

? 1 1 ? 2 2 ?? ? ? ?? ( f ) ? 0.685?? ( f ? ) ? ? ( f ? )? ? 50sin c(50 f ) ? 0.171 ? ( f ? ) ? ? ( f ? )? ? ? 3 3? 3 3 ?? ? ? ?
其反变换,即输出函数为:

x 2 ? x ? ?1 ? 1.37cos2? 3 ? 0.342cos2? 3 x? rect( 50) ? ?
该函数为限制在 ?? 25,25?区间内,平均值为 1,周期为 3,振幅为 1.37 的一个余弦函数与周 期为 1.5,振幅为 0.342 的另一个余弦函数的叠加。 传递函数(2)形为:

1

f
图 1.4(5)

5

此时,输出函数仅剩下在 ?? 2,?1? 及 ?1,2? 两个区间内分量,尽管在这两个区间内输入函数的 频谱很小,相对于传递函数(2)在 ??1,1? 的零值也是不能忽略的,由于

4 sin c 2 ( ) ? 0.043 3

5 sin c 2 ( ) ? 0.027 3

可以解得,通过传递函数(2)得到的输出函数为:

4 5 ? x ? 0.043cos2? x ? 0.027cos2? x? rect( ) ? 3 3 ? 50 ?
该函数依然限制在 ?? 25,25?区间内,但其平均值为零,是振幅为 0.043,周期为 0.75,的一 个余弦函数与振幅为 0.027,周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数

h?x, y ? ? a sinc? ?ax?
抽样,求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
? 答:?F ?h? x,y ???F asinc ? ax? ?Λ ?

?

?

? fx ? ?δ ? f y ? ? a ?

?X ?

? ? ? ? B x ?a

;

Y ??

也就是说,在 X 方向允许的最大抽样间隔小于 1/2a,在 y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用 a ? b 表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样,即

? ?x? ? y ?? ? x? ? y? g s ?x, y ? ? g ?x, y ??comb? ? comb? ?? rect? ? rect? ? ?X? ? Y ?? ?a? ?b? ?
试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复 g ?x,y ? 。 答:因为 a ? b 表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复 g ?x,y ? 也有贡献,不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f ?x, y ? ? ? ?x ? ,系统对线脉冲的输出响应称 为线响应 L?x ? 。如果系统的传递函数为 H f x , f y ,证明:线响应的一维傅里叶变换等于

?

?

6

系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H ? f x ,0? 。 证明: F?L?x?? ? F?δ?y? ? h?x, y ?? ? ? f y H f x , f y ? H ? f x ,0?

? ? ?

?

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 f x ? Bx , f y ? B y 之外恒为 零,系统输入为非限带函数 g ? ?x, y ? ,输出为 g ' ?x, y ? 。证明,存在一个由脉冲的方形阵列
' ' 构成的抽样函数 g ? ?x, y ? , 它作为等效输入, 可产生相同的输出 g ' ?x, y ? , 并请确定 g ? ?x, y ? 。

答:为了便于从频率域分析,分别设: 物的空间频谱 像的空间频谱 等效物体的空间频谱 等效物体的像的空间频谱

A0 ( f x , f y ) ? F {g0 ( x, y)};
Ai ( f x , f y ) ? F {gi ( x, y)} ; A '0 ( f x , f y ) ? F {g '0 ( x, y)};

A '0 ( f x , f y ) ? F {g '0 ( x, y)}.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器,传递函数在 f x ? Bx , f y ? By 之外 恒为零,故可将其记为:

? fy ? f ? H ( f x , f y )?rect ? x ? rect ? ? 2B ? 2 Bx ? ? y

? ?、 ? ?

利用系统的传递函数,表示物像之间在频域中的关系为

? f ? f ? A0 ( f x , f y )?H ( f x , f y )rect ? x ? rect ? y ? 2B ? 2 Bx ? ? y ? Ai ( f x , f y )

? ? ? ?

在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数,预期作为等效物的谱,办

rect ? 法是把 A0 ( f x , f y )?

? fy ? fx ? ??rect ? ? 2B ? 2 Bx ? ? y

? ? 安置在 f x f y 平面上成矩形格点分布的每一个 ? ?

(2Bx n , 2By m )点周围,选择矩形格点在 f x 、 f y 方向上的间隔分别为 2 Bx 和 2By ,以免频谱
混叠,于是

? f A '0 ( f x , f y ) ? A0 ( f x , f y )?rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y

? ? ? ? ? ? ? ? ? f x ? 2 Bx n, f y ? 2 By n ? ? n ??? m??? ?

7

? f ? A0 ( f x , f y )?rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y

? ? f 1 comb ? x ?? ? 4B B x y ? 2 Bx ?

? fy ? ? comb ? ? 2B ? ? y

? ? (1) ? ?

对于同一个成像系统,由于传递函数的通频带有限,只能允许 A '0 ( f x , f y ) 的中央一个 周期成份( n ? m ? 0 )通过,所以成像的谱并不发生变化,即

? f A '0 ( f x , f y )?H ( f x , f y )rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y

? ? ? ?

? A 'i ( f x , f y ) ? Ai ( f x , f y )
图 1.8 用一维形式表示出系统在频域分别对 A0 和 A '0 的作用,为简单计,系统传递函数在 图中表示为 rect ?

? fx ? ?。 ? 2 Bx ?

A0(f X)

? f ? A '0 ( f X ) ? A0 ( f X )rect ? X ? ? 2 BX ?

*?? ( f X ? 2BX n)
fX
-BX BX 2BX

fX H(f X) 1 fX fX

H(f X) 1

-BX

BX

-BX

BX

Ai(f X)=A0(fX)H(fX)

A'i(fX)=A 0(fX)H(fX)

-BX

BX

fX
图 题 1.8

-BX

BX

fX

既然,成像的频谱相同,从空间域来看,所成的像场分布也是相同的,即

U 'i ( x, y) ? Ui ( x, y)
8

因此,只要求出 A '0 ( f X , fY ) 的逆傅立叶变换式,就可得到所需的等效物场,即

U '0 ( x, y) ? F
带入(1)式,并利用卷积定理得到

?1

?A'0 ( f X , fY )?
?? ? ?? ? F ?? ? ? 1 ? f ? ? f ? comb ? X ? comb ? Y ? ? 4 BX BY ? 2 BX ? ? 2 BY ?
(2)

U '0 ( x, y ) ? F

?1

? ? fX ? ? fY ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? rect ? ? ? 2 BX ? ? 2 BY ? ? ? fY ? rect ? ? ? 2 BY

?1

?? ? ?? ?? ?

?F

?1

? ? fX ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? ? 2 BX ?

?? ? ? ? ? comb(2 BX x)comb(2 BY y) ?? ?

上式也可以从抽样定理来解释。

? f A0 ( f X , fY )rect ? X ? 2 BX

? ? fY ? ? rect ? ? ? ? 2 BY ?

是一个限带的频谱函数, 它所对应的空间域的函数可以通过抽样, 用一个点源的方形阵列来 表示,若抽样的矩形格点的间隔,在 x 方向是

1 1 ,在 y 方向是 ,就得到等效物场 2 BX 2 BY

U '0 ( x, y)
F
?1

? ? fX ? ? fY ? ? ? ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? rect ? ?? ? ? 2 BX ? ? 2 BY ? ? ? ?

? U0 ( x, y) ? 4BX BY sin c(2BX x)sin c(2BY y)

? 4BX BY ? ? U 0 (? ,? )sin c[2BX ( x ? ? )] ? sin c[2By ( y ?? )]d? d? ;
??

?

(3)

comb(2BX x)comb(2BY y)

?

1 4 BX BY

n ??? m ???

? ? ? ? x ? 2B
?

?

?

?

n

,y?

X

m ? ? 2 BY ?

(4)

把(3)(4)式代入(2)式,得到 、

? ? ? ? ? ? n m ? U '0 ( x, y) ? ?? ? U 0 (? ,? )sin c[2 BX ( x ? ? )] ? sin c[2 BY ( y ? ? )]d? d? ? ? ? ? ? ? x ? ,y? ? 2 BX 2 BY ? ? ?? ? n??? m??? ?
利用 ? 函数性质(1.8)式,上式可写为

U '0 ( x, y) ?
9

? ? ? ? n m ? ? m? ? ? ? U 0 (? ,? )sin c[n ? 2BX ? )] ? sin c[m ? 2BY? )]d? d? ?? ? x ? 2B , y ? 2B ? n ??? ??? ? ?? X Y ? ? ?
? ?

这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体 U 0 产生完全一样的像 Ui . 本题利用系统的传递函数,从频率域分析物象关系,先找出等效物的频谱,再通过傅立 叶逆变换, 求出等效物场的空间分布, 这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

第二章

习题解答

2.1

0 一列波长为 ? 的单位振幅平面光波,波矢量 k 与 x 轴的夹角为 45 ,与 y 轴夹角为

600 ,试写出其空间频率及 z ? z1 平面上的复振幅表达式。
答: f x ?

? , ?λ

fy ?

2 2?

,

? 3 2 ? U ?x, y, z1 ? ? e x ? j k 1 ?e x p π2 p z j? x? y ?U ?0,0,0? ? 2λ 2λ ? ? ?

2.2

尺寸为 a×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明, 求出紧靠屏后的平面 上的透射光场的角谱。

答: U ? x,y ??rect?

? x ?rect? y ? , A? cosα ,cosβ ??absinc? a cosα ? sinc? b cosβ ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ ? ? λ ? λ ? ? λ ? ?a? ?b?

2.3

波长为 ? 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上,在孔径平面上有一个足够大的 模板,其振幅透过率为 t x? ??. ????cos

? ?

? ?

?π x0

? ?λ ? ,求紧靠孔径透射场的角谱。 ?

答::

cosα cosβ ? ? cosα ,cosβ ???. ??? 3λ δ ? ?λ cosα ?????λ A? , ? ? ???. ?δ ? ? ? ? λ ? λ ? λ ? λ ? λ ? ? ? cosα cosβ ? ? ? cosα ? ? ? cosα ? ??. ?δ ? , ? ??δ ? ? ? ???. ???δ ? λ ? ?λ ? ? λ ?λ ? λ ? ? λ

cosα ? ? ? cosβ ? δ? ?λ ??? ?δ ? ? ? λ ? ?? ? λ ? ? ?δ ? cosβ ? ? ?? ? ?? ? λ ?

2.4

参看图 2.13,边长为 ? a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模,其中心落 在 ?? ,? ? 点。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明, 求出与它相距为 z 的观察平面上夫
10

琅和费衍射图样的光场分布。画出 ? ? ? ? ? 时,孔径频谱在 x 方向上的截面图。

y

0

a 2a O

(? ,? )

x

0

图 2.4 题 答: t x? ,y ? ?rect?

?

?

? x? ?rect? y? ??rect? x? ?ξ ?rect? y? ?η ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? a ? ? a ?

F ? ?x? ,y? ?? ?a ? sinc?2afx ?sinc?2afy ??a ? sinc?afx ?sinc?af y ?exp?- j2πa? f x ? f y ?? t ?
U ? x,y ?? ? k exp? jkz ?exp? j ?x ? ? y ? ??? ? ? jλ z ? 2z ?

x ? y ? ? ? ? ? ? ? x ? ? y ? ? ? x y ? ?? ??a sinc? 2aλ z ?sinc? 2aλ z ??a sinc? aλ z ?sinc? aλ z ?exp? - j2π a? λ z ?λ z ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? x y x y x y ? ? I ? x,y ?? 2 ? ?a ? sinc? 2a ?sinc? 2a ??a ? sinc? a ?sinc? a ?exp? - j2π a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ z ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? ?λ z λ z ??

?

2.5

图 2-14 所示的孔径由两个相同的矩形组成,它们的宽度为 a ,长度为 b ,中心相距为

d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求与它相距为 z 的观察平面上夫琅和费衍
射图样的强度分布。 假定 b ? ? a 及 d ? ?.?a , 画出沿 x 和 y 方向上强度分布的截面图。 如果对其中一个矩形引入位相差 ? ,上述结果有何变化?

11

x

a d

O
b

y

图 题 2.5 (1) 答:如图所示,双缝的振幅透射率是两个中心在 (0, ) 及 (0, ? 率之和:

d 2

d ) 的矩形孔径振幅透射 2

y t ( x0 , y0 ) ? rect ( 0 )rect ( a

x0 ?

d d x0 ? y0 2 ) ? rect ( )rect ( 2) b a b

(1)

由于是单位振幅平面波垂直照明,孔径平面上入射光场

U0 ( x0 , y0 ) ? 1 ,
透射光场

x U ( x0 , y0 ) ? U 0 ( x0 , y0 )? ( x0 , y0 ) ? rect ( 0 )rect ( t a

y0 ?

d d y0 ? x0 2 ) ? rect ( )rect ( 2) b a b
x y

(2)

由夫琅和费衍射方程,在夫琅和费区中离孔径距离 z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U ( x , y ) ,它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标 f x ?
? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ?F U ( x , y ) U (x , y ) ? ? 0 0? j? z
利用傅立叶变换的相移定理,得到

?z

, fy ?

?z

) ,即

(3)

d ? d ? ? ? y0 ? ? y0 ? ? ? ? x0 x0 2 ) ? F rect ( )rect ( 2) F ?U ( x0 , y0 )? ? F ?rect ( )rect ( ? ? ? a b ? a b ? ? ? ? ? ? ?

? ab sin c(af x )sin c(bf y ) ?[exp(? j? f y d ) ? exp( j? f y d )]
12

? 2ab sin c(
把它带入(3)式,则有

ax by ? dy ) sin c( ) ? cos( ) ?z ?z ?z

? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 2ab sin c( ax )sin c( by ) ? cos( ? dy ) U (x , y ) ? j? z ?z ?z ?z
强度分布

? 2ab ? 2 ? ax ? 2 ? by ? 2 ? ? dy ? I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? sin c ? ? cos ? ? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ?
2

不难看出,这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。 双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:

d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? t ( x0 , y0 ) ? rect ? 1 ? rect ? 1 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ?b? ? ?

(4)

它和(1)式本质上是相同的。由(4)式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式,导出 与上述同样的结果。代入所给条件 b=4a,d=1.5a

? 8a 2 ? 2 ? ax I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? ?z ? ?z ?
沿 x 轴,此时 f y ? 0

? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? ay ? ? sin c ? ? cos ? ? ? ? ?z ? ? ?z ?

I ( f x , f y ) ? 8a2 sin c2 ? af x ?
中心光强:I(0,0)=8a2 极小值位置为: f x ?

n a

(n ? ?1, ?2,?)

x 方向上强度分布的截面图示意如下:

13

图 题 2.5 (2)

沿 y 轴: 此时 f x ? 0 ,故

I ( f x , f y ) ? 8a 2 sin c(4af y ) 2 cos 2 ?1.5? af y ?
中心光强:I(0,0)=8a2 极小值位置: f y ?

n 4a

及 fy ?

1 ? 2n 3a

(n ? ?1, ?2,?)

y 方向上强度分布的截面图示意如下:

图 题 2.5 (3)

d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? t ( x0 , y0 ) ? rect ? 0 ? rect ? 0 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? exp ? ? j? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ? b ? ? ? d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? ? rect ? 0 ? rect ? 0 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? exp ? ? j? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ? b ? ? ? d ? ? y1 ? 2 x1 ? ? ? rect ? ? rect ? ?a? ? b ? d ? ? ? ? y1 ? 2 x1 ? ? ? exp ? ? j? ? ? rect ? ? rect ? ?a? ? ? b ? ? ? ? ? ? ?

由于是单位振幅平面波垂直照明,孔径平面上入射光场

U0 ( x1, y1 ) ? 1 ,
透射光场,b=4a,d=1.5a 时

14

U ( x1 , y1 ) ? U 0 ( x1 , y1 )? ( x1 , y1 ) t d? d? ? ? ? y1 ? 2 ? ? y1 ? 2 ? ?x ? ? x1 ? ? rect ? 1 ? rect ? ? exp ? ? j? ? ? rect ? ? rect ? ? ?a? ?a? ? b ? ? b ? ? ? ? ? ?x ? ? y ? 0.75a ? ? x1 ? ? y1 ? 0.75a ? ? rect ? 1 ? rect ? 1 ? exp ? ? j? ? ? rect ? ? rect ? ? 4a 4a ?a? ? ? ?a? ? ?
(2)

由夫琅和费衍射方程,在夫琅和费区中离孔径距离 z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U ( x , y ) ,它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标 f x ?
? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ?F U ( x , y ) U (x , y ) ? ? 0 0? j? z
利用傅立叶变换的相移定理,得到

x

?z

, fy ?

y

?z

) ,即

(3)

? ? ? ?x ? ? y ? 0.75a ? ? x0 ? ? y0 ? 0.75a ?? F ?U ( x0 , y0 )? ? F ?rect ? 0 ? rect ? 0 ? exp ? ? j? ?? ? F ?rect ? ? rect ? ?? 4a 4a ?a? ? ? ?a? ? ?? ? ? ?
? ?8a 2 sin c(af x ) sin c(4af y ) exp( ?1.5 j? f y ) exp ? ? j? ? ? ? 8a 2 sin c( af x ) sin c(4af y ) exp(1.5 j? f y ) ? ? ? 8a 2 sin c(af x ) sin c(4af y ) ? ? exp( ?1.5 j? f y ? j? ) ? exp(1.5 j? f y ) ?
把它带入(3)式,则有

? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c(af ) sin c(4af ) U (x , y ) ? x y j? z ? ? exp(?1.5 j? f y ? j? ) ? exp(1.5 j? f y ) ? ? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c( ax ) sin c( 4ay ) ? j? z ?z ?z ?1.5 j? y 1.5 j? y j? j? ? ? j? ? ? ? exp ? ? ? ) ? exp( ? )? ? ? exp( ?z 2 ?z 2 ? ? 2 ?? ? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c( ax ) sin c( 4ay ) ? j? z ?z ?z ? 1.5? y ? ? ? j? ? ? exp ? ? ? ? ? cos ? 2? ? 2 ? ? ?z
强度分布

15

? 8a 2 ? 2 ? ax I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? ?z ? ?z ? ? 8a 2 ? 2 ? ax ?? ? sin c ? ? ?z ? ?z ?
2

2

?? ? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? y ? ? ? sin c ? ? cos ? 2? ? ? ?z ? ? ?z

? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? y ? ? sin c ? ? sin ? ? ? ? ?z ? ? ?z ?

2.6

图 2-14 所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为 t ?x? ? ? step?x? ? 。 采 用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为 z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的复 振幅分布。画出在 x 方向上的振幅分布曲线。
x

O

y

图 题 2.6

答: F t x? ,y ? ?F step x? ?? δ ? f x ??

??

?? ? ? ?? ? ? ?
?

?? ? x ? λ z ? ? y ? ? ? ?δ ? f y ??? δ ? ?? ?δ ? ? j ?π f x ? ? ? ? λ z ? j ?π x ? ? λ z ?

U ? x,y ?? ?

?? ? k x λz ? ? y ? exp? jkz ?exp? j ?x ? ? y ? ???? δ ? ?? ? ? ? ? ?δ ? ? jλ z ? 2z ? ? ? ? λ z ? j ?π x ? ? λ z ? ? ? x? ?? y exp? jkz ? ? x y ? ? δ ? , ?? exp? jk ? z ? ? ?δ ? ? ? ? j ?λ z ? λ z λ z ? ?π x ? ? 2z ? ? ? λ z ? ?? ? ?

振幅分布曲线图从略。

2.7

在夫琅和费衍射中,只要孔径上的场没有相位变化,试证明: (1)不论孔径的形状如

16

何,夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。 (2)若孔径对于某一条直线是对称的,则 衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。 证明: (1)在孔径上的场没有相位变化时,衍射孔径上的光分布 g ? x,y ? 是一个实函数,其 傅里叶变换 G f x , f y 是厄米型函数,即:

?

?

G? f x , f y ??G* ?? f x ,? f y ?
因此 I f x , f y ? G f x , f y 称中心。 (2)孔径对于某一条直线是对称时,以该直线为 y 轴建立坐标系。有:

?

? ?

?

?

? G* ?? f x ,? f y ? ? I ?? f x ,? f y ? ,所以夫琅和费衍射图样有一个对
?

g ? x,y ?? g ?? x,y ?
因此 同时

G? f x , f y ??G* ?? f x , f y ? G? f x , f y ??G* ?? f x ,? f y ?
G* ? f x ,? f y ??G ?? f x , f y ??G* ? f x , f y ? G ? f x , f y ??G ? f x ,? f y ?

所以

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8

试证明如下列阵定理:假设在衍射屏上有 N 个形状和方位都相同的全等形开孔,在每 一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置,那末该衍射屏生成的夫 琅和费衍射场是下列两个因子的乘积: (1)置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射(该 衍射屏的原点处不一定有开孔)(2) N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面 ; 上的干涉。

证明:假设置于原点的一个孔径表示为 t ? x? ,y ? , N 个处于代表孔位置的点上的点光源表 示为

?

?

?δ ?x?x ,y? y ?,则衍射屏的透过率可表示为
i i N

t ?x? ,y? ??t ? ?x? ,y? ???δ ?x? xi ,y? yi ? ,
N

其傅里叶变换可表示为

? ? F ? ?x? ,y? ???F ? ? ?x? ,y? ??F ??δ ?x? xi ,y? yi ?? , t t ? ?N ?

17

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射,第二项对应于 N 个处于代表 孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉, 因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因 子的乘积。

2.9

一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

?? ? ? ?r? t ?r ? ? ? ? cos ar ? ? circ? ? ?? ? ? ?a?
(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜? (2)给出此屏的焦距表达式。 (3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)? 答: (1)解 衍射屏的复振幅投射率如图所示,也可以把它表示为直角坐标的形式:

? x2 ? y 2 ?1 1 ? t ( x, y) ? ? ? cos[? ( x 2 ? y 2 )]? circ ? ? l ?2 2 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?
(1)

? x2 ? y 2 1 ?1 1 ? ? ? ? exp[? j? ( x 2 ? y 2 )] ? exp[ j? ( x 2 ? y 2 )]? ? circ ? ? 4 l ?2 4 ? ?

(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减,其他两项指数项与透镜位相变换因 子 exp ? ? j

? ?

? k 2 ( x ? y 2 ) ? 比较,可见形式相同。当平面波垂直照射时,这两项的作用是分 2f ?

别产生会聚球面波和发散球面波。 因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似 与透镜,因子 circ ? (2)解 把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较,得到相应的焦距,对于

? x2 ? y 2 ? l ?

? ? 表明该屏具有半径为 l 的圆形孔径。 ? ?

1 k exp[? j? ( x 2 ? y 2 )] 项,令 ? ? ,则有 4 2 f1

f1 ?

k ? ? 2? ??
1 ?k exp[ j? ( x 2 ? y 2 )] 项,令 ? ? ,则有 4 2 f2

焦距 f1 为正,其作用相当于会聚透镜,对于

18

f1 ? ?

k ? ?? 2? ?? 1 ”这一项来说,平行光波直接透过,仅振 2

焦距 f 2 为负,其作用相当于发散透镜,对于“ 幅衰减,可看作是

f3 ? ?
(3)解 由于该衍射屏有三重焦距,用作成像装置时,对同一物体它可以形成三个像,例如对于无穷 远的点光源, 分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像, 另一个像在无穷远 (直接透射光) (参 看图 4.12) 。当观察者观察其中一个像时,同时会看到另外的离焦像,无法分离开。如用接 收屏接收,在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外,对于多色物 体来说,严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长 ? 成反比。例如取

?red ? 6900 A , ?blue ? 4000 A ,则有
f red ? 4000 f blue 6900





? 0.57 fblue
这样大的色差是无法用作成像装置的, 若采用白光作光源, 在像面上可以看到严重的色散现 象。 这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图,即伽柏全息图。

2.10 用波长为 ? ? 6328 A 的平面光波垂直照明半径为 2 mm 的衍射孔,若观察范围是与衍 射孔共轴,半径为 30 mm 的圆域,试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答:由式(2.55) z ?? 衍射分别要求
?

?

π ? ? ? 1 2 2 ( L? ? L? ) 及式(2-57) z?? k ( x0 ? y 0 ) 有菲涅耳衍射和夫琅和费 ?λ 2

z ? ??

π ? ? ? π ( L? ? L? ) 即 z? ?? ??? ???? ?? ????. ?m m ?? ?λ ???. ???? ?? ?

? π ? ? z ?? k ?x? ? y ? ?? ?? ????? . ?mm ?? ? ?. ???????

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为 a 的圆形孔径上,试求菲涅耳衍射图样在 轴上的强度分布。
19

答:圆形孔径的透过率可表示为

? x? ?y? t ?x? ,y ? ??circ? ? ? ? a ?
根据式(2.53)有

? ? ? ?

? x? ?y? ? ? ?x? ,y ? ??circ? ? ? U ? a ?

? ? ? ?

? x? ?y? ? exp? jkz ? ? k ? ? ? ? ? ? ? U ? x, y ?? exp? j ?x ? y ?? ? ? circ? ? ? jλ z a ? ? ? ?z ? ?? ? ? k ?π ?exp? j ?x ? ? ? y ? ? ?? exp?? j ?xx? ? yy ? ?? dx? dy? ? ?z ? ? λz ? ? ? ? ?
轴上的振幅分布为
? ? x? ?y? ? exp? jkz ? ? ? ? ? ? ? k U ??,?,z ?? ????circ? a ?exp? j ? z ?x? ? ? y? ? ?? dx? dy? jλ z ? ? ? ? ?π a exp? jkz ? ? ? k ?? ? k ? ?? ? ? ?exp? j ? z r ?rdrdθ ?exp? jkz ????exp? j ? z a ? ? jλ z ? ? ? ? ? ?? ?

轴上的强度分布为

k k ? ? ? ? U ??,?,z ?? exp? jkz ????exp? j a ? ? ? ?????cos? a ? ?? ? ? ? ?z ? ? ? ? ? ? z ?? ? ? k ?? sin? a ? ? ? ? ? ?z ?

2

2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

t ?x? ??a?bcos?π

x? d

式中, d 为光栅周期, a ?b ? ? , a ? b ? ? 。观察平面与光栅相距 z 。当 z 分别取下列各数 值: (1) z ? zT ?

?d ?

?

; (2) z ?

zT d ? z d? ? ; (3) z ? T ? (式中 zT 称作泰伯距离) ? ? ? ??

时,确定单色平面波垂直照明光栅,在观察平面上产生的强度分布。 答:根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为

U ?x? ,y? ??a?bcos?π
强度分布为

x? d

20

x ? I ?x? ,y? ??? a?bcos?π ? ? ? ? d ? ?
角谱为

x A? ? f x , f y ??? ? ? a?bcos?π ? ?exp?? j ?π?x? f x ? y ? f y ??dx? dy? ? ? d ? ??? b? ? ? ? ?aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ? ? ? ?? ? d ? ? d ??
传播距离 z 后,根据式(2.40)得到角谱

?

A? f x , f y ,z ?? A? ? f x , f y ?exp jkz ???λ f x ?? ??λ f y ??

?

? ? ?

? b? ? ? ?? ?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ?exp jkz ???λ f x ?? ??λ f y ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? d ? ? d ??? ? ? b? ? ? ? ? ? ?? ? ?λ ? ? ?aδ ? f x , f y ?exp? jkz?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ?exp? jkz ??? ? ? 2? ? d ? ? d ?? ? ?d? ? ? ?
利用二项式近似有
? ? ? ? ? λ ? ?? λ ? π zλ exp? jkz ??? ? ??exp? jkz??? ? ? ???exp? jkz ?exp? ? j ? ? ? ? ? ? ? ?? d ? ? d ? ?d? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?



? b? ? ? π zλ ? ? A( f x , f y ,z ) ?exp? jkz?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ?exp?? j ? ? ? ? ? ? ? ? ? d ?? 2? ? d ? ? d ?? ? ?? ?
(1) z ? zT ?

?d ?

?



? ?π d ? ?? b? ? ? ?? A( f x , f y ,z ) ?exp? j ? ?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? d ? ? d ??? ? λ ??
与 A? f x , f y 仅相差一个常数位相因子, 因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直 照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。 (2) z ?

?

?

zT d ? ? 时 ? ?

? ?π d ? ?? b? ? ? ?? A( f x , f y ,z ) ?exp? j ? ?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? d ? ? d ??? ? λ ??
对应复振幅分布为

21

x ?d ? x U ? x,y ??a?bcos?π ?a?bcos2 π d d
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型 振幅光栅产生的强度分布。 (3) z ?

zT d ? ? ? ??

? b? ? ? π ? ? A( f x , f y ,z ) ?exp? jkz?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ?exp?? j ? ? ? ? ? ? ? 2? ? d ? ? d ?? ? ? ? ? ? ?? ?
对应复振幅分布为

x U x ,y ?exp? jkz ??a? jbcos?π ? ? d? ? ?
强度分布为

? ?

I x ,y ?a ? ?b ? cos2 ?π

? ?

x d

2.13 图 2.16 所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为 n ,齿宽为 a ,齿形角为 ? ,光栅 整体孔径为边长 L 的正方形。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明, 求距离光栅为 z 的 观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。 若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大, ? 应如何选择?

L

a L

a
22

图 2.16( 题 2.13)

答: 在如图的透射式锯齿型位相光栅中, 单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直 照明,则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为

x ? x y ?x U ?x? ,y ? ??exp? jkxtgα ?n-1??rect? ?? com b ?rect? ?rect? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L? ? L? ?a? a ?a?
其角谱为

A? ? f x , f y ??? ?U x0 ,y 0 exp?? j ?π?x ? f x ? y ? f y ??dx? dy?
??

?

?

?

tgα ?n??? ? ? ? ? ? ? ??δ ? f x ? ??asinc?af x ??com b af x ??δ ? f y ??L sincLf x sincLf y λ ? ? ? ? ? ? tgα ?n??? ? ? ? ? ? ? ? ?? asinc? a? f x ? ? ??com b af x ??δ ? f y ??L sincLf x sincLf y ? λ ?? ? ? ? ? ? ? tgα ?n??? ? ? ? ? ? ?? asinc? a? f x ? ? ???δ ?af x ?m ??δ ? f y ??L sincLf x sincLf y ? ? λ ?? ? ? ? ?
若让衍射图样中的 m 级谱幅值最大,应选择 ? 使得

tgα ?n-1? m ? λ a
因而有

α?

? ?? mλ tg n?? a

2.14

设 u (x) 为矩形函数,试编写程序求 p ? 1 4 , 1 2 , 3 4 时,其分数阶傅里叶变换, 并绘制出相应 U
? p?

?? ? 的曲线。

答:根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)

? ? ?? ?? ? ? exp?? j ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 G?? ? ? Fa ?g ?x ?? ? ? ? 2? sin ? ? ? ? ? ? ?
以及式

1

2

? j ? 2 ? x2 j?x ? exp? ?? ? 2 tg? ? sin ? ?g ?x ?dx ? ?

?

?

?

p??

? ?
23

(2.79)

即可编程计算 p ? 1 4 , 1 2 , 3 4 时的分数阶傅里叶变换(此处略) 。

第三章 习题解答
3.1 参看图 3.5,在推导相干成像系统点扩散函数(3.35)式时,对于积分号前的相位因子

? k ? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y 0 )? ? exp? j ? 2d 0 ? 2d 0 ? ?
试问

? xi2 ? y i2 ?? ? ? ? M 2 ?? ? ?? ?

(1)物平面上半径多大时,相位因子

? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y 0 )? ? 2d 0 ?
相对于它在原点之值正好改变π 弧度? (2)设光瞳函数是一个半径为 a 的圆,那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是 多少? (3)由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么 a,λ 和 do 之间存在什么关系 时可以弃去相位因子

? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y 0 )? ? 2d 0 ?

解: 1)由于原点的相位为零,于是与原点位相位差为 (

? 的条件是

kr 2 k 2 2 ( x0 ? y0 ) ? 0 ? ? , r0 ? ? d0 2d0 2d0

(2)根据(3.1.5)式,相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图

? ? 样,其中心位于理想像点 ( x0 , y0 )

h( x0 , y0 ; xi , yi ) ?
?

1 2 ? d 0 di

? ? ? P( x, y) exp ?? j ?d [( x ? x ) ?
i 0 ?? i

?

?

2?

2

? ? ? ( yi ? y0 ) 2 ]?dxdy ?

1 ? 1 aJ1 (2? a? ) ? r ?? B ?circ ? ?? ? 2 ? d 0 di ? ? ? a ? ? ? d 0 di
2

24

式中 r ?

x 2 ? y 2 ,而

? ? ? 2 ?? 2 ? (

? ? xi ? x0 2 yi ? y0 2 ) ?( ) ? di ? di

(1)

在点扩散函数的第一个零点处, J1 (2? a? ) ? 0 ,此时应有 2? a? ? 3.83 ,即

?0 ?

0.61 a

(2)

将(2)式代入(1)式,并注意观察点在原点 ( xi ? yi ? 0) ,于是得

r0 ?

0.61? d0 a

(3)

(3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h( x0 , y0 ;0,0) 。按照上面的分析,如果略去 h 第一个零点以 外的影响, 即只考虑 h 的中央亮斑对原点的贡献, 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附 近 r0 ? 0.61?d0 / a 范 围 内 的 小 区 域 。 当 这 个 小 区 域 内 各 点 的 相 位 因 子

exp[ jkr02 / 2d0 ] 变化不大,就可认为(3.1.3)式的近似成立,而将它弃去,假设小区
2 域内相位变化不大于几分之一弧度(例如 ? /16 )就满足以上要求,则 kr0 / 2d 0 ?

?
16



r02 ? ?d0 /16 ,也即

a ? 2.44 ? d0

(4)

例如 ? ? 600nm , d0 ? 600nm ,则光瞳半径 a ? 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。

3.2 一个余弦型振幅光栅,复振幅透过率为
t ( x0 , y 0 ) ? 1 1 ? cos 2?f 0 x0 2 2

放在图 3.5 所示的成像系统的物面上,用单色平面波倾斜照明,平面波的传播方向在 x0z 平 面内,与 z 轴夹角为θ 。透镜焦距为 f,孔径为 D。 (1)求物体透射光场的频谱; (2)使像平面出现条纹的最大θ 角等于多少?求此时像面强度分布;

25

(3) 若θ 采用上述极大值,使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少?与θ =0 时的截 止频率比较,结论如何?

解: (1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 A exp( jkx0 sin ? ) ,为确定起见设

? ? 0 ,则物平面上的透射光场为
U0 ( x0 , y0 ) ? A exp( jkx0 sin ? )t ( x0 , y0 )

?

A? sin ? ? 1 sin ? ? 1 sin ? ? ? ? ? ? ) ? ? exp ?? j 2? x0 ( f0 ? )? ? ?exp ? j 2? x0 ? ? exp ? j 2? x0 ( f0 ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ?
其频谱为

A(? ,?) ? F ?U0 ( x0 , y0 )?
? A? ? sin ? ? 1 ? ? sin ? ? ? 1 ? ? sin ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? f 0 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? f 0 ? 2? ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? ??

由此可见,相对于垂直入射照明,物频谱沿 ? 轴整体平移了 sin ? / ? 距离。

(2)欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统,系统的截止频率

?c ? D / 4? f ,于是要求
sin ?

?
由此得

?

D 4? f

,?

D 4? f

? ? f0 ?

sin ?

?

?

D 4? f

? f0 ?
? 角的最大值为

D D ? sin ? ? 4f 4f

(1)

?max ? arcsin ?

? D? ? ?4f ?

(2)

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

Ui ( xi , yi ) ?

? A D ? 1 exp ? j 2? xi ?[1 ? exp(? j 2? xi f 0 )] 2 4? f ? 2 ?
26

Ii ( xi , yi ) ?

A2 4

?5 ? ? 4 ? cos 2? f0 x ? ? ?

(3)照明光束的倾角取最大值时,由(1)式和(2)式可得

? f0 ?


D D ? 4f 4f

f0 ?

D 2? f



f 0 max ?

D 2? f

(3)

? ? 0 时,系统的截止频率为 ?c ? D / 4? f ,因此光栅的最大频率
f 0max ? ?c ? D 4? f
(4)

比较(3)和(4)式可知,当采用 ? ? ?max 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了 一倍,也就提高了系统的极限分辨率,但系统的通带宽度不变。

3.3 光学传递函数在 fx= fy =0 处都等于 1,这是为什么?光学传递函数的值可能大于 1 吗?如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样? (1)在(3.4.5)式中,令

h( xi , yi ) ?

? ? h ( x , y )dx dy
1 i i i ??

?

h1 ( xi , yi )
i

为归一化强度点扩散函数,因此(3.4.5)式可写成

H (? ,? ) ? ?


?

??

? h( x , y ) exp[? j 2? (? x ?? y )]dx dy
i i i i i ?

i

H (0,0) ? 1 ? ?

??

? h( x , y )dx dy
i i i

i

即不考虑系统光能损失时,认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上, 这便是归一化点扩散函数的意义

27

(2)不能大于 1 (3)对于理想成像,归一化点扩散函数是 ? 函数,其频谱为常数 1,即系统对任何频 率的传递都是无损的。

3.4 当非相干成像系统的点扩散函数 hI(xi,yi)成点对称时,则其光学传递函数是实函 数。 解 : 由 于 hI ( xi , yi ) 是 实 函 数 并 且 是 中 心 对 称 的 , 即 有 hI ( xi , yi ) ? hI* ( xi , yi ) ,

hI ( xi , yi ) ? hI (? xi , ? yi ) , 应 用 光 学 传 递 函 数 的 定 义 式 ( 3.4.5 ) 易 于 证 明 H (? ,? ) ? H * (? ,? ) ,即 H (? ,? ) 为实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为 2a, 出瞳到像面的距离为 di,光波长为λ ,这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频 率近似为多大? 解:用公式(3.4.15)来分析。首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因此无论沿 哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同。 其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠,这时 N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积,其结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截 止频率约为 2a / ?di ,由于 2a 很小,所以系统实现了低通滤波。

3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解:如图

t ( x0 , y 0 )

( x, y )

( xi , yi )

d0

di
图 3.6 题

设 ?1 是透过率函数为 t ( x0 , y0 ) 的物平面, ? 2 是与 ?1 共轭的像平面,即有
28

1 1 1 ? = d0 di f
式中 f 为透镜的焦距,设透镜无像差,成像过程分两步进行: (1) 射到物面上的平面波在物体上发生衍射,结果形成入射到透镜上的光场 U l ; (2) 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后,在透镜的后表面上形成衍射场

U l ,这个场传到像面上形成物体的像。
为了计算光场,我们用菲涅耳近似,透镜前表面的场为

'

x2 ? y2 e xp(jk )? 2 2 2d 0 x0 ? y 0 xx0 ? yy0 Ul ? ??? t( x0 , y0 ) e xp(jk 2d 0 ) e xp(? jk d 0 )dx0 dy0 jλ d i ?
这里假定 t ( x0 , y0 ) 只在物体孔径之内不为零,所以积分限变为 ? ? ,此积分可以看成 是函数 t ( x0 , y 0 ) e xp(jk

x0 ? y 0 ) 的傅立叶变换,记为 F ( f x , f y ) ,其中 2d 0
2 2

fx ?

x y , fy ? λ d0 λ d0

在紧靠透镜后表面处

e xp(jk Ul ?
'

x2 ? y2 ) 2d 0 x2 ? y2 F ( f x , f y ) e xp(jk ) jλ d 0 2f

这个被透镜孔径所限制的场, 在孔径上发生衍射, 在用菲涅耳近似, 便可得到像面 ? 2 上 的光场

x ? yi e xp(jk i )? 2 2 x ?y 2d i xxi ? yyi U i ( xi , y i ) ? ??? U l? e xp(jk 2 f ) e xp(? jk d i )dxdy jλ d i ?
2 2

e xp(jk ?

xi ? y i )? F( fx , f y ) 2d i ??? jλ d i ? xx ? yyi e xp(? jk i )dxdy di
2 2

e xp(jk

x2 ? y2 ) 2d 0 x2 ? y2 x2 ? y2 e xp(? jk ) e xp(jk ) jλ d 0 2f 2d i

29

x ? yi e xp(jk i )? 2d i xx ? yyi x2 ? y2 1 1 1 ? F ( f x , f y ) e xp[jk ( ? ? )]e xp(? jk i )dxdy ??? 2 2 d0 di f di λ d0di ?
2 2

由题设知,

1 1 1 ? ? ?0 d0 di f

并且假定透镜孔径外的场等于零,且忽略透镜孔径

的限制,所以将上式中的积分限写成无穷,于是上述积分为

x ? yi e xp(jk i )? 2d i xxi ? yyi U i ( xi , y i ) ? ? ??? F ( f x , f y ) e xp(? jk d i )dxdy 2 λ d0di ?
2 2

e xp(jk ??

xi ? y i )? 2d i xi yi x y ??? F (λ d 0 , λ d 0 f x , f y ) e xp(? j 2π ( x λ d i ? y λ d i )dxdy 2 λ d0di ?
2 2

注意

xi x dx dy ? ? 0 , df x ? , df y ? , 于是得 di d0 λ d0 λ d0
2 2

x ? yi e xp(jk i )? 2d i U i ( xi , y i ) ? ? ? ? F ( f x , f y ) e xp(? j 2π ( xf x ? yf y ))df x df y di / d0 ??

??

d0 x ? yi x ? y0 e xp(jk i )t ( x0 , y0 ) e xp(jk 0 di 2d i 2d 0
2 2 2

2

d x ? yi x ? y0 ? ? 0 e xp(jk i ) e xp(jk 0 )t ( x0 , y0 ) di 2d i 2d 0
2 2 2 2

再考虑到 x0 和 x i 之间的关系得到

Ui ?

d0 d d t ( ? xi 0 ,? y i 0 ) di di di

30

即得到像平面上倒立的,放大

di 倍的像。 d0

3.7 试写出平移模糊系统,大气扰动系统的传递函数。 解:在照相系统的曝光期间,因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊,这种系统称 为平移模糊系统,它的线扩散函数为一矩形函数

L( x ) ?

1 x rect ( ) a a

其传递函数为

H( fx ) ?

sin( af x ) π π af x

对于大气扰动系统,设目标物为一细线,若没有大气扰动,则理想成像为一条细线。由于大 气扰动,使在爆光期间内细线的像作随机晃动,按照概率理论,可以把晃动的线像用高斯函 数描述。设晃动摆幅的均方根值为 a,细线的线扩散函数为

L( x) ?

1 2π a

e xp( ?

x2 ) 2a 2

对上式作傅立叶变换,就得到大气扰动系统的传递函数

H ( f x ) ? exp( 2π 2 a 2 f x ) ?
2

3.8 有一光楔(即薄楔形棱镜) ,其折射率为 n,顶角α 很小,当一束傍轴平行光入射其上 时,出射光仍为平行光,只是光束方向向底边偏转了一角度(n-1)α ,试根据这一事实, 导出光束的位相变换函数 t。 解:如图所示, (x,y) δ =-(n-1)α θ

设入射平行光与 Z 轴成θ 角入射,按傍轴条件,θ 角很小,入射到光楔上的光场为

U1 ? A exp(jkx sinθ ) ? A exp(jkxθ )
通过光楔后的出射光场为
31

? ? ? U 2 ? A exp jkx sinθ ? ?n ? 1? ?? ? A exp jkx?θ ? ?n ? 1? ?? α α
其中 –(n-1)α 表示偏转是顺时针方向,即向底边偏转,又根据出射光场,入射光场和光楔变 换函数三者的关系 U 2 ? tU 1 有 A exp jkx? ? ?n ? 1? ?? ? tA exp(jkxθ ) ? θ α

? 于是有 t ? e xp[ jk (n ? 1)α ] 。

第四章

习题解答
Δ?

4.1 若光波的波长宽度为 Δ ? ,频率宽度为 Δ ? ,试证明:

?

?

Δ?

?

。设光波波长为

? ? ???.?nm ,Δ ? ? ? ? ???? nm ,试计算它的频宽Δ ? 。若把光谱分布看成是矩形线型,
那么相干长度 lc ? ? 证明: ?? ?

??

?

2

c ? 1.5 ? 104 赫, lc ? ctc ?

c ? 20 ?103 (m) ??

4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为 ?? ? ???.?nm , ?2 ? ???.?nm 的钠双线,每一谱线 的宽度为 ?.??nm 。 (1)试求光场的复自相干度的模。 (2)当移动一臂时,可见到的条纹总 数大约为多少?(3)可见度有几个变化周期?每个周期有多少条纹? 答:假设每一根谱线的线型为矩形,光源的归一化功率谱为

G ?? ? ?

^

1 ? ? ? ??1 ? ? ? ?? 2 ?? ?rect ? ?? ? ? rect ? ?? ? ? 2?? ? ? ? ? ??

(1)光场的复相干度为

r (? ) ? ? G (? ) exp( j 2??? )d?
0

? ^

1 ? sin c(??? ) exp( j 2?? 1? )[1 ? exp( j 2???? )] 2
式中 ?? ? ? 2 ? ? 1 ,复相干度的模为

r (? ) ? sin c(??? ) cos????
由于 ?? ? ?? ,故第一个因子是 ? 的慢变化非周期函数,第二个因子是 ? 的快变化周期函 数。 相干时间由第一个因子决定, 它的第一个零点出现在 ? c ? 1 ?? 的地方, c 为相干时间, ?

32

故相干长度 l c ? c? c ?

c

??

?

? 2 ?2 。 ? ?? ??
lc

(2)可见到的条纹总数 N ?

?

?

? 5893 ? ? 58930 ?? 0.1

(3)复相干度的模中第二个因子的变化周期 ? ? 1 ?? ,故 可见度的变化周期数 n ? 每个周期内的条纹数 ?

? c ?? ?? 6 ? ? ? ? 60 ? ?? ?? 0.1

N 58930 ? ? 982 n 60

4.3 假定气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡,其归一化功率谱密度可表示为

? g?? ? ?

? ? N ??? ? ?? ?? ?? ? nΔ ? ? N n??? N ??? ?

式中, Δ ? 是纵模间隔,? 为中心频率并假定 N 为奇数。 (1)证明复自相干度的模为

? ?? ? ?

sin?N?Δ ?? ? N sin??Δ ?? ?

(2)若 N ? ? ,且 0 ? ? ? 1 Δ

? ,画出 ? ?? ? 与 Δ ?? 的关系曲线。

证明: ,复相干度 ?(?) (1) 与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系:

? ?? ? ? ? G (? )e? j 2??? d?
0

? ^

将(4.3.1)式带入得到

? ?? ? ?
? ?

1 N

?

?

( N ?1) 2 n ?? ( N ?1) 2

0

?

? (? ?? ? n?? )e? j 2??? d?

1 ? j 2??? e ?1) 2 e j 2? n??? N n ?? ( n ? 1 ? j 2??? ? ( n ?1) 2 j 2???? n ( n ?1) 2 ? j 2???? n ? e ? ? ? ?e ? ? 1? ? ? ?e N n ?0 ? n ?0 ?
( N ?1) 2

( N ?1) 2

其中

?
n ?0

?e

j 2???? n

?

?

1 ? e j 2???? ( N ?1) / 2 1 ? e j 2????

33

( N ?1) 2 n ?0

? ?e

? j 2???? n

?

?

1 ? e ? j 2???? ( N ?1) / 2 1 ? e ? j 2????

因而

? ?? ? ?

1 e x p?(j 2??? )? e x ? j 2???? ( N ? 1) / 2? ? e x ?? j 2???? ?N ? 1? / 2? ? e x ? j 2???? ( N ? 1) / 2? p p p N ? e x ?? j 2???? ( N ? 1) / 2? /?2 ? e x pj( ???? ) ? e x p?(j 2???? )? ? p 2
1 ? j 2? ?? cos 2???? ( N ? 1) / 2 ? cos 2???? ( N ? 1) / 2 e N 1 ? cos 2???? 1 ? j 2? ?? sin ???? N = e N sin ????
= 复相干度的包络则为

? ?? ? ? ? ?? ? ?
(2) ,当 N=3 时,

sin ????N N sin ????

? ?? ? ?

sin 3???? 3 sin ????

其 ? ? ??? 曲线如图 1 所示。

?

???
图 1 多模激光复相干度包络曲线(N=3)

4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源,波长 ? ? 550nm,紧靠光源之前放置一个直
34

径 1mm 的小圆孔, 若希望对远处直径为 1mm 的圆孔产生近似相干的照明, 求衍射孔径到光源 的最小距离。 答:用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值,由理想值 1 下降到 0.88 为最大容许偏离值,因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系:

d?


0.16? z a

z?

da 1? 0.5 ? ?103 ? 5.68m 0.16? 0.16 ? 550

即光源小孔与衍射小孔之间最小相距 5.68m 才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。

4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面 1 光年(约 10 m) 的一颗星的直径.当反射镜 M ? 与 M ? 之间距离调到 6m 时,干涉条纹消失.若平均波长 ? ? 550nm,求这颗星的直径。 答:φ? Dα ? D

16

?. ??λ ?. ?????? ????? km??. ?????? km 。 ? d ????

4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图 4.17),用缝宽为 a 的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布 的辐射光强为 I ? ,中心波长 ? ? ???nm .(1)写出距照明狭缝 z 处的间距为 d 的双孔 Q1 和 (2)若 a ? ?.?mm, z ? ?m, d ? ?mm, Q? (不考虑孔的大小)之间的复相干因子表达式。 求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。 (3)若 z 和 d 仍然取上述值,要求观察屏上干涉条纹 的对比度为 0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为 a 的准单色点光源代 替, 如何表达 Q1 和 Q? 两点之间的复相干因子?

35

Q S' a

1

d Q z
2

图 题 4.6 答: 根据范西特-泽尼克定理, 当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离 z 小得多时, 观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。 本题的条件能够满足这个 要求。因而有

x ?π exp? jψ?? ? I 0 rect? 1 ?exp?? j x?Δ ξ? y?Δ η ?dx? dy? ? ? ? ? ?a? ? λ z ? ?? μ ?Λ ξ, η?? Δ ? x1 ? ? ???? I 0 rect? a ?dxdy ? ? ? ? ? x1 ?exp?? j ?π x Δ ξ?dx exp?? j ?π y Δ η?dy exp? jψ? ? rect? ? ? ? ? ? ? a ? ? λ z ? ? ? ?? ? λ z ? ? ? ?? ? ? ? ? ? x1 ?dx? exp?? j ?π y Δ η?dy ? ? rect? a ? ???? ? λ z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Δ η?? ?? Δ ξ ? ? Δ η? exp? jψ?sinc? a ? ?δ ? ? ? λ z? ?λ z? ? δ ?? ? Δ ξ? ?exp? jψ?sinc? a 当 Δ η?? ? ? ? λ z? ? 当 Δ η??
式中? ?

?

?

?

(4.75)

k ?? ? ? ??? ? ?? ???? ???? ? ? ?kz ?? ?? ? ??? ? ,而 ?? 和 ? ? 分别为 Q1 和 Q2 两点到光轴 ?z

?

?

的距离。
36

(2)当 a ? ?.?mm, z ? ?m, d ? ?mm,有

Δ ξ? 3 ? ???. ??? μ ??,???exp? jψ?sinc? a ? ??sinc? ?. ? -3 3 ? ? λ z? ? 0.6?10 ?1?10 ?

观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度为 0.637。 (3)若 z 和 d 仍然取上述值,观察屏上干涉条纹的对比度为 0.41, 缝光源的宽度应为

a?

0.667 0.6?10-3 ?????? ? ??. ???m m ?

(4)若缝光源用两个相距为 a 的准单色点光源代替, Q1 和 Q? 两点之间的复相干因子可以 表达为两个复指数函数之和,因而随着 Q1 和 Q? 两点之间的距离按照余弦函数方式变 化。

4.7 一准单色光源照明与其相距为 z 的平面上任意两点 P 和 P? ,试问在傍轴条件下这两点 ? 之间的复相干因子幅值为多大? 答:

x

?

y
?
) 1,Y1 P1(X

S

P1(X2,Y 2)

z

图 题 4.7 解:首先建立如上图的坐标系,光源位于 ξ-η 坐标原点,ξ-η 与 x-y 两平面间距为 z,P1 与 P2 两点坐标分别为(x1,y1)与(x2,y2),并满足如下近轴条件:

37

z?

2 2 2 2 x1 ? y1 , x2 ? y 2

做为准单色点光源,其光源可表示为

I (? ,? ) ? I0? (? ,? )
其中δ 为狄拉克函数。直接利用范西特-泽尼克定理计算复相干系数如下:

? (P1, P2 )
? ? 2a ? e ? j? ? ? I0? (? ,? )exp ? j ( ?x? ? ?y? )? d? d? ?? ? ?z ? ? ? ? ? I0? (? ,? )d? d? ??

?e

? j?

? ? 2 2 2 2 ? ? exp ? j ( x2 ? y 2 ? x1 ? y1 )? ? ?z ?
因为

?(P1,P2 ) ? 1,由点光源发出的准单色是完全相干的,或者说 x-y 面上的相干面积趋

于无限大

4.8 在图 4-18 所示的记录全息图的光路中,非相干光源的强度在直径为 b 的圆孔内是均匀 的。 ? ??? 。 为使物体漫反射光与反射镜的参考光在 H 面上的复相干因子 ? 光源前所加的小孔的最大允许直径是多少( ? ? 600nm)? 答:小孔的最大允许直径 b?

?12 不小于 0.88,

?. ???λ ?. ????. ? ? ????? m m??. ?????? m m 。 β ?. ???

38

b
β

S' M H

图 题 4.8

第五章

习题解答

5.1 两束夹角为 ? = 450 的平面波在记录平面上产生干涉,已知光波波长为 632.8nm, 求对称情况下(两平面波的入射角相等)该平面上记录的全息光栅的空间频率。 答:已知:? = 450,λ = 632.8nm,根据平面波相干原理,干涉条纹的空间分布满足关 系式 2 d sin(?/2)= λ 其中 d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的,故记录 在干板上的全息光栅空间频率为 fx = (1/d)= (1/λ )·2 sin(?/2)= 1209.5 l/mm 故全息光栅的空间频率为 1209.5 l/mm。

5.2 如图 5.33 所示,点光源 A(0,-40,-150)和 B(0,30,-100)发出的球面波在 记录平面上产生干涉: x

A

O

z y
39

B

图 5.33 (5.2 题图) (1)写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式; 答:设:点源 A、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为 UA 和 UB, 则有

aA e x p jkz A ) e x p( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 ( { 2 a U B = B exp( jkz B ) exp {( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 2 UA =
zA = -150, yB = 30, zB = -100;

]} ]}

其中: xA = xB = 0, yA = -40,

aA、aB 分别是球面波的振幅;k 为波数。 (2)写出干涉条纹强度分布的表达式; I =
2 2

|UA+UB|2 = UA ·UA* + UB ·UB* +UA*·UB+ UA·UB*

a + aB a ?a = A + A B {e xp(- jkz A + jkzB ) e xp{- ( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 4 4 +( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 ] } } + a A ?a B {e xp(jkz A - jkzB ) e xp{( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 4 - ( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 ] } }

]

]

(3)设全息干板的尺寸为 100 × 100 mm2,? = 632.8nm,求全息图上最高和最低空 间频率;说明这对记录介质的分辨率有何要求? 解答:设全息干板对于坐标轴是对称的,设点源 A 与点源 B 到达干板的光线的最大 和最小夹角分别为θ
max

和θ

min

,A、B 发出的到达干板两个边缘的光线与干板的

夹角分别为θ A、θ B、θ A’和θ B’ ,如图所示,它们的关系为 θ A θ
max A

θ 0

B

z
θ A’ θ B’

B

θ θ
A=

min

y

tg-1[zA/(-yA - 50)] ,θ

B= B

tg-1[zB/(-yB - 50)] ’= tg-1[zB/(yB - 50)]
40

θ A’= tg-1[zA/(yA - 50)] ,θ

θ

max=θ A -θ B



θ

min=θ B

’-θ A’

根据全息光栅记录原理,全息图上所记录的 最高空间频率 fmax= (2/?)sin(θ 最低空间频率 fmin= (2/?)sin(θ cos max/2)· cos min/2)· α α
1 2

其中α 角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角,由几何关系可知 cos α 1 = sin(θ A +θ B)/2 , cos α 2 = sin(θ A’+θ B’ )/2 将数据代入公式得 fmax= 882 l/mm ,fmin= 503 l/mm

故全息图的空间频率最高为 882 l/mm,最低为 503 l/mm,要求记录介质的分辨率不得 低于 900 l/mm。

5.3 请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。 (1)为什么不能用白光再现?试证明如图 5.7 所记录和再现的菲涅耳全息图的线 模糊和色模糊的表达式(5.26)和(5.28) ; (2)为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像?碎片尺寸的大小对再现像质 量有哪些影响? (3)由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别? 答: (1)首先证明(5.26)式,当 ? ?

? (5.21)式变 ? 1 。即记录光与再现光波长相同时, ?0

为:

x i xc x0 xr ? ? ? li lc l0 lr yi yc y0 yr ? ? ? li lc l0 lr

当再现光源没有展宽,即 ?C ? 0 ,一个点光源的像的展宽, ?I (?xi , ?yi ) 与参考光源的展 宽 ?R( ?xi , ?yi ) ,成正比,即:

? ?Ii ?R
li

?

?R lr

同样,当参考光源没有展宽,再现光源的展宽 ?C( ?xc , ?yc ) 也与像的展宽成正比

? ?Ii ?c
li

?

?C lc

41

参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为:

?I i ? ? ?I i ? R ? ? ?I i ?c
? ?R ?C ? ?? ? ? li lr ? ? lr
此即式(5.26) 。对于色模糊,由图 5.8 可以看出: ?? ? li ? ?? 色散角与波长成一定函数关系,由于波长范围 ? ? 产生的色散角为:

?? ? ??

?? xi ??
?? xi ??

因而有 ?I ? ? li ??

该式即为书上(5.27)式,根据书上 P132 以后分析即可证明(5.28)式。 (2)由于全息图上每一点都记录了物体上所有点发出的波的全部信息,故每一点都可以在 再现光照射下再现出像的整体, 因而全息图的碎片仍能再现出物体完整的像。 不过对再现像 有贡献的点越多,像的亮度越高。每个点都在不同角度再现像,因而点越多,再现像的孔径 角也越大,像的分辨率越高,这就是碎片大小对再现像质量的两个方面影响。

5.4 用波长 ?0= 632.8nm 记录的全息图,然后用 ?= 488.0nm 的光波再现,试问: (1)若 lo = 10cm,lc = lr = ∞,像距 li =? 解:根据菲涅耳全息图物像距关系式(5.21C) ,像距 li 由下式确定 原始像:

1 1 1 1 = + ?( - ) li l c lo l r 1 1 1 1 = - ?( - ) li l c lo l r

共轭像:

其中 ? = ? / ?0 , 将 lc = lr = ∞代入得 原始像距为

li =

lo

?

≈ 13cm

共轭像距为

li = -

lo

?

≈ - 13cm

42

(2)若 lo = 10cm,lr = 20cm,lC = ∞,li =?; 解:同理,原始像距为 共轭像距为

li = [ ? (

1 1 -1 - )] ≈ 26 cm lo l r

lI ≈ - 26 cm

(3) 第二种情况中,若 lC 改为 lC = -50cm,li =?; 解:同理,原始像距为 共轭像距为 lI ≈54 cm lI ≈ - 17 cm

(4)若再现波长与记录波长相同,求以上三种情况像的放大率 M = ? 解:当? = ?0 时 ? = 1 ,由成像放大率公式(5.25)可知

M = 1上述三种情况的放大率分别为 (1)M = 1 ;

lo l ± o l r ?lc

-1

(2)M = 2 ;

(3)M = 3.3

5.5 如图 5.34 所示,用一束平面波 R 和会聚球面波 A 相干,记录的全息图称为同轴 全息透镜(HL) ,通常将其焦距 f 定义为会聚球面波点源 A 的距离 zA。

R HL

A

z

图 5.34 (5.5 题图)

(1)试依据菲涅耳全息图的物像关系公式(5.21)—(5.22) ,证明该全息透镜的成像 公式为

1 1 ? ? ?? di d0 f
式中 di 为像距,d0 为物距,f 为焦距,? = ? / ?0(?0 为记录波长,?为再现波长) ,等号 右边的正号表示正透镜,负号表示它同时又具有负透镜的功能。
43

证明:根据菲涅耳全息图的物像关系公式(5.21c)和(5.22c)有

1 1 1 1 = ± ?( - ) li lc lo l r
根据题意,已知 di = li ,d0 = lc ,lr = ∞ ;焦距 f 是指当 ? = ?0 时平行光入射得到的

会聚点的距离,即当 lc=∞,? =1 时的像距 li ,此时 li = f (= zA) 。 根据公式可得 于是有

1 1 ? 1 = =± =± f li lo lo

f = + lo (=zA)

故:左边=

1 1 1 1 1 1 ? ? - = - = ±? ( - ) = ± = ± d i d 0 li lc lo lr lo f

=右边

证明完毕。 (2)若已知 zA= 20cm,?0 = 632.8nm,物距为 d0 = -10cm,物高为 hO= 2mm,物波长为

? = 488.0nm,问:能得到几个像?求出它们的位置和大小,并说明其虚、实和正、倒。
解:由已经证明了的全息透镜成像公式可得

1 1 ? = ± di d0 f
根据题意有 f = zA= 20cm,? = ? / ?0 = 488.0nm / 632.8nm,d0 = -10cm,代入上式 -16.3 cm 得 di = -7.2 cm 根据放大率公式(5.25) 共轭像 原始像

z z M = 1- 0 ± 0 z r ?z c

-1

由本题关系可知,上式中 z0 = lo = f = 20cm,zr = lr = ∞,zc = lc = d0 = -10cm,代入上式 得 0.6 原始像高 h = M·h0 = 1.20cm

f M = 1± ?d c

-1

= 0.28 共轭像高 h = M·h0 = 0.56cm

故能得到两个像, 原始像位于 -16. 处, 3cm 正立虚像, 像高 1. 20cm; 共轭像位于 -7. 2cm 处,正立虚像,像高 0.56cm。
44

5.6 用图 5.33 光路制作一个全息透镜,记录波长为?0 = 488.0nm,zA= 20cm,然后用 白光平面波再现,显然由于色散效应,不同波长的焦点将不再重合。请计算对应波长分别为

?1= 400.0nm、?2 = 500.0nm、?3 = 600.0nm 的透镜焦距。
答:由(5.23)式可知

± ?(

1 1 1 - )= lo l r f' 1 1 - ) lo l r

于是有

f '= [ ± ? (

]

-1

其中 lO = zA = 20cm,lc = lr = ∞,?1 = ?1 / ?0,?2 = ?2 / ?0,?3 = ?3 / ?0, 代入数据得 f1’= 24.4cm; f2’= 19.5cm; f3’= 16.3cm 故对应 3 个波长的焦距分别为 24.4cm,19.5cm 和 16.3cm。

5.7 用图 5.35 所示光路记录和再现傅里叶变换全息图。透镜 L1 和 L2 的焦距分别为 f1 和 f2,参考光角度为? ,求再现像的位置和全息成像的放大倍率。

O

L1

?

H

H

L2

P

f1

f1

f2 图 5.35 (5.7 题图)

f2

答:根据傅里叶变换全息图再现原理,由公式(5.33)可知,再现像对称分布于零级 两侧,且倾角分别为:+?,由几何关系可知: + sin ? = xp / f2

所以:xp = + f2 sin ?

即原始像和共轭像分别位于 xp = f2 sin ? 和 xp = - f2 sin ? 处(注:输出平面坐标 已作反转处理) 。 全息成像的放大倍率为

f2

f1 。
45

5.8 根据布拉格条件式(5.61) ,试解释为什么当体全息图乳胶收缩时,再现像波长会 发生“蓝移”现象;当乳胶膨胀时,又会发生“红移”现象。 答:根据布拉格条件式 2? sin ? ? ? ,当体全息图乳胶收缩时,条纹间隔变小,即 ? 减 小时,由于记录或再现时夹角 ? 不变,因此 ? 减小时 ? 也减小,再现像的波长 随之减小,发生“蓝移” 。 相反,当乳胶膨胀时 ? 增大,再现像的波长 ? 增大,发生“红移” 。

5.9 说明在用迂回相位法制作计算全息图时, 为什么可用长方形孔的中心离轴样点的距 离 d nm 来表征物函数的相位值,应满足怎样的条件才能保证这一表征的实施。 答:

y

Bmn

ny0

Hmn

dmn mx0
图 5.9 题(1)

x

d d d+Δ d

46

图 5.9 题(2) 如图 1 所示,迂回相位编码的基本思想是,在全息图的每个抽样单元中,放置一个通 光孔径,通过改变通光孔径的面积来实现光波场的振幅调制,而通过改变通光孔径中 心距抽样单元中心的位置 d mn 来实现光场相位编码。而这个思想是从光栅中得到启发 的。 如图 2 所示,当用一束平面波垂直照明一栅距 d 恒定的平面光栅时,产生的各 级衍射光仍为平面波,等相位面为垂直于相应衍射方向的平面。根据光栅方程,光栅 的任意两条相邻狭缝在第 K 级衍射方向的光程差为

?? ?

2?

?

d sin ? k ? 2? K

是等相位的。如果某一点的狭缝位置有偏差,如栅距增大,则该处在第 K 级衍射方向 的衍射光的光程差变为 L ' ? (d ? ?)sin ?k ,从而导致一附加相移:

?K ?

2?

?

? sin ? K ? 2? K

? d

因此,光栅中栅距的变化量 ? 和相位成正比。

5.10 试说明为什么光刻胶只能用来记录透射体全息图, 而不能用来记录反射体全息图, 重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图吗?请分别说明理由。 答:在进行反射体全息记录时,物光和参考光从介质的两侧相向射入,介质内干涉面 几乎与介质面平行。而光刻胶曝光机理是,曝光部分比未曝光波分溶解速率快, 显影时曝光区被迅速溶解,产生浮雕型的干涉条纹,只能记录与干涉面几乎与介 质面垂直的干涉条纹。因此光刻胶只能用来记录透射体全息图,不能用来记录反 射体全息图 重铬酸明胶和光致聚合物的记录原理是产生折射率的变化,折射率的变化是可以 记录在体积内的,因此重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图。

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