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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习3-4章课件4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式

《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习3-4章课件4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

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第四章
第二节 同 三 函 的 本 系 诱 公 角 角 数 基 关 及 导 式

第四章

三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第四章

第二节

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基础梳理导学

第四章

第二节

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重点难点

引领方向

重点:1.掌握同角三角函数的关系公式. π 2.掌握-α,π±α,2π-α,2± 的诱导公式. α 难点:诱导公式的规律性及综合运用.

第四章

第二节

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夯实基础

稳固根基

1.同角三角函数的基本关系

1 () 倒数关系:tn α· α=_____; 1 a ct o
s α n i a () 商数关系: 2 =__tn_ α ___ _ cs α o ;

1 () 平方关系:s 2α+cs 2α=_____; 3 n i o

第四章

第二节

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2.三角函数的诱导公式 () 诱导公式的内容 1

第四章

第二节

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() 诱导公式的规律 2 kπ 诱导公式概括为: 2 ± α(k∈Z)的 弦 余 值 当 正、弦, 数 ,角 时得 α的 名 角 数 ; 同 三 函 值当 k为 数 ,角 奇 时得 k 为偶 α 相应

的 函 值然 放 把 余 数 ,后 上 角

α 看成锐角时原函数所在象限的符

号;可概括为“奇变偶不变,符号看象限”.

第四章

第二节

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疑难误区

点拨警示

1.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三角函 数 时如 应 平 关 ,要 行 类 论先 定 的 值 ,果 用 方 系就 进 分 讨 ,确 角 终边所在的象限, 再确定三角函数值的符号. 要注意公式的合 理选择和方法的灵活性. 2. 利 同 三 函 的 本 在用角角数基关 系简求时要 化、值,注

意用“是否是同角”来区分和选用公式.

第四章

第二节

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3. 应 诱 公 进 三 式 化 、 值 , 注 在用导式行角的简求时应意 公中号选.用式把 式符的取应公时角 kπ±α 的 式 , 对 形时常 确定角所在的象限. 4.要熟记特殊角的三角函数值. α 看锐 成 角 ,如果出现 ....

k 值是奇数还是偶数进行分类讨论,以

第四章

第二节

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思想方法技巧

第四章

第二节

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解题技巧 1.怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值, 主要是运用诱导公式化任意角 三角函数为锐角三角函数,其一般步骤是: () 负 正 当 知 为 角 , 利 - 1 化 :已 角 负 时先 用 α 的诱导公式把

这个角的三角函数值化为正角的三角函数值;

第四章

第二节

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() 正化主:当已知角不在区间[° ,30 时 可 2 0 6° ) ,用 +α 的 导 式 这 角 三 函 值 为 区 诱公把个的角数化主间 上的角的三角函数值; () 主 锐 当 知 是 3 化 : 已 角 10 8° ±

k· 30 6°

[° ,30 0 6° )

90° 30 间 角 , 利 到 6° 的 时 可 用 0°

α,360° -α 的 导 式 这 角 三 函 值 为 诱公把个的角数化 (对 非 殊 用 表 用 算 于特角查或计器

到 90° 的 的 角 数 间角三函值 求出结果).

第四章

第二节

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2.证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有: () 化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角公式 1 及变形技巧,逐步变形到等式的另一边. () 左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边分别 2 变形化简,得到同一个式子. () 转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简化证 3 明过程.

第四章

第二节

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3.“1”的代换 在 值化 、明 ,把 求 、简证 时常 数 1 表示为三角函数式或特

殊角的三角函数值参与运算, 使问题得以简化. 常见的代换有: 1=s 2α+cs 2α n i o 1=tn5 a4° =tn α· α a ct o

1=( α+cs α)2-2 αcs α 等等. s n i o s n i o

第四章

第二节

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4.三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值, 把角看成锐角构造相应的直角三 角形.求 该 角 各 角 数 , 添 符 即 . ,出锐的三函值再上号可 ※5.同角三角函数关系的六边形法则

第四章

第二节

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记:弦切割左右中 忆上中下,正余 倒三角、乘积两边夹、商数依次除. 应用:寻找解题途径. 如已知 s α n i

1, 数 角 、 方 倒对线平

①利用平方关系可求 cs α,进而求 a α,ct α. o tn o ②利用倒数关系可求 c α,进而可求 ct α 等. s c o

第四章

第二节

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考点典例讲练

第四章

第二节

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同角三角函数的基本关系

[例 1] 1 A. 5

α是 二 限 , 第象角 1 B.- 5

5 a α=- , s α 等于( tn 则n i 12 5 C. 13 5 D.- 13

)

第四章

第二节

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n i o ?s 2α+cs 2α=1, ? 解 : 解 1:∵? s α 析 法 n i 5 - ?cs α= 1 . 2 ?o 5 解 s α=± .又∵α 为 二 限 , 得 n i 第象角 1 3 5 ∴s α>0,∴s α= .故 C. n i n i 选 1 3

第四章

第二节

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5 解法 2:设 a α1= ,α1 为锐角, tn 12 5 如图在 Rt△ABC 中 由 a α1=12, , tn 设 AC=5,BC=12,则 AB=13, 5 ∴s α1=13, n i 5 ∵α 为第二象限角,∴s α>0,从而 s α=13. n i n i

第四章

第二节

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解法 3:∵α 是第二象限角,∴s α>0,排除 B、D, n i s α n i 5 又 a α=cs α=-12,由勾股数组 5,12,13 知排除 A, tn o ∴选 C.

答案:C

第四章

第二节

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点评:记住常用的勾股数组非常方便.常用的有:①3,4,5 ②5,12,13 k∈N+. ③7,24,25 ④8,15,17 以及它们的倍数, 3k,4k,5k 如

第四章

第二节

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(文)01 ( 1· 2

7 淄模 博 拟 )已知 cs A+s A= 1 ,A 为 四 限 o n i - 3 第象 ) 5 B.1 2 5 D. 1 - 2

角 则 a A等 ( , tn 于 1 2 A. 5 1 2 C. 5 -

第四章

第二节

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解析:∵A 为第四象限角,∴s A<0, n i cs A>0,tn A<0, o a 由 a A<0,排除 A、B; tn 由 s A<0,cs A>0,cs A+s A<0 知| A|cs n i o o n i s n > i |o a A|1 ,排除 D, 选 C. tn > | 故 A|,从而

答案:C

第四章

第二节

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(理)已知

? π ? α∈?-2,0?,cs o ? ?

4 α= ,则 a2 α 等于( tn 5

)

24 24 A.- 7 B 7 . 7 7 C.- D . 24 24

第四章

第二节

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π 4 解析:∵- <α<0,cs α= , o 2 5 3 s α n i 3 ∴s α=- 1-cs α=-5,∴tn α=cs α=-4, n i o a o
2

2 α a tn 24 ∴tn α= a2 =- ,故选 A. 7 1-tn 2α a

答案:A

第四章

第二节

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[例 2] α cs · o 2

已知 s α· α<0,s αtn α>0,化简 n cs i o n a i α 1-sin2 α +s · n i α 2 1+s n i 2 α 1+cs 2 o =________. α 1-cs o 2

分析:由 s α· α<0,s αtn α>0 可以判断角 α 所在的象 n cs i o n a i α 限,进一步可知 角 在 象 , 意 根 前 因 , 将 所的限注到号的式可 2 根 下 分 利 平 关 乘 它 平 差 子 为 根 号 的 母 用 方 系 以 的 方 因 化 与 号 前因式相同的函数可以约分,最后整理即可.

第四章

第二节

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解析:∵s α· α<0,∴α 为第二或第四象限角, n cs i o 又∵s α· α>0,∴α 为第四象限角, n a i tn α ∴2为第二或四象限角. α α 1-s n i 1+cs o 2 2 α α ∴原式=cs · o +s ·? n i 2 ? α? 2 α? ?cs ?s o ? n ? i 2? 2? ? ?

第四章

第二节

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α ? α n i o ?s 2+cs 2, =? ?-s α-cs α, n 2 o 2 i ? ∴原式=± 2s n i

?α ? ? 为第二象限角?, ?2 ? ?α ? ? 为第四象限角?. ?2 ?

?α π ? ? + ?. ?2 4?

答 : ± 2s 案 n i

?α π ? ? + ? ?2 4?

第四章

第二节

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(01 21·

1-24°0 s0o ° n cs i 4 衡水一模) =________. cs0 o ° - 1-s 250° 4 n i

第四章

第二节

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?cs0 o ° -s4° ?2 4 n0 i 解析:原式= cs0 o ° - cs 250° 4 o cs0 o° 4 = cs0 o° 4 -s4° n0 i -cs0 o° 5 cs0 o° 4 = cs0 o° 4 -s4° n0 i -s4° n0 i =1.

答案:1

第四章

第二节

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利用诱导公式化简与求值

[例 3]

s n i 已知 a θ=2,则 tn s n i

?π ? ? +θ?-cs 2 ? o ? ?π ? ? -θ?-s i 2 ? n ?

?π+θ? =( ?π-θ? )

A.2 B .-2 C.0 D . 2 3

第四章

第二节

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s n i 解析: s n i

?π ? ? +θ?-cs o ?2 ? ?π ? ? -θ?-s n i ?2 ?

?π+θ? ?π-θ?

cs θ+cs θ o o = cs θ-s θ o n i

2 2 = = =-2.故选 B. 1-tn θ 1-2 a

答案:B

第四章

第二节

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(文)01 ( 1· 2 s( n iπ -α)=( 5 A. 3 - 1 C. 3 -

天 模 津 拟 )若 csπ o ( 2 ) 2 B. 3 - 2 D.± 3

5 π -α)= 且 α∈(- ,0 ,则 ) 3 2

第四章

第二节

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解析:∵csπ o ( 2

5 5 -α)= ,∴cs α= , o 3 3

π 2 ∵α∈(-2,0),∴s α=-3, n i ∴s( n iπ 2 -α)=s α=- . n i 3

答案:B

第四章

第二节

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(理)01 ( 1· 2

π 3π 3 绍兴模拟)已知 α∈( , ),tn α-7) =- , a( π 2 2 4 )

则 s α+cs α 的值为( n i o 1 1 A.± B.- 5 5 1 C.5 7 D.-5

第四章

第二节

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3 π 3π 解析:∵tn α-7) =tn α=- ,α∈( , ), a( π a 4 2 2 π 3 4 ∴α∈(2,π),s α=5,cs α=-5, n i o 1 ∴s α+cs α=- . n i o 5

答案:B

第四章

第二节

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同角三角函数关系的综合应用

[例 4]
2

(文)02 ( 1· 2

唐山二模)若 3o cs (

π -θ)+cs o ( π 2

+θ)=

1 0,则 cs θ+ s2 θ 的 是 ________. o n i 值 2 分析: 利用诱导公式可将条件式化简得到 s θ=kcs θ(或 n i o a θ=k)结合 s 2θ+cs 2θ=1 可求得 s θ 与 cs θ 代入待求值 tn n i o n i o 式可获解(或将待求式除以 1=s 2θ+cs 2θ, 子 母 化 n i o 分分都为 a θ 的表示式获解). tn

第四章

第二节

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解析:∵3o cs ( 1 即 a θ=3. tn

π -θ)+cs o ( π 2

+θ)=0,即 3 θ-cs θ=0, s n i o

cs 2θ+s θcs θ cs 2θ+s θcs θ o n o i o n o i 1 2 ∴cs θ+ s2 θ= o n i = 2 1 s 2θ+cs 2θ n i o 1 4 1+3 1+tn θ a 3 6 = = = = . 1 2 10 5 1+tn 2θ a 1+? ? 3 9
6 答案: 5
第四章 第二节

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点评:形如 as α+bcs α 和 as 2α+bs αcs α+ccs 2α 的 n i o n i n o i o 式子分别称为关于 s α、o α 的一次齐次式和二次齐次式. n i cs 若 已知 a α=m, 涉 它 的 角 的 时 常 tn 求 及 们 三 式 值 ,作 ①1 的代换,

②s α=mcs α 代入,③选择题常用直角三角形法求解,④所 n i o 给 是 式 ,用 子分 同 以 式 分 时常 分 、母 除 cs kα(k=1,2, o ?)变形.

第四章

第二节

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(理)01 ( 1· 2

1 福建宁化)已知 0<θ<π,s θ+cs θ= . n i o 5

() 求 a θ 的值; 1 tn s θ+2o θ n i cs () 求 2 的值; 2 θ+3o θ s n i cs () 求 s 2θ-s θcs θ-2cs 2θ 的值. 3 n i n o i o 分析:() 利用平方关系和已知条件求 s θ、cs θ 的值, 1 n i o 进而求 a θ 的 , 中 意 tn 值其 注 s θ 与 cs θ 的大小关系.() 结合 n i o 2

同角三角函数基本关系式解后面两问.

第四章

第二节

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1 解 : () ∵s θ+cs θ= , 析 1 n i o 5 1 1 ∴( θ+cs θ) =2 ,∴1+2 θcs θ=2 , s n i o s n i o 5 5
2

1 2 ∴s θ· θ= 2 <0, 0 θ<π, n cs i o - 5 又 < ∴s θ>0,cs θ<0,∴s θ-cs θ>0, n i o n i o ∴s θ-cs θ= ?s θ-cs θ?2 n i o n i o = 1-2 θcs θ= s n i o 2 4 7 1+2 =5, 5

4 3 s θ n i 4 ∴s θ=5,cs θ= 5,∴tn θ=cs θ= 3. n i o - a - o
第四章 第二节

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4 - +2 s θ+2o θ a θ+2 n i cs tn 3 () 2 = = =2. ? 4? 2 θ+3o θ 2 θ+3 s n i cs a tn 2×?-3?+3 ? ? () 3 s n i s 2θ-s θcs θ-2o n i n o i cs 2 2 θ-s θcs θ-2o θ= n o i cs s 2θ+cs 2θ n i o
? 4? 4 2 ? ? 2 θ-tn θ-2 ?-3? +3-2 2 a = ? 4? =5. 2 a θ+1 tn ?- ?2+1 ? 3?
2

θ

a tn =

第四章

第二节

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(文)01 ( 1· 2 的值等于( 2 A. B . 2 C. 2 D .

π 1 2 福建文)若 α∈(0, ), s α+cs α= , a α 且n i o 2 则 tn 2 4 ) 3 3 3

第四章

第二节

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解析:s 2α+cs α=s 2α+cs 2α-s 2α n i o 2 n i o n i 1 =cs α=4, o
2

π 1 3 ∵α∈(0,2),∴cs α=2,s α= 2 , o n i ∴tn α= 3. a

答案:D

第四章

第二节

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(理)01 ( 1· 2 2o cs
2

镇江模拟)已知 a θ=2,则 s 2θ+s θcs θ- tn n i n o i )

θ=(

4 5 A.-3 B 4 . 3 4 C.- D . 4 5

第四章

第二节

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解析:s 2θ+s θcs θ-2o n i n o i cs s 2θ+s θcs θ-2o n i n o i cs = s 2θ+cs 2θ n i o
2

2

θ

θ

a 2θ+tn θ-2 4+2-2 4 tn a = = =5. a 2θ+1 tn 4+1

答案:D

第四章

第二节

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利用方程的思想解决三角问题

[例 5]

π 已知- <x<0,s x 与 cs x 分 为 元 次 n i o 别一二方 2

程 25x2+5x-12=0 的两实根. () 求 s x-cs x 的值; 1 n i o s2 x+2 2x n i s n i () 求 2 的值. 1-tn x a

第四章

第二节

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分析:() 1 ( s n i

x± x)2=1s2 cs o ± n i

x,从而 s x+cs x 与 s x n i o n i

-cs x 通 平 关 可 互 化 o 过方系相转. () 由 () 获 得 s x- cs x 的 后 只 运 2 1 n i o 值 , 需 用 s x n i 2 xcs x 及 a x= s n i o tn ,即可化简. cs x o s2 x= n i

第四章

第二节

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解析:() 由 件 , 1 条 知
2

1 s x+cs x=- , 方 n i o 平 得 5

s 2x+ n i

1 24 2 xcs x+cs x=25,∴2 xcs x=-25. s n i o o s n i o 49 ∴( x-cs x) =1-2 xcs x= . s n i o s n i o 25
2

π ∵-2<x<0,∴s x<0,cs x>0,s x-cs x<0, n i o n i o 7 故 s x-cs x=- . n i o 5

第四章

第二节

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s2 x+2 2x 2 x?cs x+s x? n i s n i s n i o n i () 2 = s x n i 1-tn x a 1- cs x o 24 1 2 xcs x?cs x+s x? -25×?-5? 24 s n i o o n i = = =175. 7 cs x-s x o n i 5

第四章

第二节

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课堂巩固训练

第四章

第二节

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一、选择题 1.(文)01 ( 1· 2 ( ) 15 A. 8 8 B.15 15 C.- 8 8 D.-15 8 π 武汉调研)若 cs α=17,-2<α<0,则 a α= o tn

[答案] C

第四章

第二节

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[解析] C.

15 s α n i 15 依题意得,s α=- ,tn α= n i a =- ,选 17 cs α o 8

第四章

第二节

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(理)01 ( 1· 2 则 a α=( tn 4 A. 3 3 C.-4

π 3 π 3π 盘锦模拟)已知 cs +α)= ,且 α∈( , ), o ( 2 5 2 2 ) 3 B. 4 3 D.± 4

[答案]

B

第四章

第二节

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[解析]

π 3 3 ∵cs +α)= ,∴s α=- , o ( n i 2 5 5

π 3π 4 3 又 α∈(2, 2 ),∴cs α=-5,则 a α=4. o tn

第四章

第二节

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2.(01 21·

山潍模 东坊拟 )

s α+3o α n i cs )已知 =5,则 s 2α- n i 3o α-s α cs n i

s αcs α 的值是( n o i 2 A.5

2 B.-5

C.-2 D .2

[答案]

A

第四章

第二节

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[解析]

s α+3o α n i cs a α+3 tn 由 =5 得 =5,即 a α=2. tn 3o α-s α cs n i 3-tn α a

s 2α-s αcs α n i n o i 2 所以 s α-s αcs α= n i n o i s 2α+cs 2α n i o a 2α-tn α 2 tn a = =5. a 2α+1 tn

第四章

第二节

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二、填空题 3.(文)若 s n i
?3π ? 3 ? -2x?= ,则 a 2x tn ?2 ? 5

等于________.

[答案]

4

第四章

第二节

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[解析]

s n i

?3π ? ? -2x?=-cs o 2 ?2 ?

3 x=s x-cs x= , n i o 5
2 2

? 2 4 n i ?s x=5, 又 s 2x+cs 2x=1,∴? n i o ?cs 2x=1. o 5 ?

s 2x n i 2 ∴tn x= 2 =4. a cs x o

第四章

第二节

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s2 α-cs 2α n i o π 1 (理)已知 a( +α)= ,则 tn =________. 4 2 1+cs α o 2

[答案]

5 - 6

第四章

第二节

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[解析]

π 1 ∵tn +α)= , a( 4 2 π a ?4+α?-tn tn a π π +α)- ]= 4 4 π 1+tn ? +α?· a a tn 4 π 4 π 4

∴tn α=tn a a[ (

1 =-3, s2 α-cs 2α 2 αcs α-cs 2α n i o s n i o o 则 = 2o 2α cs 1+cs α o 2 1 5 =tn α-2=-6. a
第四章 第二节

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三、解答题 4.知 于 已关 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 s θ n i ,

和 cs θ,且 θ∈(2) o 0π ,

cs θ-1 o 2 cs θ o () 求 1 + 的值; 2?cs θ-s θ? 1-tn θ o n i a () 求 m 的值; 2 () 求方程的两根及此时 θ 的值. 3

第四章

第二节

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[解析]

() 由 达 理 知 1 韦定可 ①

? ?s θ+cs θ= 3+1 i o ?n 2 ? m ? n cs i o ?s θ· θ= 2 ② ?

cs θ-1 o 2 cs θ o s 2θ n i cs 2θ o 而 + = + 2?cs θ-s θ? 1-tn θ s θ-cs θ cs θ-s θ o n i a n i o o n i 3+1 =s θ+cs θ= 2 . n i o

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2+ 3 () 由①两边平方得 1+2 θcs θ= 2 s n i o , 2 3 将②代入得 m= 2 . 3 3 2 () 当 m= 2 时,原方程变为 2x -(1+ 3)x+ 2 =0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= , 2 2

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? 3 n i ?s θ= 2 , ∴? ?cs θ=1, o 2 ? 又∵θ∈(2) 0π ,

1 ? n i ?s θ=2, 或? ?cs θ= 3. o 2 ?

π π ,∴θ= 或 . 6 3

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