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【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科·湖北)二轮专题复习课件:第9专题 高考解题中的数学思想

【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科·湖北)二轮专题复习课件:第9专题 高考解题中的数学思想


热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)

第三篇 阅 读 专 题

【高考考情解读】 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括, 数 学思想方法较之数学知识具有更高的层次, 具有理性的地位, 它是一种数学意识, 属于思维和能力的范畴, 它是数学知识 的精髓, 是知识转化为能力的桥梁. 数学思想方法是使复杂

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问题简单化, 抽象问题具体化, 变抽象思维为形象思维 的过程, 有助于把握数学问题的本质, 它是数学的规律性与 灵活性的有机结合 . 纵观近几年的高考试题, 都加大了对数学思想方法的考 查, 把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中, 以知识为载体, 着重考查能力与方法的题目很常见. 预测 2015 年数学高考中, 还会有较多的题目以数学知识为背景,

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考查数学思想方法, 对数学思想方法的考查不会削弱, 只会更加鲜明, 更加重视. 【函数与方程的思想】 1. 函数的思想, 是用运动和变化的观点, 分析和研究数学 中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图象 和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决. 函数思 想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题 .

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2. 方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 从而建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程 组, 或者运用方程的性质去分析、 转化问题, 使问题获得解决 . 方程的思想是对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善 于利用方程或方程组的观点观察处理问题 . 方程思想是动中 求静, 研究运动中的等量关系 . 3. 涉及的几个问题:

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( 1) 函数和方程是密切相关的, 对于函数 y=f ( x) , 当 y= 0 时, 就转化为方程 f ( x)= 0, 也可以把函数式 y=f ( x) 看作二元方程

y-f(x)= 0, 函数问题 ( 例如求函数的值域等 ) 可以转化为方程问
题来求解, 方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方 程f ( x)= 0, 就是求函数 y=f( x) 的零点 . ( 2) 函数与不等式也可以相互转化, 对于函数 y=f ( x) , 当

y> 0 时, 就转化为不等式 f ( x)>0, 借助函数图象与性质解决有
关问题, 而研究函数的性质, 也离不开解不等式.

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( 3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用 函数的观点处理数列问题十分重要. ( 4) 解析几何中的许多问题, 常需要通过解二元方程组才 能解决, 涉及二次方程与二次函数的有关理论. ( 5) 立体几何中有关线段、面积、体积的计算, 也常需要 运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决. 热点一: 利用函数与方程思想求解最值、范围问题

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在遇到有关求范围、解 ( 证) 不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题时, 常通过构造函数, 借助相关函数的 性质求解 . 已知 a, b, c∈R , a+b+c=0, a+bc- 1=0, 求 a 的取值范 围.

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【解析】 ( 法一 ) 因为 b+c=-a, bc= 1-a, 所以 b, c 是方程 x 2+ax+1-a=0 的两根 , 所以 Δ=a2- 4(1-a) ≥0, 即 a2+ 4a- 4≥0, 解得 a≥-2+ 2 或 a≤-2-2 . 所以 a 的取值范围是( -∞,-2-2 ]∪ [-2+2 ,+∞). + + = , ( 法二 ) 由已知 + - = , 得 b+c-bc+1= 0, 如果 c= 1, 则 b+ 1-b+1=0,

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即 2=0, 不成立 , 因此 c≠1, 所以 b= 令f (c)=
+ -

, a=

+ -

-c.
,

+ -

-c=

+ -

所以 f' (c)=-

- - ( - )

.

令 f' (c)=0, 则 c=1± . 当 c<1- 时 , f' (c)<0,

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函数 f (c) 在区间 ( - ∞, 1- ) 上是减函数; 当 1- <c< 1 时 , f' (c)>0, 函数 f (c) 在区间 ( 1- , 1) 上是增函数 ; 当 1<c<1+ 时 , f' (c)> 0, 函数 f (c) 在区间 ( 1, 1+ ) 上是增函数 ; 当 c>1+ 时 , f' (c)<0,

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函数 f (c) 在区间 ( 1+ , +∞)上是减函数 . 函数 f (c)=
+ -

的图象如图所示,

所以 f (c) ≥f( 1- )=-2+ 2 或 f ( c)≤f(1+ )=-2-2 , 所以 a 的取值范围是( -∞,-2-2 ]∪ [-2+2 ,+∞).

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【点评】 ( 1) 求参数的取值范围, 一般有两种途径: 其一 , 充分挖掘题设条件中的不等关系, 构建以待求字母为元的不 等式 ( 组) 求解 ; 其二, 充分应用题设中的等量关系, 将待求参 数表示成其他变量的函数, 然后, 应用函数知识求值域 . (2) 当问题中出现多个变量时, 往往要利用等量关系减少 变量的个数, 如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个 变量的表达式, 那么就可用研究函数的方法将问题解决.

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(3) 当问题中出现两数的积与和时, 构建一元二次方程的 信息明显, 此时可考虑利用一元二次方程解决问题 . (4) 求最值与范围的问题, 当与不等式结合时, 利用基本 不等式可求得一端最值, 而利用函数可求得范围, 函数有全 局的宏观, 不等式有局部的深刻 . 热点二: 利用函数与方程的转化关系处理方程根的问题 如果方程 cos x- si n x+a=0 在 ( 0, ] 上有解, 求 a的
2



取值范围 .

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【解析】 ( 法一 ) 令f ( x )=- cos x+ si n x(x∈ ( 0, ]) .
2

显然当且仅当 a 属于 f (x) 的值域时, a=f(x )有解.

∵ f(x)=-(1-si n x)+si n x=(si n x+ ) - ,
2 2





又由 x∈( 0, ] 知 si n x∈( 0, 1] ,




∴ f(x)的值域为 (-1,1].
故 a 的取值范围是( - 1, 1]. ( 法二 ) 令 t= si n x, 由 x∈( 0, ], 可得 t ∈(0, 1] ,

2 将方程变为 t +t-1-a=0,



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依题意, 该方程在 ( 0, 1] 上有解.
2 设f (t )=t +t - 1-a,

其图象是开口向上的抛物线, 对称轴 t =- , 如图所示,




( ) < , 因此 f (t )=0 在 ( 0, 1] 上有解等价于 ( ) ≥ , 即 -- < , ∴- 1<a≤1. - ≥ ,

故 a 的取值范围是( - 1, 1].

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【点评】研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂 方程解的问题, 通常有两种处理思路: 一是分离参数构建函 数, 将方程有解转化为求函数的值域; 二是换元, 将复杂方程 问题转化为熟悉的二次方程, 进而利用二次方程解的分布情 况构建不等式或构造函数加以解决 . 热点三: 函数与方程中的变量转换思想

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许多数学问题中, 往往不止一个变量, 如果我们将其中 一个视为处于主导地位的变量 ( 主元 ) , 就能构造出关于主元 的函数或方程, 主元思想有利于回避多元的困扰. 对于满足 0≤p≤4 的实数 p, 使 x2+px> 4x+p- 3 恒 成立的 x 的取值范围是

.

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【解析】 x2+px> 4x+p- 3 对于 0≤p≤4 恒成立可以变形 为 x2- 4x+ 3+p(x-1)>0 对于 0≤p≤4 恒成立, 所以一次函数

f(p)=(x- 1) p+x 2-4x+ 3 在区间[ 0, 4] 上的最小值大于 0, 即
- + > , 所以 x 的取值范围是( -∞, -1) ∪(3, +∞). - > , 【答案】 ( -∞, -1) ∪(3, +∞)

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【点评】在一个含多个变量的数学问题中, 需要确定合 适的变量( 主角) 和参数( 配角) , 从而揭示函数关系, 使问题更 明朗化. 一般地, 已知存在范围的量为变量, 而待求范围的量 为参数. 当然, 主角与配角不是绝对的, 是可以转化的.

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热点四: 函数与方程思想在解决优化问题中的应用 函数与方程的思想体现在高中数学的所有知识中, 研究 几何量的最值, 代数中最优方案的配置等都能体现这种思 想.

如图所示, 在单位正方体 A B C D — A 1B 1C 1D 1 的面 对角线 A 1B 上存在一点 P , 使得 A P +D 1P 最短, 则 A P +D 1P 的 最小值为

.

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【解析】设 A 1P =x, 则在△A A 1P 中, A P = + -???°= - + , 在 R t△D 1A 1P 中 , D 1P = + .

∴y=A P +D 1P = - + + + .
下面求对应的函数 y 的最小值 . 将函数 y 变形 , 得

y= (-

)

+ (-

) +

( -) + [ -(-)],

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它表示平面直角坐标系中, 在 x 轴上存在一点 P ( x, 0) , 它 到点 M ( , ) 与到点 N ( 0, -1) 的距离之和最小 , ∴当 P 、M 、


N 三点共线且点 P 在 M N 之间时, 这个值最小,
为 (


-) + (



+ )= + .

【答案】 +

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【点评】解析几何、立体几何及其实际应用等问题中 的最优化问题, 一般利用函数思想来解决, 思路是先选择恰 当的变量建立目标函数, 再用函数的知识来解决.

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【化归与转化的思想】 1. 化归与转化思想的实质是揭示联系, 实现转化 . 除极简 单的数学问题外, 每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的. 从这个意义上讲, 解决数学问题就是从未知 向已知转化的过程 . 化归与转化的思想是解决数学问题的根 本思想, 解题的过程实际上就是一步步转化的过程, 所以化 归与转化是高考必考的思想方法 . 2. 化归与转化应遵循的基本原则:

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( 1) 熟悉化原则: 将陌生的问题转化为熟悉的问题, 以利 于运用熟知的知识、经验来解决问题; ( 2) 简单化原则: 将复杂 的问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决, 达到解决 复杂问题的目的, 或获得某种解题的启示和依据; ( 3) 和谐化 原则: 化归问题的条件或结论, 使其表现形式更符合数与形 内部所表示的和谐的形式, 或者转化命题, 使其推演有利于 运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律; ( 4) 直观化 原则: 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; ( 5)

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正难则反原则: 当问题正面解决遇到困难时, 可考虑问 题的反面, 设法从反面去探求, 使问题获解 . 3. 常见的化归与转化的方法. 化归与转化思想方法用在 研究、解决数学问题时, 思维受阻或寻求简单方法或从一种 状况转化到另一种情形, 也就是转化到另一种情境使问题得 到解决, 这种转化是解决问题的有效策略, 同时也是成功的 思维方式 . 常见的转化方法有:

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( 1) 直接转化法: 将原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题 . ( 2) 换元法: 运用 “换元”将式子转化为有理式或使整式 降幂等, 将较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解 决的基本问题. ( 3) 数形结合法: 研究原问题中数量关系( 解析式) 与空间 形式 ( 图形 ) 关系, 通过互相变换获得转化途径 .

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( 4) 等价转化法: 将原问题转化为一个易于解决的等价命 题, 达到化归的目的 . ( 5) 特殊化方法: 将原问题的形式向特殊化形式转化, 并 证明特殊化后的问题、结论适合原问题. ( 6) 构造法: “构造 ”一个合适的数学模型, 将问题变为易 于解决的问题. ( 7) 坐标法: 以坐标系为工具, 用计算方法解决几何问题 是转化方法的一个重要途径.

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( 8) 类比法: 运用类比推理, 猜测问题的结论, 易于确定 . ( 9) 参数法: 引进参数, 使原问题转化为熟悉的形式进行 解决 . ( 10) 补集法: 如果正面解决原问题有困难, 那么可将原问 题的结果看作集合 A , 而将包含该问题的整体问题的结果类 比为全集 U , 通过解决全集 U 及补集 U A 获得原问题的解决, 体现了正难则反的原则 .

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热点一: 以换元来实现化归与转化. 采用换元把不常规的函数、方程、不等式转化为常见 的标准形式 . 方程 m + -=x 有解 , 则 m 的最大值为 ( A. 1B . 0 C. -1 D . -2 ) .

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【解析】原方程可化为 m =x- -, 设 -=t (t ≥0) ,
2 即 m =1-t -t= - (t+ )2,





∵ m =- (t+)2 在[0,+∞) 上是减函数 , ∴当 t=0, 即 x=1 时 , m 的最大值为 1.
【答案】 A





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【点评】类似的换元处理在高中数学运算中比比皆是, 换元的目的就是转化到我们常见的基本初等函数及其简单 组合的形式上来, 不过要切实注意换元过程中中间变量的范 围.

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热点二: 正向思维与逆向思维的转化 在数学解题中, 通常的思维方式是从已知到结论, 然而 有些数学题按照这种思维方式解则比较困难, 而且常常伴随 着较大的运算量, 有时甚至无法解决. 在这种情况下, 我们要 多注意定理、公式、规律性例题的逆用, 正难则反往往可以 使问题变得更简单 .

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若对于任意 t ∈[ 1, 2] , 函数 g( x) =x 3+( + 2)x 2- 2x 在




区间( t , 3) 上总不为单调函数, 则实数 m 的取值范围 是

.

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【解析】 g' (x )= 3x 2+ (m +4)x-2, 若 g(x) 在区间 ( t , 3) 上总为 单调函数, 则 ①g' (x) ≥0 在 (t , 3) 上恒成立 , 或②g' (x ) ≤0 在 (t , 3) 上恒成立 . 由 ①得 3x +(m + 4)x-2≥0, 即 m +4≥ - 3x 在 x ∈(t , 3) 上恒
2



成立 , ∴ m + 4≥ - 3t 恒成立 ,




则 m +4≥ -1, 即 m ≥- 5.

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由 ②得 m +4≤ - 3x 在 x∈(t , 3) 上恒成立,




则 m +4< - 9, 即 m <- .






∴函数 g( x) 在区间(t , 3) 上总不为单调函数的 m 的取值
范围为 - ≤ m <-5.


【答案】 [ - , - 5)




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【点评】 正难则反, 利用补集求得其解, 这就是补集思想 . 一般有两种情形: 正面解决比较困难, 正面出现多种情形 , 此 时可考虑从反面解决, 体现了对立统一, 相互转化的思想 . 热点三: 特殊与一般的转化 已知等差数列{an}的公差 d ≠0, 且 a1、 a3、 a9 成等 比数列, 则
+ + + +

的值是

.

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【解析】由题意知, 只要满足 a1、 a3、a9 成等比数列的 条件 , {an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的. 因此 , 可把抽象数列化归为具体数列 . 比如, 可选取数列

an=n (n ∈N ) , 则
【答案】

*

+ +
+ +

= ++= .

++





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【点评】当问题难以入手时, 应先对特殊情况或简单情 形进行观察、分析, 发现问题中特殊的数量、关系结构、部 分元素, 然后推广到一般情形, 以完成从特殊情形的研究到 一般问题的解答的过渡, 这就是特殊化的化归策略.

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数学题目有的具有一般性, 有的具有特殊性, 解题时 , 有 时需要把一般问题化归为特殊问题, 有时需要把特殊问题化 归为一般问题. 热点四: 命题与等价命题的转化 命题 A 与命题 B 互为充要条件时, A 与 B 等价. 若论证 原来的命题 A 有困难, 可论证易于处理的新命题 B , 这样就将 不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 简言之, 就是一种“曲线解 题 ”.

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设有两个函数 f ( x) , g(x ) 及两个区间 A 和 B , 则 ( 1) 任意 x 1∈A , 总存在 x2∈ B , 使得 f ( x 1)=g(x2) 成立 ?

.
( 2) 任意 x 1∈A , 总存在 x2∈ B , 使得 f ( x 1) ≥ g( x 2) 成立

?

.
( 3) 任意 x 1∈A , 总存在 x2∈ B , 使得 f ( x 1) ≤ g( x 2) 成立

?

.

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( 4) 任意 x 1∈A , 且任意 x2∈B , f( x 1) ≥g( x 2) 恒成立 ?

.
( 5) 任意 x∈A , f( x) ≥g( x) 恒成立? .

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【答案】 ( 1) {y = ( ),∈}?{y = (),∈} (2)g(x )m in≤ f (x )m in (3)f(x )m ax≤ g(x )m ax (4)f (x )m in≥ g(x )m ax (5) {f (x)-g(x ) }m in≥0

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【点评】应用等价转化的思想方法解题时, 为了解决问 题的需要, 有时需要进行“非等价转化”. 这时应通过相应的 “补救” 措施 , 将多余的去掉, 把漏掉的找回, 应对转化过程中 的 “非等价性”保持足够的注意 . 热点五: 函数、方程、不等式之间的转化 设函数 f ( x )= x 3- ( 1+a) x 2+ 4ax+24a, 其中常数 a>1.


( 1) 讨论 f ( x) 的单调性; ( 2) 若当 x≥0 时 , f(x )>0 恒成立, 求 a 的取值范围 .

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【解析】 ( 1) f' (x )=x 2- 2( 1+a)x+4a=(x- 2) (x- 2a). 由已知 a>1, ∴2a> 2, 令 f' (x)>0, 解得 x>2a 或 x< 2,

∴当 x∈(-∞,2)和 x∈(2a,+∞)时, f(x ) 单调递增 ;
当 x∈( 2, 2a) 时, f(x)单调递减. 综上 , 当 a> 1 时 , f(x)在区间(-∞, 2) 和( 2a, +∞)上是增函数, 在区间 ( 2, 2a) 上是减函数 .

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(2) 由( 1) 知, 当 x≥0 时 , f(x ) 在 x= 2a 或 x=0 处取得最小值 .

f(2a)=(2a)3- (1+a)( 2a)2+4a?2a+ 24a =- a3+ 4a2+ 24a=-a(a-6)(a+ 3), f(0)=24a.
> , > , ( ) > , 由题设知 即 - ( + )(-) > , ( ) > , > , 解得 1<a< 6.




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故 a 的取值范围是( 1, 6). 【点评】解决方程、不等式的问题需要函数帮助, 解决 函数的问题需要方程、不等式的帮助, 因此借助于函数、方 程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简, 一般可将 不等关系转化为最值( 值域 ) 问题, 从而求出参变量的范围 .

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【分类讨论的思想】 1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学 思想, 这种思想对于简化研究对象, 发展人的思维有着重要 帮助, 因此 , 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重 要位置 . 当问题所给的对象不能进行统一研究时, 就需要对 研究对象按某个标准分类, 然后对每一类分别研究得出每一 类的结论, 最后综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上, 分类讨论是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”的策略.

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2. 数学中的一些结论、公式、方法对于一般情形是正确 的, 但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别 ”情况未必成 立, 这也是造成分类讨论的原因, 因此在解题时, 应注意挖掘 这些个别情形进行分类讨论. 常见的“个别”情形略举以下 几例:

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( 1) “方程 ax 2+bx+c=0 有实数解 ”转化为“Δ=b2- 4ac≥ 0”时忽略了个别情形: 当 a=0 时, 方程有解不能转化为 Δ≥ 0; ( 2) 等比数列 {a1q }的前 n 项和公式 S n= 情形: q=1 时, 公式不再成立, 而是 S n=na1;
n- 1

(- ) -

中的个别

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( 3) 设直线方程时, 一般可设直线的斜率为 k, 但有个别情 形: 当直线与 x 轴垂直时, 直线无斜率, 应另行考虑; ( 4) 若直线在两轴上的截距相等, 常常设直线方程为


+ =1, 但有个别情形: 截距为 0 时, 就不能如此设, 应另行考虑.
3. 分类讨论的常见类型

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( 1) 由数学概念引起的分类讨论: 有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等 . ( 2) 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论: 有的数 学定理、公式、性质是分类给出的, 在不同的条件下结论不 一致, 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 . ( 3) 由数学运算要求引起的分类讨论: 如除法运算中除数 不为零, 偶次方根为非负, 对数中真数与底数的要求, 指数运

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算中底数的要求, 不等式两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域等. ( 4) 由图形的不确定性引起的分类讨论: 有的图形类型、 位置需要分类, 如角的终边所在的象限, 点、线、面的位置关 系等 . ( 5) 由参数的变化引起的分类讨论: 某些含有参数的问题, 如含参数的方程、不等式, 由于参数的取值不同会导致所得

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结果不同, 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证 明方法 . ( 6) 由实际意义引起的讨论: 此类问题在应用题中, 特别 是在解决排列、组合中的计数问题时常用 . 热点一: 由数学概念、运算引起的分类讨论 (),- < < , 函数 f ( x)= 若f ( 1) +f(a)=2, 则 , ≥ ,

a 的所有可能值为 (
A. 1B . 1, C.

) .

D. 1,

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【解析】 f ( 1)= e0=1, 即 f( 1)=1. 当 a≥0 时 , f(a)= ea-1=1, ∴a=1. 当 -1<a<0 时 , f(a)=si n(π a2)= 1,

∴π a2=2kπ +(k∈Z ). ∴a2= 2k+(k∈Z ), k 只取 0, 此时 a2= . ∵-1<a<0, ∴a=- .
【答案】 B




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【点评】分段函数在自变量不同取值范围内, 对应关系 不同 , 必须进行讨论 . 热点二: 由图形或图象引起的分类讨论 几何问题中出现的分类讨论主要是涉及几何位置不确 定、图形变化引起的参数的变化等需要进行分类讨论的情 况. 当然在直线方程中也会出现斜率是否存在, 截距是否存

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在的讨论 . 在解析几何中出现的最值问题也会出现因图 形变化而引发参量取值变化的分类讨论. 三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的 三边及三条侧棱所在的 6 条直线中, 能构成异面直线的条数 的集合是

.

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【解析】 如图所示, 当直线 l在图( 1) ( 2)(3)( 4) ( 5) 中所示的 位置时, 与 l异面的直线分别有 3 条、4 条、5 条、6 条、5 条, 故能构成异面直线的条数的集合是{3, 4, 5, 6}.

【答案】{3, 4, 5, 6}

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【点评】 ( 1) 本题中直线的位置不定, 影响位置关系, 需按 其所在不同的位置进行讨论. (2) 涉及几何问题时, 由于几何元素的形状、位置变化的 不确定性, 需要根据图形的特征进行分类讨论.

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热点三: 根据公式、定理、性质的条件分类讨论 当问题中涉及的数学定理、公式和性质有范围或条件 限制, 或者是分类给出的, 在不同的条件下有不同的结论, 或 在一定的限制条件下才成立, 需要分类讨论.

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设等比数列{an}的公比为 q, 且前 n 项和

S n> 0(n= 1, 2, 3, ?) .
( 1) 求 q 的取值范围; ( 2) 设 bn=an+2- an+1, 记 {bn}的前 n 项和为 T n, 试比较 S n 与


T n 的大小.

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【解析】 ( 1) 由 {an}是等比数列且 S n>0, 可得 a1=S 1>0, q ≠0. 当 q=1 时 , S n=na1> 0; 当 q≠1 时 , S n=
( - ) -

> 0, 即 > 0(n= 1, 2, 3, ?) . -

-

- < 0, - > 0, 上式等价于 ①或 ②(n=1, 2, 3, ?). - < 0 - > 0 由 ①得 q>1, 由 ②得 -1<q<1 且 q≠0,

∴ q 的取值范围是 ( -1, 0) ∪( 0, +∞).

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(2) 由 bn=an+2- an+1, 得 bn=an(q2- q) ,






∴T n= (q -q)S n,
2



∴T n-S n=S n(q2- q- 1)=S n(q+)(q-2).
又 ∵S n>0, - 1<q<0 或 q>0,





∴当-1<q<-或 q>2 时, T n>S n;
当 - <q< 0 或 0<q<2 时 , T n<S n;




当 q=- 或 q=2 时, T n=S n.




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【点评】本题涉及等比数列前 n 项和公式的合理选取 , 要注意对公比 q 的两种情况①q=1, ②q≠1 的讨论 . 【数形结合的思想】 数与形是数学研究的两个重要方面, 在研究过程中, 数 形结合既是一种重要的数学思想, 又是一种常用的数学方法 . 数形结合是历届高考的重点和热点. 数形结合包含“以形助 数 ”和“以数辅形”两个方面, 其中“以形助数 ”是其主要 方面, 其方法的关键是根据题设条件和探求目标, 联想或构

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造出一个恰当的图形, 利用图形探求解题途径, 对于填 空题可以简捷地直接获得问题的结果, 对于解答题要重视数 形转换的等价性论述, 避免利用图形的直观性代替逻辑推理 得到结果 . 利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题 的本质 . 函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表 示等, 是 “以形示数” , 而解析几何的方程、 斜率、 距离公式、 向量的坐标表示等, 则是“以数助形”, 还有导数更是

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数形结合的产物, 这些都为我们提供了“数形结合”的 知识平台 . 热点一: 以数形结合的思想将代数问题化为几何问题 - + ≥ , 已知点 P ( x, y) 的坐标 x, y 满足 则 | |-- ≤ ,

x 2+y2-6x+ 9 的取值范围是 (
A. [ 2, 4] B . [ 2, 16] C. [ 4, 10]D . [ 4, 16]

) .

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【解析】 画出可行域如图, 由 x 2+y2-6x+ 9= (x- 3)2+y2 可知

x 2+y2-6x+ 9 是点 Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方 , 由图
形知最小值为 Q 到射线 x-y-1=0(x≥0) 的距离 d 的平方 , 最
2 大值为 | QA| =16.

∵ d =(
2

| --|

+(-)

)2= ( )2=2,

∴所求的取值范围是 [2, 16].
【答案】 B

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【点评】如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何 特征 , 就要考虑用数形结合的思想方法来解题, 即所谓的几 何法求解, 比较常见的对应有: (1)
- -

?(a, b)、(m ,n ) 连线的斜率 ;

(2) (-) + ( -)?(a, b)、(m ,n ) 之间的距离 ; (3)a2+b2=c2?a、 b、 c 为直角三角形的三边;

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(4)f (a-x ) =f (b+x)?f (x ) 图象的对称轴为 x=

+

. 只要具有

一定的观察能力, 再掌握常见的数与形的对应类型, 就一定 能得心应手地运用数形结合的思想方法. 热点二: 以数形结合的思想将几何问题化为代数问题 解析几何的思路就是以代数的方法来研究几何, 在高中 主要是通过建立坐标系来实现几何图形的代数化. 如果不能 以直观的方式来解决问题, 那就用代数论证来解决.

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设有函数 f ( x) =a+ --和 g( x) = x+ 1, 已知 x∈




[ - 4, 0] 时恒有 f ( x) ≤g( x) , 求实数 a 的取值范围.

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【解析】 f ( x )≤g(x), 即 a+
- -≤ x+ 1,

变形得 --≤ x+ 1-a, 令 y= --, ①

y= x+ 1-a. ②



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将 ①变形得(x+ 2)2+y2=4( y≥0), 即表示以( -2, 0) 为圆心, 2 为半径的圆的上半圆; ②表示斜率为 , 纵截距为 1-a 的平行


直线系 . 设与圆相切的直线为 A T , A T 的直线方程为

y= x+b(b> 0),
则圆心 ( -2, 0) 到直线 A T 的距离为 d= 由
|-+| |-+|



,

= 2 得 b=6 或 -(舍去).



∴当 1-a≥6 即 a≤-5 时 , f(x )≤g(x).

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【点评】本题先将一个代数问题转化为几何问题, 观察 后再以代数论证得出最后结果 . 在解决含参数的不等式和不 等式恒成立问题时, 可以将题目中的某些条件用图象表现出 来, 利用图象间的关系以形助数, 求方程的解集或其中参数 的范围 .

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热点三: 以向量为工具实现数形结合的最佳优化 向量既有形的直观, 又有数的特点, 所以它是数形结合 的绝佳载体. 有些问题用代数与几何法都能解决, 而向量往 往能给我们最优化的选择.

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在直角坐标系 xO y 中, 已知点 A ( 1, 1) , B( 2, 3) , C( 3, 2) , 点 P( x, y) 在 △A B C 三边围成的区域 ( 含边界) 上. ( 1) 若+ + = 0, 求| | 的值; ( 2) 设=m +n ( m, n∈R ) , 用 x, y 表示 m -n, 并求

m -n 的最大值.

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【解析】 ( 1) ( 法一 ) ∵+ + = 0, 又+ + = ( 1-x, 1-y)+( 2-x, 3-y)+ (3-x , 2-y)= ( 6- 3x , 6- 3y) , - = , = , ∴ 解得 = , - = , 即= ( 2, 2) , 故| | = 2 . ( 法二 ) ∵+ + = 0, 则( - )+ ( -)+ ( - )=0,

∴= (++ )= (2,2),



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∴| | = 2 .
(2) ∵=m +n ,

∴(x,y)= (m +2n,2m +n),
= + , ∴ = + , 两式相减得, m -n=y-x, 令 y-x=t , 由图知, 当直线 y=x+t过点 B (2, 3) 时, t取得最大 值 1, 故 m -n 的最大值为 1.

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【点评】向量的几何运算要依赖于三角形法则和平行 四边形法则, 其代数运算则体现在坐标运算及数量积、模的 运算上, 将二者充分结合才能实现最佳选择.

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一、选择题 1. 若集合 A ={x| ax 2-ax+1< 0}=?, 则实数 a 的值的集合是 ( ) . A. {a| 0<a< 4} B . {a| 0≤a< 4} C. {a| 0<a≤4} D . {a| 0≤ a≤4}

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【解析】由题意知 a=0 时, 满足条件. > , a≠0 时, 由 得 0<a≤4. 综上, 0≤a≤4. = - ≤ , 【答案】D

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2. 设直线 x=t与函数 f ( x) =x 2, g( x) =l n x 的图象分别交于 点 M 、N , 则当| M N| 达到最小时 t的值为 ( A. 1B . C .


) .

D.





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【解析】由题意可知 | M N| =f(x)-g(x )=x 2- l n x. 令 F( x )=x - l n x, 则 F' (x)=2x- =
2

-

,

所以当 0<x< 时 , F' (x)< 0, F (x)单调递减;




当 x> 时, F' (x )>0, F (x)单调递增,




故当 x= 时 , F (x)有最小值 , 即| M N| 达到最小 .




【答案】 D

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3. 已知直线 x=t与椭圆 + = 1 交于 P , Q 两点. 若点 F 为




该椭圆的左焦点, 则使?取得最小值时, t的值为( A.

) .

B. -



C.



D.



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【解析】易知椭圆的左焦点 F ( -4,0). 根据对称性可设

P (t , y0),Q (t,-y0), 则= (t+ 4, y0), = (t+4, -y0), 所以
2 ?= (t+ 4, y0)?(t+ 4,-y0)=(t+ 4)2- . 又因为 = 9 t , 所以





2 2 2 ?= (t+ 4) -=t + 8t+ 16- 9+ t = t + 8t+ 7, 所以当
2

t=-



时, ?取得最小值. 【答案】 B

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4. 在等差数列{an}中 , 若 S 9=18, S n= 240, an-4= 30, 则 n 的值为 ( ) . A. 17 B . 16 C . 15 D . 14

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【解析】∵S 9=18, ∴a1+a9= 4, 即 a5=2,

∴a5+an-4=a1+an= 32.
由 S n=
( +)

= 240, 得 n= 15.

【答案】C

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5. 已知函数 f ( x) = - + 1, g( x) =kx. 若方程 f ( x) =g( x) 有两 个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( A. ( 0, ) B . (, 1)


) .

C. ( 1, 2) D . ( 2, +∞)

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【解析】由已知, 函数 f (x)=| x-2| +1,g(x )=kx 的图象有两 个公共点, 画图可知当直线介于 l y= x ,l2: y=x 之间时, 符合题 1:


意, 故选 B .

【答案】 B

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6. 已知数列 {an}满足 a1= 33, an+1-an= 2n , 则 的最小值为




(

) . A. 2 - 1 B . C .


D. 6

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【解析】 an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+? +(a2-a1)+a1

= 2[1+2+?+(n-1)]+ 33 = 33+n 2-n , ∴ = +n- 1.
设f (x)= +x- 1,


令 f' (x)=- + 1>0,




则f (x) 在( 0, ) 上单调递减, 在 ( , +∞)上单调递增,

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故当 x= 时函数 f (x) 有最小值, 而 n 为正整数 , 经验 证, n=6 时满足题意. 【答案】 C

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7. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形, 则它的体积为( A. C.


) .

B. 4 D. 4 或


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【解析】 当矩形长、 宽分别为 6 和 4 时, 体积 V = 2? ?


?4=4 ; 当长、宽分别为 4 和 6 时, 体积 V = ?






??



6=

.

【答案】D

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8. a、b、c、d 是空间的四条直线, 如果 a⊥ c, b⊥ c, a⊥d ,b ⊥d , 那么 ( ) .

A. a∥b 或 c∥d B. a、 b、 c、 d 中任何两条直线都不平行 C. a∥b 且 c∥ d D. a、 b、 c、 d 中至多有一对直线平行

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【解析】 ( 1) 若 a、 b 相交, 则其确定一个平面 α, 由题设 知 c⊥ α, d ⊥α, 则 c∥d ; ( 2) 若 a∥b, 则满足题设条件的直线 c、

d 的位置关系不确定, 可能平行, 可能相交, 也可能异面 ; (3) 若 a、b 异面, 由 c⊥a, c⊥b, 得 c 平行或重合于 a、 b 的公垂线,
同理 d 也平行或重合于 a、 b 的公垂线, 于是 c∥d. 综上所述, a ∥b 或 c∥d 必有一个成立 . 【答案】 A

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9. 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 22=1+ 3, 32= 1+ 3+ 5, 42= 1+ 3+ 5+7, ?; 23= 3+ 5, 33= 7+ 9+ 11, 43=13+ 15+17+ 19, ?. 根据上述分解规律, 若 m 2= 1+ 3+ 5+?+11, p3 的分解中最 小的正整数是 21, 则 m +p=( A. 9B . 10 C . 11 D . 12 ) .

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【解析】由归纳推理可知, m =6, p=5, ∴m +p= 11. 【答案】C

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二、填空题 10. 已知 f ( x) 是定义在 ( - 3,3) 上的奇函数, 当 0<x< 3 时, f( x) 的图象如图所示, 那么不等式 f ( x) cos x<0 的解集 是

.

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【解析】不等式 f (x)cos x<0 等价于 () > , ( ) < , 或 < > . 画出 f (x) 在( - 3,3)上的图象, 运用数形结合, 如图所示, 从 “形”中找出图象分别在 x 轴上、下部分的对应“数 ”的 区间为 ( - ,-1)∪(0, 1) ∪( , 3).


【答案】 ( - ,- 1)∪(0, 1) ∪( , 3)






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11. 如果函数 f ( x) =x 2-ax+2 在区间[ 0, 1] 上至少有一个零 点, 则实数 a 的取值范围是

.

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【解析】由题意知关于 x 的方程 x2-ax+ 2=0 在 [ 0, 1] 上有实数解 . 又易知 x=0 不是方程 x2-ax+2=0 的解 , 所以根据 0<x ≤1 可将方 程 x -ax+ 2=0 变形为 a=
2

+

g(x )=x+ (0<x≤1)的值域.
易知函数 g( x) 在( 0, 1] 上单调递减, 所以 g(x) ∈[3, +∞). 故所求实数 a 的取值范围是 a≥ 3. 【答案】 a≥ 3



=x+. 从而问题转化为求函数



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12. 已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量

c 满足( a-c) ?( b-c) = 0, 则| c| 的最大值是

.

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【解析】因为( a-c)?( b-c)= 0,

所以 ( a-c)⊥(b-c).

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如图所示, 设=c, =a, =b , 则=a-c, =b-c, 即 A C ⊥B C , 又 O A ⊥O B , 所以 O , A, C ,B 四点共圆 . 当且仅当 O C 为圆的直径时, | c| 最大 , 且最大值为 . 【答案】

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三、解答题 13. 设函数 f ( x) =al n x+
- +

, 其中 a 为常数.

( 1) 若 a=0, 求曲线 y=f( x) 在点( 1, f( 1) ) 处的切线方程; ( 2) 讨论函数 f ( x) 的单调性.

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【解析】 ( 1) 当 a=0 时 , f(x)=

-

f' (x ) =(+),f' ( 1)= = . (+)
又 ∵f ( 1)= 0, ∴切线过点( 1, 0) ,







+

, x∈(0,+∞). 此时

∴所求切线方程为 y=x- .
( 2) f' (x)= +
( +)





(x> 0).

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①当 a=0 时, f' (x )= 恒大于 0, f(x ) 在定义域上单调递 ( +)
增.
(+) + (+)



②当 a>0 时, f' (x )= + = (+)
单调递增 .

> 0,f(x)在定义域上

2 ③当 a<0 时, 记 g(x )=a(x+ 1)2+ 2x, 则 Δ= ( 2a+2) - 4a2=8a+ 4,

当 a≤- 时 , Δ≤0, f(x)在定义域上单调递减; 当 - <a<0 时 , Δ>0,
-(+)± + - -± +



x 1,2=

=



,

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对称轴方程为 x= - -- + - -+ +

+

∴f(x) 在( 0,
,

- -- +

=- 1-> 0, 且 x 1? x 2= 1>0,



) 上单调递减, 在

(

在(

- -+ +

) 上单调递增 ,

, +∞)上单调递减.

综上所述, 当 a≥0 时 , f(x )在定义域上单调递增; 当 a≤- 时, f(x ) 在定义域上单调递减;


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(

- -- + - -+ +

当 - <a<0 时 , f (x ) 在( 0, ,




- -- +

) 上单调递减 , 在
- -+ +

) 上单调递增 , 在(

, +∞) 上单调

递减.



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