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高中数学全程学习方略配套课件:3.1.2不等式的性质(人教A版必修5)

高中数学全程学习方略配套课件:3.1.2不等式的性质(人教A版必修5)


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【思考】

【点拨】

利用不等式性质判断命题真假 【名师指津】对不等式性质的一般理解:

(1)性质1和2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的
证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.

(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符
号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.

(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数 的符号”.

(4)性质5(即加法法则),即“同向不等式只能相加,
不能相减”.

(5)性质6、7(即乘法法则与乘方法则),即均为正数的
同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.

(6)性质7、8可并为函数y=xn(n>0)在(0,+∞)上递增.

【特别提醒】运用不等式的性质处理问题时,应注意每一个不
等式性质成立的条件,不能有丝毫的疏忽 .

【例1】判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若a<b<0,则ac<bc; (2)若 a2 > b2 , c≠0,则a>b;
1 1 (3)若a>b,则 < ; a b c c

(4)若a>b,c>d,则ac>bd. 【审题指导】解决这类问题,主要是根据不等式的性质进

行判断,其实质就是看是否满足性质所需要的条件 .

【规范解答】(1)错误.当c≤0时,此命题不成立. (2)正确.∵c2>0,在 a2 > b2 两边同乘c2,
c c

不等号方向不变,∴a>b. (3)错误.a>b? ? < , 成立的条件是ab>0.
1 a 1 b

(4)错误.如果当a>0>b,0>c>d时,此命题就不成立.

利用不等式性质证明不等式 【名师指津】利用不等式的性质证明不等式应注意的问题: (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决 此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的八条 性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的 性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意

构造性质与法则.

【例2】已知a>b>0,c<d<0.

求证:3 a <3 b .
d c

【审题指导】本题是考查不等式性质的应用,首先要看证 明不等式需要用到哪几条性质,其次要注意性质成立的条 件是否具备.

【规范解答】∵c<d<0,∴-c>-d>0.
∴ 0<? 1 <? 1 , 又a>b>0,∴ ? a > ? b >0.
c d d c

∴ 3 ?a>3 ?b , 即 ? 3 a> ? 3 b , 两边同乘以-1,得 3 a <3 b .
d c d c d c

利用不等式性质求取值范围 【名师指津】利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常 见的问题,对于这类问题要注意:同向(异向)不等式的两边

可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程
中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.所以我们在解

题时务必小心谨慎,先建立待求范围的整体与已知范围的整体
的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范 围,这是避免犯错误的一条有效途径.

【特别提醒】解决此类问题,一是要注意题设中的条件; 二是要紧扣不等式的性质,合理正确地使用不等式的性质, 特别是要注意题目中易忽略的条件.

【例3】已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b, a 的取值
b

范围. 【审题指导】欲求a-b的取值范围,应先求-b的取值范围, 欲求 a 的取值范围,应先求 1 的取值范围.
b b

【规范解答】∵-6<a<8,2<b<3,
∴-12<2a<16,∴-10<2a+b<19,

又∵-3<-b<-2,∴-9<a-b<6,又 < < .

1 3

1 b

1 2

(1)当0≤a<8时,0≤ a <4;
b

(2)当-6<a<0时,-3< <0,
由(1)(2)得-3< a <4.
b

a b

综上可知所求的范围分别为-10<2a+b<19,
-9<a-b<6,-3< a <4.
b

【例】已知 ? ? ? ?<? ? ? , 求 ? ? ? , ? ? ? 的取值范围.
2 2

2 2 【审题指导】由已知可求出 ? , ? 的范围,再利用性质5来求. 2 2

注意是否取等号及条件α<β的作用.

【规范解答】∵ ? ? ? ?<? ? ? ,

2 2 ∴ ? ? ? ? < ? , ? ? <? ? ? . 4 2 4 4 2 4 上面两式相加,得 ? ? <? ? ? < ? . 2 2 2

∵ ? ? <? ? ? , ∴ ? ? ? ? ? < ? ,

4 2 4 4 2 4 ∴ ? ? ? ? ? ? <? , 2 2 2 又知α<β,∴ ? ? ?<0,∴ ? ? ? ? ? ? <0. 2 2 2

利用不等式的性质解决实际应用题 【名师指津】 1.利用不等式的性质来解决应用题的“题眼”是:题目往往

是方案决策型的应用题,即有需要比较的几个量,我们只要
用字母来表示相关的量,再通过作差法(或作商法)来解决

问题即可.

2.利用不等式的性质解应用题的步骤是: (1)仔细阅读题目,准确理解题意; (2)建立数学模型,并用字母代替题目中的相关量;

(3)利用作差法或作商法来比较大小;
(4)下结论.

【例】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人,技术员

工人数是辅助员工人数的2倍.服务队计划对员工发放奖金共计
20 000元,按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人

奖金”B(元)两种标准发放,其中A≥B≥800,并且A,B都是
100的整数倍. 注:农机服务队是一种农业机械化服务组织,为农民提供耕种、 收割等有偿服务.

(1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数;

(2)求本次奖金发放的具体方案.
【审题指导】本题事实上是不定方程问题,根据A,B的范

围与关系,分类讨论,可以确定方案.
【规范解答】(1)设该农机服务队有技术员工x人、辅助 员工y人,
x ? y ? 15 ? x ? 10 则? 解得 , . ? ? ? x ? 2y

∴该农机服务队有技术员工10人,辅助员工5人.

?y ? 5

(2)由10A+5B=20 000,得2A+B=4 000.
∵A≥B≥800,∴800≤B≤
4 000 ≤A≤1 600, 3

并且A,B都是100的整数倍,
∴?
?A ? 1 600 ?A ? 1 500 ?A ? 1 400 ,? ,? . ?B ? 800 ?B ? 1 000 ?B ? 1 200

∴本次奖金发放的具体方案有3种:

方案一:技术员工每人1 600元、辅助员工每人800元;
方案二:技术员工每人1 500元、辅助员工每人1 000元;

方案三:技术员工每人1 400元、辅助员工每人1 200元;

【典例】(12分)已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,

-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
【审题指导】在求解与字母有关的代数式的范围时,可以

利用整体代换的方法,把要求范围的代数式用已知代数式
表示,再利用不等式性质求解.

【规范解答】方法一:∵ ?

1 ? a ? [f(2) ? f(1)] ? ? 解得 ? 3 ????????2分 1 ?c ? ? 4 f(1) ? f(2) ? 3 3 ? ∴f(3)=9a-c= 8 f(2)- 5 f(1) ???????4分 3 3 8 8 40 ? ? f ( 2 ) ? ∵-1≤f(2)≤5,∴ ????????6分 3 3 3 20 又∵-4≤f(1)≤-1.∴ 5 ? ? 5 f(1) ? ? ???????8分 3 3 3 5 40 20 ∴ ? 8 ? 5 ? 8 f(2) ????????10分 ? f(1) ? ? 3 3 3 3 3 3 即-1≤f(3)≤20 ??????????????12分

?a ? c ? f ?(1) ( ? 2) ?4a ? c ? f

方法二:设f(3)=mf(1)+nf(2)

=m(a-c)+n(4a-c)=(m+4n)a-(m+n)c ????2分
又f(3)=9a-c
??????????????4分

由f(3)值的唯一性,比较系数得:
5 ? m?? ? m ? 4n ? 9 ? ? 3 ? ? ? m ? n ? 1 ? ?n ? 8 ? 3 ?

??????????????6分

40 ? 8 8 ? ? f(2) ? ? ? 3 3 3 ∵? ??????????????8分 20 ? 5 ? ? 5 f(1) ? ? 3 3 ?3 ∴-1≤- 5 f(1)+ 8 f(2)≤20 ??????10分 3 3

即-1≤f(3)≤20

????????????12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( (A)a>b>-b>-a (B)a>-b>-a>b



(C)a>-b>b>-a

(D)a>b>-a>-b

【解析】选C.由a+b>0知a>-b,∴-a<b,又b<0,

∴-b>0,∴a>-b>b>-a,故选C.

2.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是( (A)x2<ax<a2 (C)x2<a2<ax (B)x2>ax>a2 (D)x2>a2>ax



【解析】选B.∵x<a<0,∴x2>a2 .
∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.

ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2,
∴x2>ax>a2,故选B.

3.如果实数a>b>0,那么,下列不等式中不正确的是(
(A )a 2>b 2 (C)1 < 1
a b



(B) a ? b>0
1 1 (D ) ( ) a>( ) b 1 x ) 是减函数,a>b>0,∴( 1 )a< 2 2 2 2

【解析】选D.因为y=( ( 1 )b,故选D.
2

4.设a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2三者的大小关系为_____.

【解析】∵-1<b<0,∴b<b2<1,
又∵a<0,∴ab>ab2>a. 答案:ab>ab2>a

5.给出下列命题:①a>|b|? ?a 2>b 2 ; ②a >b ? ? a 3>b 3;
③|a|>b? ? a2>b2.其中正确命题的序号是________.

【解析】对于①,a>|b|≥0? ? a2>b2成立;对于②,
a>b时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+
4 b 2 ) 2

+ 3 b 2]>0成立;对于③,当b<0时,不一定成立,如 |2|>-3,但|2|2<(-3)2. 答案:①②

6.已知a>b>0,c<d<0,判断 b 与
a ?c

a 的大小. b?d

【解析】∵a>b>0,c<d<0,∴-c>-d>0,
1 1 < , a ?c b?d 又∵a>b>0,∴ b < a . a ?c b?d

∴a-c>b-d>0,∴0<



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